1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第一课时第一课时 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 课标要求 素养要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线 与圆的位置关系. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆 的三种位置关系. 通过直线与圆的位置关系的判断，进一 步提升数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 直线与圆的位置关系及判断(直线：AxByC0(A，B 不同时为 0)，圆：(xa)2 (yb)2r2) 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 个 1 个 0 个 判定 方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d|AaBb
2、C| A2B2 dr 代数法：由 AxByC0 （xa）2（yb）2r2 消元得到一元二次方程的判 别式 0 0 0)相切，则 a 等于 4.() 提示 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即 |a| 2 a，解之得 a 2. (4)直线 x2y10 与圆 2x22y24x2y10 的位置关系是相交.() 2.已知直线 xa(a0)和圆(x1)2y24 相切，那么 a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 C 解析 由题意知圆心(1，0)到直线 xa 的距离为 2，即|a1|2(a0)，解之得 a 3. 3.直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系是( ) A.相切 B
3、.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 答案 B 解析 圆心到直线的距离 d 1 11 2 2 1， 又直线 yx1 不过圆心(0，0)，选 B. 4.圆 x2y24x0 在点 P(1， 3)处的切线方程为_. 答案 x 3y20 解析 由题意点 P 在圆上且 P 为切点. 点 P 与圆心(2，0)连线的斜率为 30 12 3， 切线的斜率为 3 3 ， 切线方程为 y 3 3 3 (x1)， 即 x 3y20. 题型一 直线与圆位置关系的判定 【例 1】 已知圆的方程是 x2y22，直线 yxb，当 b 为何值时，圆与直线 相交、相切、相离？ 解 法一 直线与圆的位置关系问题可转化为
4、方程组 x 2y22， yxb， 有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题. 代入，整理得 2x22bxb220， 方程的根的判别式 (2b)242(b22)4(b2)(b2). 当2b0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点， 直线与圆相交； 当 b2 或 b2 时，0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共 点，直线与圆相切； 当 b2 时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线 与圆相离. 综上，当2b2 或 b2 时，直线与圆相离. 法二 圆心(0，0)到直线 yxb 的距离为 d |b| 2，圆的半径 r 2. 当 dr，即 |b| 2 2时，直线
5、与圆相交，2br，即 |b| 2 2时，直线与圆相离，b2 或 b2. 综上当2b2 或 b1，故点 M 在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是 y4k(x2)，即 kxy42k0， 由于直线与圆相切，故 |k342k| k2（1）21，解得 k 24 7 . 所以切线方程为 24x7y200. 又当切线斜率不存在时，直线 x2 与圆相切. 综上所述，所求切线方程为 24x7y200 或 x2. 【迁移 1】 若将例 2 中的点 M 的坐标改为(1，2)，其他条件不变，又如何求 其切线方程？ 解 由于(11)2(23)21，故点 M 在圆上， 设圆的圆心为 C，则 C(1，3)，显然 CM
6、的斜率不存在. 圆的切线垂直于经过切点的半径， 所求切线的斜率 k0，切线方程为 y2. 【迁移 2】 若例 2 中的条件不变，如何求其切线长？ 解 由题知，设切线长为 d，d （21）2（43）221 5017. 思维升华 1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法 (1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值. 此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其 切线方程. (2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用0 求未知量的值. 若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不 存在，可直接写出其切线
7、的方程. 2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切 线有两条. 【训练 2】 (1)圆 x2y24 在点 P( 3，1)处的切线方程为( ) A. 3xy20 B. 3xy40 C. 3xy40 D. 3xy20 (2)点 P 是直线 2xy100 上的动点，PA，PB 与圆 x2y24 分别相切于 A，B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为_. 答案 (1)C (2)8 解析 (1)( 3)2(1)24， 点 P 在圆上.P 为切点. 切点与圆心连线的斜率为 3 3 ， 切线的斜率为 3， 切线方程为 y1 3(x 3)， 即 3xy40. (2)如图所
8、示，因为 S四边形PAOB2SPOA， 又 OAAP， 所以 S四边形PAOB21 2|OA| |PA| 2 |OP|2|OA|22|OP|24. 为使四边形 PAOB 面积最小，当且仅当|OP|达到最小， 又|OP|的最小值为点 O 到直线 2xy100 的距离，即|OP|min 10 22122 5， 故所求最小值为 2（2 5）248. 题型三 直线与圆相交的有关问题 【例 3】 求直线 x 3y2 30 被圆 x2y24 截得的弦长. 解 法一 直线 x 3y2 30 和圆 x2y24 的公共点坐标就是方程组 x 3y2 30， x2y24 的解. 解这个方程组，得 x 1 3， y1
9、1， x 20， y22. 所以公共点的坐标为( 3，1)，(0，2)， 所 以 直 线x 3 y 23 0被 圆x2 y2 4截 得 的 弦 长 为 （ 30）2（12）22. 法二 如图，设直线 x 3y2 30 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则 OMAB(O 为坐标原点)， 又|OM| |002 3| 12（ 3）2 3， 所以|AB|2|AM|2|OA|2|OM|2222（ 3）22. 思维升华 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r， 弦长为|AB|，则有 |AB
10、| 2 2 d2r2，即|AB|2 r2d2. 图 1 (2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别 是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图 2 则|AB| （x1x2）2（y1y2）2 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|(k0)， 其中 k 为直线 l 的斜率. 【训练 3】 (1)过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24 的弦，其中最短弦的长为 _. (2)圆心为 C(2，1)，截直线 yx 1 的弦长为 22的圆的方程为 _. 答案 (1)2 2 (2)(x2)2(y1)24 解析 (1)设点 A(3，1)，易知圆心 C(2，2)，半径
11、r2. 当弦过点 A(3，1)且与 CA 垂直时为最短弦， |CA|（23）2（21）2 2， 半弦长为 r2|CA|2 42 2. 最短弦的长为 2 2. (2)设圆的半径为 r，由条件， 得圆心到直线 yx1 的距离 d|211| 2 2. 又由题意知，半弦长为 2， r2224，得 r2. 圆的方程为(x2)2(y1)24. 1.一个注意点 研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时， 要考 虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条. 2.弦长公式的两种表达 (1)一般地，在解决圆和直线相交问题时，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的 一半、圆的半径构成的直角三角形. (2)还可以联立方程组，消去 y(或 x)，得到一个一元二次方程，利用方程根与系数 的关系表达出弦长 l k21 （x1x2）24x1x2 k21|x1x2|(或1 1 k2|y1 y2|(k0).
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