1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 一、选择题 1设向量 a，b 均为单位向量，且|ab|1，则 a 与 b 的夹角 为( ) A. 3 B. 2 C.2 3 D.3 4 2已知ABC 中，a 2，b 3，B60 ，那么角 A 等于( ) A135 B90 C45 D30 3设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos A 3 2 且 bc，cos B1 4，则 a c( ) A.2 B.1 2 C.3 D.1 3 8若四边形 ABCD 满足AB CD 0，(AB AD ) AC 0，则该四边形一定是( ) A正方形 B矩形 C菱形 D直角梯形
2、 9在ABC 中，BC 边上的中线 AD 的长为 2，BC2 6，则AB AC( ) A1 B2 C2 D1 10在ABC 中，若|AB |1，|AC| 3，|ABAC|BC|，则AB BC |BC | ( ) A. 3 2 B.1 2 C.1 2 D. 3 2 11在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 65，BD 17，周长为 18，则这个平行四边形的面积等于( ) A16 B35 2 C18 D32 12设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3acos C4csin A，已知ABC 的面积 S1 2bcsin A10，b4，则 a 的值为( ) A.23 3 B
3、.25 3 C.26 3 D.28 3 二、填空题 13设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _ 14设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 bc2a，3sin A5sin B，则角 C_ 15在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 c2，C 3.若 sin B2sin A，则ABC 的面 积为_ 16某人在点 C 测得塔顶 A 在南偏西 80 ，仰角为 45 ，此人沿南偏东 40 方向前进 100 米到点 D 处，测得 塔顶 A 的仰角为 30 ，则塔高为_米 三、解答题 17已知|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为
4、60 ，c5a3b，d3akb，当实数 k 为何值时， (1)cd； (2)cd. 18已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2，cos B3 5. (1)若 b4，求 sin A 的值； (2)若ABC 的面积为 4，求 b，c 的值 19已知 e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB 2e 1e2，BE e 1e2，EC 2e 1e2，且 A，E， C 三点共线 (1)求实数 的值； (2)若 e1(2，1)，e2(2，2)，求BC 的坐标； (3)已知点 D(3，5)，在(2)的条件下，若 A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A 的坐标
5、20在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c2，C60 . (1)求 ab sin Asin B的值； (2)若 abab，求ABC 的面积 21ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(AC)8sin2B 2. (1)求 cos B； (2)若 ac6，ABC 的面积为 2，求 b. 22如图，在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c4，b2，2ccos Cb，D，E 分别 为线段 BC 上的点，且 BDCD，BAECAE. (1)求线段 AD 的长； (2)求ADE 的面积 参考答案 一、选择题： 1 【答案】C
6、【解析】因为|ab|1，所以|a|22a b|b|21，所以 cos 1 2.又 0，所以 2 3 . 2 【答案】C 【解析】由正弦定理 a sin A b sin B 2 sin A 3 sin B，则 sin A 2 3sin B 2 2 .因为 ab， 所以 AB，所以 A45 . 3 【答案】C 【解析】由 a2b2c22bccos A，得 4b2126b，解得 b2 或 4.又 bc，cos B1 4，所以由余弦定理，得 b 2 a2c22ac 1 42ac，即 2 a c 2 5 a c20，解得 a c2 或 1 2(舍去)，故选 A. 8 【答案】C 【解析】 由AB CD
7、0， 即AB DC ， 可得四边形 ABCD 为平行四边形， 由(AB AD ) AC 0， 即DB AC 0， 可得DB AC ，所以四边形一定是菱形，故选 C. 9 【答案】C 【解析】AB AC(AD DB ) (AD DC )(AD DB ) (AD DB )AD 2DB2462. 10 【答案】B 【解析】由向量的平行四边形法则，知当|AB AC|BC|时，A90 . 又|AB |1，|AC| 3，故B60 ，C30 ，|BC|2， 所以AB BC |BC | |AB |BC|cos 120 |BC | 1 2. 11 【答案】A 【解析】设 ABCDa，ADBCb，则 2（ab）1
