1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.若OA (1，2)，OB (1，1)，则AB 等于( ) A.(2，3) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 解析 OA (1，2)，OB (1，1)， 所以AB OB OA (11，12)(2，3). 答案 D 2.已知ABC 中，c6，a4，B120 ，则 b 等于( ) A.76 B.2 19 C.27 D.2 7 解析 由余弦定理，得 b2a2c22accos B
2、76，所以 b2 19. 答案 B 3.设e1，e2为基底，已知向量AB e 1ke2，CB 2e 1e2， CD 3e13e2，若 A， B，D 三点共线，则 k 的值是( ) A.2 B.3 C.2 D.3 解析 易知DB CB CD e12e2(e12e2)， 又 A，B，D 三点共线，则DB AB ，则 k2，故选 A. 答案 A 4.向量 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab) a 等于( ) A.1 B.0 C.1 D.2 解析 2ab(2，2)(1，2)(1，0)， (2ab) a(1，0) (1，1)1，故选 C. 答案 C 5.已知向量 a 3 2，sin ，b sin ，
3、1 6 ，若 ab，则锐角 为( ) A.30 B.60 C.45 D.75 解析 ab，sin23 2 1 6 1 4，sin 1 2. 又 为锐角，30 . 答案 A 6.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 ，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 解析 由题意得ACB120 ， AB2a2a22a2cos 120 3a2， 所以 AB 3a.故选 B. 答案 B 7.在ABC 中，点 M 是 BC 的
4、中点，AM1，点 P 在 AM 上，且满足 AP2PM， 则PA (PBPC)等于( ) A.4 9 B.4 3 C.4 3 D.4 9 解析 由题意可知点 P 是ABC 的重心， PA PBPC0，PA (PBPC)PA2 2 3MA 2 4 9. 答案 A 8.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acos C4csin A，若 ABC 的面积 S10，b4，则 a 的值为( ) A.23 3 B.25 3 C.26 3 D.28 3 解析 由 3acos C4csin A，得 a sin A 4c 3cos C.由正弦定理得 c sin C 4c 3cos C，
5、tan C3 4，sin C 3 5.又 S 1 2absin C10，b4，所以 a 25 3 ，故选 B. 答案 B 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四 边形不可能为( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析 AB (3，3)，CD (2，2)， AB 3 2CD ，AB 与CD 共线. 又|AB |CD |，该四边形为梯形. 答案 BCD
6、10.已知向量 a(1， 0)， b(cos ， sin )， 2， 2 ， 则|ab|的值可以是( ) A. 2 B. 3 C.2 D.2 2 解析 |ab|（1cos ）2sin2 22cos . 因为 2， 2 ，所以 cos 0，1. 所以|ab| 2，2.结合选项可知选 ABC. 答案 ABC 11.在ABC 中，若 b 3，c3，B30 ，则 a 等于( ) A. 3 B.2 3 C.3 3 D.4 3 解析 由正弦定理得 b sin B c sin C， 即 3 sin 30 3 sin C，所以 sin C 3 2 ， 又 0 C180 ，所以 C60 或 120 . 当 C6
7、0 时，A90 ，a232( 3)2，a2 3， 当 C120 时，A30 ，ab 3. 答案 AB 12.在ABC 中，sin Csin(AB)3sin 2B.若 C 3，则 a b等于( ) A.1 2 B.1 3 C.2 D.3 解析 由 sin Csin(AB)3sin 2B，可得 sin(AB)sin(AB)6sin Bcos B， 整理得 sin Acos B3sin Bcos B， 故 cos B0 或 sin A3sin B， 当 cos B0 时，又 B(0，)，所以 B 2， 又 C 3，所以 A 6， a b sin A sin B 1 2， 当 sin A3sin B
8、时，a b sin A sin B3，故选 AD. 答案 AD 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13.已知 A(2，3)，AB (3，2)，则线段 AB 的中点坐标为_. 解析 OB OA AB (2，3)(3，2)(5，5)， AB 中点为 7 2，4 . 答案 7 2，4 14.若|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为 60 ，若(3a5b)(mab)，则 m 的值为 _. 解析 由题意知(3a5b) (mab)3ma2(5m3)a b5b20，即 3m(5m 3)2cos 60 540，解得 m23 8 . 答案 23 8 15.已知
