1、第第 8 8 章章 函数应用函数应用 章末复习课章末复习课 一、函数的零点 1在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在 一个零点 2方程 f(x)g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 yf(x)g(x)的图象 与 x 轴交点的横坐标 3解决函数零点的求解与判定，要认真领会零点的概念及判断方法，同时重点提升数学抽象 和直观想象的核心素养 例 1 已知函数 f(x) exa，x0， 3x1，x0 (aR)，若函数在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围 是( ) A(，1) B(，1) C(1,0) D1,0) 答案
2、D 解析 由 3x10 可得 x1 30，若函数在 R 上有两个零点，可转化为 e xa0 在 x0 上 有一个实根，即 ya 与 yex在 x0 上有一个交点，因为 x0 时，ex(0,1；又 ya 与 yex在 x0 上有一个交点，所以 0a1，即1a0. 反思感悟 判断函数存在零点的方法 (1)方程法：若方程 f(x)0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存 在零点或判断零点的个数 (2)图象法：由 f(x)g(x)h(x)0，得 g(x)h(x)，在同一坐标系内作出 y1g(x)和 y2h(x) 的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数 (3)定理法：函数
3、 yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由 f(a) f(b)0 即可判 断函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数 yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则 函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个零点 跟踪训练 1 已知函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，求实数 b 的取值范围 解 由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示： 则当 0b0，f(1)20， x00.5,1 取0.5,1的中点 0.75，且 f(0.75)0.6560， x00.625,0.75 取0.625,0.75
4、的中点 0.687 5， 且 f(0.687 5)0.30)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值较小(n1)时，增长较慢；n 值较大(n1)时，增长较快 跟踪训练 3 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低某种品牌的饼干，其 100 克装的售价为 1.6 元，其 200 克装的售价为 3 元，假定该商品的售价由三部分组成：生产 成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润生产成本(a 元)与饼干重量成正比，包装成本(b 元)与饼 干重量的算术平方根(估计值)成正比， 利润率为 20%， 试写出该种饼干 1 000 克装的合理售价 解 设饼干的重量为 x 克，akx，bk1x. 则其售价
5、y(元)与 x(克)之间的函数关系式为 y(ab)(10.2)(kxk1x)(10.2) 由已知有 1.6(100k 100k1)(10.2)， 即4 3100k10k1. 又 3(200k 200k1)(10.2)， 即 2.5200k14.14k1. 所以 0.1675.86k1. 所以 k10.028 5， k1.0510 2. 所以 y(1.0510 2x0.028 5 x)1.2. 当 x1 000 时，y13.7(元) 由此估计这种饼干 1 000 克装的售价为 13.7 元 1(2018 全国)已知函数 f(x) ex，x0， ln x，x0， g(x)f(x)xa.若 g(x)
6、存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( ) A1,0) B0，) C1，) D1，) 答案 C 解析 令 h(x)xa， 则 g(x)f(x)h(x) 在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示 若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交点，平移 yh(x)的图象可 知，当直线 yxa 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 10a，a1. 当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，仅有 1 个交点，不符合题意； 当 yxa 在 yx1 下方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意 综上，a 的取值范围为1，) 故选 C. 2
7、(2015 安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) Aycos x Bysin x Cyln x Dyx21 答案 A 解析 由于 ysin x 是奇函数；yln x 是非奇非偶函数；yx21 是偶函数但没有零点；只 有 ycos x 是偶函数又有零点 3(2018 浙江)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁， 鸡母，鸡雏个数分别为 x，y，z，则 xyz100， 5x3y1 3z100， 当 z81 时，x_，y _. 答案 8 11 解析 方法一 由题意，得 xy81100
8、， 5x3y1 381100， 即 xy19， 5x3y73， 解得 x8， y11. 方法二 1008119(只)， 81 327(元)， 1002773(元) 假设剩余的 19 只鸡全是鸡翁，则 51995(元) 因为 957322(元)， 所以鸡母：22 (53)11(只)， 鸡翁：19118(只) 4(2018 浙江)已知 R，函数 f(x) x4，x， x24x3，x. 当 2 时，不等式 f(x)0 的解集 是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_ 答案 (1,4) (1,3(4，) 解析 当 2 时，f(x) x4，x2， x24x3，x2， 其图象如图(1) 由
9、图知 f(x)0 的解集为(1,4) f(x) x4，x， x24x3，x 恰有 2 个零点有两种情况： 二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函数与一次函数各有一个零点 在同一平面直角坐标系中画出 y1x4 与 y2x24x3 的图象，如图(2)，平移直线 x， 可得 (1,3(4，) 5(2016 天津)已知函数 f(x) x24a3x3a，x0，且 a1)在 R 上为减函数， 且关于 x 的方程|f(x)|2x 3恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是_ 答案 1 3， 2 3 解析 因为函数 f(x)在 R 上为减函数， 所以 024a3 03af0， 34a 2 0， 0a1. 解得1 3a 3 4. 作出函数 y|f(x)|，y2x 3的图象如图 由图象可知，在0，)上，|f(x)|2x 3有且仅有一个解；在(，0)上，|f(x)|2 x 3同样 有且仅有一个解，所以 3a2，即 a2 3.综上可得 1 3a 2 3， 所以 a 的取值范围是 1 3， 2 3 .
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