1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1下列说法正确的是( ) A若|a|b|，则 ab B若|a|b|，则 ab C若 ab，则 ab D若 ab，则 a，b 不是共线向量 答案 C 解析 向量不能比较大小，所以 A 不正确；ab 需满足两个条件：a，b 同向且|a|b|，所 以 B 不正确；C 正确；若 a，b 是共线向量，则只需 a，b 方向相同或相反，D 不正确 2如图，向量AB a，ACb，CD c，则向量BD 可以表示为( ) Aabc Babc Cbac Dba
2、c 答案 C 解析 依题意得，BD AD AB ACCD AB ， 即BD bac，故选 C. 3已知 A(2，3)，AB (3，2)，则点 B 和线段 AB 的中点 M 的坐标分别为( ) AB(5，5)，M(0,0) BB(5，5)，M 7 2，4 CB(1,1)，M(0,0) DB(1,1)，M 7 2，4 答案 B 解析 设原点为 O，则OB OA AB (2，3)(3，2) (5，5)，AB 的中点 M 7 2，4 . 4已知在ABC 中，sin Asin Bsin C432，则 cos B 等于( ) A.11 16 B. 7 9 C. 21 16 D. 29 16 答案 A 解析
3、 依题意，设 a4k，b3k，c2k(k0)，则 cos Ba 2c2b2 2ac 16k 24k29k2 24k2k 11 16. 5设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)且 ac，bc，则|ab|等于( ) A. 5 B2 5 C. 10 D10 答案 C 解析 向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)且 ac，bc， 2x40 x2,1(4)2y0y2， 从而 ab(2,1)(1，2)(3，1)， 因此|ab|3212 10，故选 C. 6一海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行，30 分钟后到 达 B 处 在 C 处有一
4、座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是南偏东 70 ， 在 B 处观察灯塔， 其方向是北偏东 65 ，那么 B，C 两点间的距离是( ) A10 3海里 B10 2海里 C20 3海里 D20 2海里 答案 B 解析 根据已知条件可知，在ABC 中，AB20，BAC30 ，ABC105 ，所以C 45 ， 由正弦定理，得 BC sin 30 20 sin 45 ， 所以 BC 201 2 2 2 10 2.故选 B. 7在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ccos Aacos C2c，若 ab， 则 sin B 等于( ) A. 15 4 B.1 4 C. 3
5、4 D. 3 2 答案 A 解析 ccos Aacos C2c， 由正弦定理，可得 sin Ccos Asin Acos C2sin C， sin(AC)2sin C，sin B2sin C，b2c， 又 ab，a2c. cos Ba 2c2b2 2ac 4c 2c24c2 22c2 1 4， B(0，)，sin B 1cos2B 15 4 . 8已知点 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 答案 B 解析 AB |AB |为AB
6、方向上的单位向量， AC |AC |为AC 方向上的单位向量， 则 AB |AB | AC |AC |的方向为BAC 的平分线AD 的方向 又 (0，)， 所以 AB |AB | AC |AC | 的方向与 AB |AB | AC |AC |的方向相同 而OP OA AB |AB | AC |AC | ， 所以点 P 在AD 上移动， 所以点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分) 9下列四式可以化简为PQ 的是( ) AAB (PABQ ) B(AB PC)(BAQC
7、 ) CQC CQ QP DPA ABBQ 答案 ABC 解析 AB (PABQ )(AB BQ )AP AQ AP PQ ；(AB PC )(BA QC )(AB AB) (PC CQ )PQ ；QC CQ QP QP PQ ；PA ABBQ PB BQ PQ . 10若 a，b，c 均为单位向量，且 a b0，(ac) (bc)0，则|abc|的值可能为( ) A. 21 B1 C. 2 D2 答案 AB 解析 因为 a，b，c 均为单位向量， 且 a b0，(ac) (bc)0， 所以 a bc (ab)c20， 所以 c (ab)1， 而|abc| abc2 a2b2c22a b2a