9、|a|2，|b|10，a 与 b 的夹角为 120 ，与 a 同向的单位向量为 e，则向 量 b 在向量 a 方向上的投影向量是_. 解析 向量 b 在向量 a 方向上的投影向量为|b|cos e10cos 120 e5e. 答案 5e 16.在ABC 中，若 b5，B 4，tan A2，则 sin A_；a_(本 题第一空 3 分，第二空 2 分). 解析 因为ABC 中，tan A2，所以 A 是锐角，且sin A cos A2，sin 2Acos2A1， 联立解得 sin A2 5 5 ，再由正弦定理得 a sin A b sin B，代入数据解得 a2 10. 答案 2 5 5 2 1
10、0 四、 解答题(本题共 6 小题， 共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)在ABC 中，cos A 5 13，cos B 3 5. (1)求 sin C 的值； (2)设 BC5，求ABC 的面积. 解 (1)由 cos A 5 13及 A(0，)，得 sin A 12 13， 由 cos B3 5及 B(0，)，得 sin B 4 5. 所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B16 65. (2)由正弦定理得 ACBC sin B sin A 54 5 12 13 13 3 . 所以ABC 的面积 S1 2 BC AC s
11、in C 1 25 13 3 16 65 8 3. 18.(12 分)已知向量 a3e12e2，b4e1e2，其中 e1(1，0)，e2(0，1). (1)求 a b，|ab|； (2)求 a 与 b 的夹角的余弦值. 解 (1)因为 e1(1，0)，e2(0，1)， 所以 a3e12e2(3，2)， b4e1e2(4，1)， 所以 a b(3，2) (4，1)12210，ab(7，1)， 所以|ab|72（1）25 2. (2)设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 10 13 17 10 221 221 . 19.(12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
12、为 a，b，c，已知 cos C(cos A 3sin A)cos B0. (1)求角 B 的大小； (2)若 ac1，求 b 的取值范围. 解 (1)由已知得cos(AB)cos Acos B 3sin Acos B0， 即 sin Asin B 3sin Acos B0， 因为 sin A0，所以 sin B 3cos B0， 即 tan B 3， 又 B 为三角形的内角，则 B 3. (2)因为 ac1，即 c1a， 所以由余弦定理得 b2a2c22ac cos B， 即 b2a2c2ac(ac)23ac13a(1a)3 a1 2 2 1 4， 因为 0a1，所以1 4b 21，则1 2
13、b8，所以货轮无触礁危险. 21.(12 分)已知 e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB 2e 1e2，BE e 1 e2，EC 2e 1e2，且 A，E，C 三点共线. (1)求实数 的值； (2)若 e1(2，1)，e2(2，2)，求BC 的坐标； (3)已知点 D(3，5)，在(2)的条件下，若 A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行 四边形，求点 A 的坐标. 解 (1)AE ABBE(2e 1e2)(e1e2)e1(1)e2. A，E，C 三点共线，存在实数 k，使得AE kEC， 即 e1(1)e2k(2e1e2)， 得(12k)e1(k1)e2. e1，e2是平面内两个
14、不共线的非零向量， 12k0， k10，解得 k1 2， 3 2. (2)BC BEEC3e 11 2e2(6，3)(1，1)(7，2). (3)A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， AD BC .设 A(x，y)，则AD (3x，5y). BC (7，2)， 3x7， 5y2，解得 x10， y7， 即点 A 的坐标为(10 ，7). 22.(12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac.已知BA BC 2，cos B1 3，b3，求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(BC)的值. 解 (1)由BA BC2，得 c acos B2，又 cos B1 3，所以 ac6. 由余弦定理，得 a2c2b22accos B. 又 b3，所以 a2c292213. 解 ac6， a2c213，得 a2，c3 或 a3，c2. 因为 ac，所以 a3，c2. (2)在ABC 中，sin B 1cos2B1 1 3 2 2 2 3 ， 由正弦定理，得 sin Cc bsin B 2 3 2 2 3 4 2 9 . 因为 abc， 所以 C 为锐角， 因此 cos C 1sin2C1 4 2 9 2 7 9. 于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C1 3 7 9 2 2 3 4 2 9 23 27.
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