8、8， 65172（a2b2），解得 a4， b5 或 a5， b4. 所以 cosBAD5 24217 2 5 4 3 5，所以 sinBAD 4 5，S4 5 4 516. 12 【答案】B 【解析】由 3acos C4csin A 得 a sin A 4c 3cos C，又由正弦定理 a sin A c sin C，得 c sin C 4c 3cos Ctan C 3 4，由 S 1 2bcsin A10，b4csin A5，由 tan C 3 4sin C 3 5，又根据正弦定理，得 a csin A sin C 5 3 5 25 3 .故选 B. 二、填空题 13 【答案】1 2 【解
9、析】因为 ab 与 a2b 平行， 所以 abt(a2b)ta2tb，又向量 a，b 不平行， 所以 t， 12t，所以 1 2， t1 2. 14 【答案】2 3 【解析】由已知条件和正弦定理得：3a5b，且 bc2a，则 a5b 3 ，c2ab7b 3 ， cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 又 0C0) 因为 CD100 米，BCD80 40 120 ，BD2BC2CD22BC CDcosBCD， 所以 3x2x210022 100 x 1 2 ， 所以 2x2100 x10 0000. 所以 x250 x5 0000.所以 x100 或 x50(舍去) 三、解答题 17解：由题
10、意得 a b|a|b|cos 60 2 3 1 23. (1)当 cd 时，cd，则 5a3b(3akb) 所以 35，且 k3，所以 k9 5. (2)当 cd 时，c d0，则(5a3b) (3akb)0. 所以 15a23kb2(95k)a b0， 所以 k29 14. 18解：(1)因为 cos B3 5，所以 sin B 4 5. 因为 a2，b4，所以 sin Aasin B b 2 4 5 4 2 5. (2)因为 S ABC 41 2 2c 4 5，所以 c5， 所以 b4252 2 5 3 5 17. 19解：(1)AE ABBE(2e 1e2)(e1e2)e1(1)e2.
11、因为 A，E，C 三点共线，所以存在实数 k，使得AE kEC，即 e 1(1)e2k(2e1e2)，得(12k)e1(k 1)e2. 因为 e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以 12k0， k10，解得 k 1 2， 3 2. (2)BC BEEC3e 11 2e2(6，3)(1，1)(7，2) (3)因为 A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD BC .设 A(x，y)，则AD (3x，5y)因 为BC (7，2)，所以 3x7， 5y2，解得 x10， y7， 即点 A 的坐标为(10，7) 20 解： (1)因为 c2， C60 ， 由正弦定理 a sin A
12、 b sin B c sin C， 得 a sin A b sin B ab sin Asin B c sin C 2 sin 60 4 3 3 ， 所以 ab sin Asin B 4 3 3 . (2)由余弦定理，得 c2a2b22abcos C，即 4a2b2ab(ab)23ab. 因为 abab，所以(ab)23ab40，解得 ab4 或 ab1(舍去) 所以 S ABC 1 2absin C 1 2 4 3 2 3. 21解：(1)由题设及 ABC 得 sin B8sin2B 2，故 sin B4(1cos B) 上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150， 解得 co
13、s B1(舍去)，cos B15 17. (2)由 cos B15 17得 sin B 8 17，故 S ABC 1 2acsin B 4 17ac.又 S ABC 2，则 ac17 2 . 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accos B (ac)22ac(1cos B) 362 17 2 115 17 4. 所以 b2. 22解：(1)因为 c4，b2，2ccos Cb， 所以 cos C b 2c 1 4. 由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab a 2416 4a 1 4， 所以 a4，即 BC4. 在ACD 中，CD2，AC2， 所以 AD2AC2CD22AC CD cosACD6， 所以 AD 6. (2)因为 AE 是BAC 的平分线， 所以S ABE S ACE 1 2AB AE sinBAE 1 2AC AE sinCAE AB AC2， 又S ABE S ACE BE EC，所以 BE EC2， 所以 CE1 3BC 4 3，DE2 4 3 2 3. 又因为 cos C1 4，所以 sin C 1cos 2C 15 4 . 所以 S ADE S ACD S ACE 1 2 DC AC sin C 1 2EC AC sin C 1 2 DE AC sin C 15 6 .
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