8、c2b c 32c ab 321， 所以选项 C，D 不正确，故选 AB. 11在ABC 中，若 AB4，AC5，BCD 为等边三角形(A，D 两点在 BC 两侧)，则当四 边形 ABDC 的面积 S 最大时，下列选项正确的是( ) ABAC2 3 BBAC5 6 CS41 3 4 20 DS41 3 4 答案 BC 解析 设 BCa，c4，b5，BCD 是等边三角形， SBCD 3 4 a2， 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 得 S四边形ABDCSBCDSABC 3 4 a21 2cbsin A 3 4 (251640cos A)1 220sin A 41 3 4 10sin A
9、10 3cos A41 3 4 20sin A 3 . 故当 A 3 2，即 ABAC 5 6 时，四边形 ABDC 的面积最大，为41 3 4 20，故选 BC. 12设点 M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法中正确的是( ) A若AM 1 2AB 1 2AC ，则点 M 是边 BC 的中点 B若AM 2AB AC，则点 M 在边 BC 的延长线上 C若AM BM CM ，则点 M 是ABC 的重心 D若AM xAB yAC，且 xy1 2，则MBC 的面积是ABC 面积的 1 2 答案 ACD 解析 A 项，AM 1 2AB 1 2AC 1 2AM 1 2AB 1 2AC 1 2AM
10、，即BM MC ，则点 M 是边 BC 的中 点，所以 A 正确； B 项，AM 2AB ACAM AB ABAC，即BM CB ，则点 M 在边 CB 的延长线上，所以 B 错误 C 项如图，设 BC 的中点为 D， 则AM BM CM MB MC 2MD ，由重心性质可知 C 成立 D 项，AM xAB yAC， 且 xy1 22AM 2xAB 2yAC，2x2y1， 设AD 2AM ， 所以AD 2xAB 2yAC，2x2y1， 可知 B，C，D 三点共线， 所以MBC 的面积是ABC 面积的1 2，所以 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13若三
11、点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则1 a 1 b的值为_ 答案 1 2 解析 AB (a2，2)，AC(2，b2)， 依题意，有(a2)(b2)40， 即 ab2a2b0， 所以1 a 1 b 1 2. 14设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2cos Asin Bb2sin Acos B，则 ABC 的形状为_ 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由 a2cos Asin Bb2sin Acos B 及正弦定理， 得 sin 2Asin 2B， 所以 AB 或 AB 2， 故ABC 是等腰三角形或直角三角形 15在直角梯形 ABCD 中
12、，ABCD，ADAB，B45 ，AB2CD2，M 为腰 BC 的中 点，则MA MD _. 答案 2 解析 以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系(图略)， 则由题意得 A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M 3 2， 1 2 . 所以MA 3 2， 1 2 ，MD 3 2， 1 2 ， 所以MA MD 9 4 1 42. 16如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点 C，测得塔顶的仰角为 ，由 C 向塔前 进 30 米后到点 D，测得塔顶的仰角为 2，再由 D 向塔前进 10 3米后到点 E，测得塔顶的仰 角为 4，则 _，塔
13、高为_米 答案 12 15 解析 由题意，得CPDEDPDCP2， PDCD30， DPEAEPEDP422， PEDE10 3， 在PDE 中，由余弦定理得， cos 2PD 2DE2PE2 2PD DE 30 210 3210 32 23010 3 3 2 ， 2 6， 12，4 3， sin 4PA PE， PAPE sin 410 3 3 2 15. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知AB (1,3)，BC(3，m)，CD (1，n)，且AD BC . (1)求实数 n 的值； (2)若AC BD ，求实数 m 的值 解 (1)因为AB (1,3)，B
14、C(3，m)，CD (1，n)， 所以AD AB BCCD (3,3mn)， 因为AD BC ，设AD BC ， 即 33， 3mnm， 解得 n3. (2)因为AC ABBC(2,3m)， BD BC CD (4，m3)， 又AC BD ，所以AC BD 0， 即 8(3m)(m3)0， 解得 m 1. 18(12 分)已知向量 a3e12e2，b4e1e2，其中 e1(1,0)，e2(0,1) (1)求 a b，|ab|； (2)求 a 与 b 的夹角的余弦值 解 (1)因为 e1(1,0)，e2(0,1)， 所以 a3e12e2(3，2)， b4e1e2(4,1)， 所以 a b(3，2
