1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 A 基础达标 1将 3 2 3ab a2 3b （2ba） 化成最简式为( ) A.4 3a 5 3b B.4a5b C.4 3a 5 3b D.4a5b 2设 x，yR，向量 a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 3在ABC 中，B45，C60，c1，则最短边长为( ) A. 6 2 B. 6 3 C.1 2 D. 3 2 4在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边分别为 a，b.若 2asin B 3b，则角 A 等于( ) A. 12 B. 6 C. 4 D.
2、3 5在ABC 中，已知 sin2Asin2Bsin2C，且 sin A2sin Bcos C，则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 6已知非零向量 a(t，0)，b(1， 3)，若 a2b 与 a 的夹角等于 a2b 与 b 的夹角，则 t_ 7在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边若 2asin B 3b，bc5，bc6，则 a _ 8 在平行四边形 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点 若AD EB 2， 则AB的模为_ 9已知向量 e1，e2，且|e1|e2|1， e1，e2 3 .
3、(1)求证：(2e1e2)e2； (2)若 me1e2，n3e12e2，且|m|n|，求 的值 10已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 B 3 ， 且(abc)(abc)3 7bc. (1)求 cos C 的值； (2)若 a5，求ABC 的面积 B 能力提升 11飞机沿水平方向飞行，在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30，向前飞行 10 000 米，到达 B 处，此时测得目标 C 的俯角为 75，这时飞机与地面目标 C 的距离为( ) A5 000 米 B5 000 2米 C4 000 米 D4 000 2米 12在ABC 中，点 D 满足 BD3
4、4BC，当 E 点在线段 AD 上移动时，若AE ABAC，则 t(1)22 的最小值是( ) A.3 10 10 B. 82 4 C. 9 10 D.41 8 13 在ABC 中， BCa， ACb， a， b 是方程 x22 3x20 的两个根， 且 2cos(AB)1.则 C_， AB_ 14 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且满足(2ab)cos Cccos B， ABC 的面积 S10 3， c7. (1)求角 C； (2)求 a，b 的值 C 拓展探究 15某单位有 A，B，C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点 O，使得发射点到三个工作
5、点的距 离相等已知这三个工作点之间的距离分别为 AB80 m，BC70 m，CA50 m假定 A，B，C，O 四点 在同一平面内 (1)求BAC 的大小； (2)求点 O 到直线 BC 的距离 参考答案 A 基础达标 1 【答案】B 【解析】原式3 2 311 a 12 32 b3 4 3a 5 3b 4a5b. 2 【答案】B 【解析】由题意可知 2x40， 42y0，解得 x2， y2，故 ab(3，1)，|ab| 10. 3 【答案】B 【解析】A180(6045)75， 故最短边为 b，由正弦定理可得 b sin B c sin C， 即 bcsin B sin C 1sin 45 s
6、in 60 6 3 ，故选 B. 4 【答案】D 【解析】由已知及正弦定理得 2sin Asin B 3sin B，因为 sin B0，所以 sin A 3 2 .又 A 0， 2 ，所以 A 3 . 5 【答案】D 【解析】由 sin2Asin2Bsin2C 及正弦定理可知 a2b2c2A 为直角；而由 sin A2sin Bcos C，可得 sin(B C)2sin Bcos C, 整理得 sin Bcos Ccos Bsin C，即 sin(BC)0，故 BC.综合上述，BC 4 ，A 2 . 即ABC 为等腰直角三角形 6 【答案】4 或4 【解析】由题设得（a2b） a |a2b|
7、|a| （a2b） b |a2b| |b| ，所以|b|(|a|22ba)|a|(a b2|b|2)，将 a(t，0)，b(1， 3)代入整理得 2t2t |t|8|t|4t，当 t0 时，3t212t，所以 t4；当 t0 时，t24t，所以 t4.综上， t 的值为 4 或4. 7 【答案】 7 【解析】因为 2asin B 3b，所以 2sin Asin B 3sin B. 所以 sin A 3 2 ，因为ABC 为锐角三角形， 所以 cos A1 2，因为 bc6，bc5， 所以 b2，c3 或 b3，c2. 所以 a2b2c22bccos A2232261 27， 所以 a 7. 8