15、) (4,1)12210， ab(7，1)， 所以|ab|72125 2. (2)设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 10 13 17 10 221 221 . 19(12 分)在3c216S3(b2a2)；5bcos C4c5a，这两个条件中任选一个，补充在 下面问题中，然后解答补充完整的题目 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设ABC 的面积为 S，已知_ (1)求 tan B 的值； (2)若 S42，a10，求 b 的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解 (1)选择条件： 由题意得 8acsin B3(a2c2b2)
16、即 4sin B3 a2c2b2 2ac ， 整理可得 3cos B4sin B0, 又 sin B0，所以 cos B0， 所以 tan Bsin B cos B 3 4. 选择条件： 因为 5bcos C4c5a， 由正弦定理得 5sin Bcos C4sin C5sin A， 5sin Bcos C4sin C5sin(BC)， 即 sin C(45cos B)0. 在ABC 中，sin C0，所以 cos B4 5，又 0B， sin B 1cos2B3 5， 所以 tan B3 4. (2)选择：由 tan B3 4，得 sin B 3 5，又 S42，a10， 则 S1 2acsi
17、n B 1 210c 3 542，解得 c14. 将 S42，a10，c14 代入 6c216S3(b2c2a2)中， 得 614216423(b2142102)， 解得 b6 2. 选择：S1 2acsin B 1 210c 3 542， 解得 c14，又 a10， 由余弦定理得，b2a2c22ac cos B， 即 b210019621404 572，所以 b6 2. 20.(12 分)如图， 在四边形 ABCD 中， 已知ADC75 ， AD5， AB7， BDA60 ， BCD 135 . (1)求 BD 的长； (2)求 CD 的长 解 (1)在ABD 中，AD5，AB7，BDA60
18、 ， 由余弦定理可得，AB2AD2BD22AD BD cosBDA, 即 4925BD225 BD cos 60 ， 则 BD25BD240， 解得 BD8(BD3 舍去). (2)在BCD 中，BDCADCBDA75 60 15 ， 又BCD135 ，则CBD180 135 15 30 . 由(1)得 BD8，由正弦定理得 CD sinCBD BD sinBCD， 即 CD sin 30 8 sin 135 ， 解得 CD4 2. 21(12 分)如图，在平面上，直线 l1l2，A，B 分别是 l1，l2上的动点，C 是 l1，l2之间的一 定点，C 到 l1的距离 CM1，C 到 l2的距
19、离 CN 3，ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ab，且 bcos Bacos A. (1)判断ABC 的形状； (2)记ACM，f()1 b 1 a，求 f()的最大值 解 (1)由正弦定理及 bcos Bacos A， 得 sin 2Bsin 2A. 因为 ab， 所以 AB， 所以 2A2B， 所以 C 2， 所以ABC 是直角三角形 (2)由(1)得BCN 2， 则 b 1 cos ，a 3 sin ， f()1 b 1 acos 3 3 sin 2 3 3 cos 6 . 所以当 6时，f()取得最大值，为 2 3 3 . 22.(12 分)如图所示，在ABC 中
20、，AQ QC ，AR 1 3AB ，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长线 与边 BC 交于点 P. (1)用AB 和AC分别表示BQ 和CR ； (2)如果AI ABBQ AC CR，求实数 和 的值； (3)确定点 P 在边 BC 上的位置 解 (1)由AQ 1 2AC ， 可得BQ BA AQ AB 1 2AC . AR 1 3AB ，CRCAARAC1 3AB . (2)将BQ AB 1 2AC ，CRAC1 3AB ， 代入AI ABBQ AC CR， 则有AB AB 1 2AC AC AC 1 3AB ， 即(1)AB 1 2AC 1 3AB (1)AC， AB ，AC不共线， 11 3， 1 21， 解得 4 5， 3 5. (3)设BP mBC，APnAI. 由(2)知AI 1 5AB 2 5AC ， BP APABnAIABn 1 5AB 2 5AC AB 2n 5 AC n 51 AB mBCmACmAB， mn 51， m2n 5 ， 解得 m2 3， n5 3， BP 2 3BC ，即BP PC2， 点 P 在 BC 的三等分点且靠近点 C 处
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