8、 【答案】12 【解析】 因为在平行四边形 ABCD 中， EB ECCB1 2DC BC ， 又DC AB ， BCAD ， 所以EB 1 2AB AD ， 所以AD EB AD 1 2AB AD 1 2AB AD AD 21 2|AB |AD |cos 60|AD |21 4|AB |12，所以|AB|12. 9(1)证明：因为|e1|e2|1， e1，e2 3 ， 所以(2e1e2)e22e1e2e222|e1|e2|cos 3 |e2|22111 21 20，所以(2e 1e2)e2. (2)解：由|m|n|得(e1e2)2(3e12e2)2， 即(29)e21(212)e1e23e2
9、20. 因为|e1|e2|1， e1，e2 3 ， 所以 e21e221，e1e211cos 3 1 2， 所以(29)1(212)1 2310， 即 260.所以 2 或3. 10解：(1)由(abc)(abc)3 7bc， 得 a2(bc)23 7bc， 即 a2b2c211 7 bc，由余弦定理， 得 cos Ab 2c2a2 2bc 11 14， 所以 sin A 5 14 3.又因为 B 3 ， 所以 cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B1 7. (2)由(1)得 sin C4 7 3. 在ABC 中，由正弦定理，得 c sin C b sin B a s
10、in A. 所以 casin C sin A 8，所以 S1 2acsin B 1 258sin 3 10 3. B 能力提升 11 【答案】B 【解析】如图，在ABC 中，AB10 000 米，A30，C753045. 根据正弦定理得，BCABsin A sin C 10 0001 2 2 2 5 000 2(米) 12 【答案】C 【解析】 如图所示， 存在实数 m 使得AE mAD (0m1)， AD AB BD AB 3 4BC AB3 4(AC AB)1 4AB 3 4AC ，所以AEm 1 4AB 3 4AC m 4AB 3m 4 AC ，所以 m 4， 3m 4 ， 所以 t(1
11、)22 m 41 2 3m 4 2 5 8m 2m 21 5 8 m2 5 2 9 10， 所以当 m2 5时，t(1) 22取得最小值9 10. 13 【答案】120 10 【解析】因为 cos Ccos(AB)cos(AB)1 2，所以 C120. 由题设，得 ab2 3， ab2， 所以 AB2AC2BC22AC BCcos Ca2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(2 3)2210. 所以 AB 10. 14解：(1)因为(2ab)cos Cccos B， 所以(2sin Asin B)cos Csin Ccos B， 2sin Acos Csin Bcos Csin
12、Ccos B， 即 2sin Acos Csin(BC) 所以 2sin Acos Csin A. 因为 A(0，)， 所以 sin A0. 所以 cos C1 2. 所以 C 3. (2)由 S1 2absin C10 3，C 3， 得 ab40. 由余弦定理得 c2a2b22abcos C， 即 c2(ab)22ab 1cos 3 ， 所以 72(ab)2240 11 2 . 所以 ab13. 由得 a8，b5 或 a5，b8. C 拓展探究 15解：(1)在ABC 中，因为 AB80 m，BC70 m，CA50 m， 由余弦定理得 cosBACAB 2AC2BC2 2ABAC 80 25
13、02702 28050 1 2. 因为BAC 为ABC 的内角，所以BAC 3 . (2)法一：因为发射点 O 到 A，B，C 三个工作点的距离相等，所以点 O 为ABC 外接圆的圆心 设外接圆的半径为 R，则在ABC 中， BC sin A2R. 由(1)知 A 3 ，所以 sin A 3 2 . 所以 2R70 3 2 140 3 3 .即 R70 3 3 . 如图，连接 OB，OC，过点 O 作边 BC 的垂线，垂足为 D. 在OBD 中，OBR70 3 3 ，BDBC 2 70 2 35， 所以 OD OB2BD2（70 3 3 ）235235 3 3 . 即点 O 到直线 BC 的距离为35 3 3 m. 法二：因为发射点 O 到 A，B，C 三个工作点的距离相等，所以点 O 为ABC 外接圆的圆心 连接 OB，OC，过点 O 作边 BC 的垂线，垂足为 D. 由(1)知BAC 3 ， 所以BOC2 3 ，所以BOD 3 . 在 RtBOD 中，BDBC 2 70 2 35 ， 所以 OD BD tan BOD 35 tan 60 35 3 3 . 即点 O 到直线 BC 的距离为35 3 3 m.
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