2.4.1圆的标准方程 学案（含答案）

1、2.4 圆的方程圆的方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 课标要求 素养要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角 坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 通过探索圆的标准方程并运用方程解决 问题，培养数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的标准方程 (1)当圆心在原点即 A(0，0)时，方程为 x2y2r2. (2)当圆心在原点即 A(0，0)，半径长 r1 时，方程为 x2y21，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径 是不变的. 3.点与圆

2、的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内.判断点与圆的位置关 系有两种方法： (1)几何法：将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较： 若|CM|r，则点 M 在圆上； 若|CM|r，则点 M 在圆外； 若|CM|r2； 点 M(m，n)在圆 C 内(ma)2(nb)2r2. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆.() 提示 当 m0 时，该方程表示点(a，b). (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.() (3)圆(x1)2(y2)24 的圆心坐标是(1，2)，半径是 4.() 提示 圆心坐标为(1，2)，半径为

3、2. (4)若圆的标准方程是(xm)2(yn)2a2(a0)，此时圆的半径一定是 a.() 提示 此时圆的半径为|a|. 2.经过点(2，2)，圆心为 C(1，1)的圆的方程是( ) A.(x1)2(y1)22 B.(x1)2(y1)22 C.(x1)2(y1)2 2 D.(x1)2(y1)2 2 答案 B 解析 圆的半径长 r（21）2（21）2 2，故圆的标准方程为(x1)2 (y1)22. 3.点 P(1，3)与以 A(2，1)为圆心，半径为 5 的圆的位置关系为( ) A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.无法确定 答案 B 解析 |PA| （12）2（31）2 172 6. 点 P

4、 在圆外. 题型一 求圆的标准方程 角度 1 直接法求圆的标准方程 【例 11】 (1)与 y 轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为 _. (2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的标准方程为_. 答案 (1)(x5)2(y3)225 (2)(x2)2y29 解析 (1)圆心坐标为(5，3)，又与 y 轴相切， 该圆的半径为 5， 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225. (2)设圆心 C 的坐标为(a，0)(a0)， 由题意知，|2a| 5 4 5 5 ，解得 a2，C(2，0)， 则

5、圆 C 的半径为 r|CM|（20）2（0 5）23. 圆的标准方程为(x2)2y29. 角度 2 待定系数法求圆的标准方程 【例 12】 求经过点 P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x3y10 上的 圆的标准方程. 解 法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 则 a 2b2r2， （1a）2（1b）2r2， 2a3b10， 解得 a4， b3， r5. 圆的标准方程是(x4)2(y3)225. 法二 (直接法) 由题意知，OP 是圆的弦，其垂直平分线方程为 xy10. 弦的垂直平分线过圆心， 由 2x3y10， xy10， 得 x4， y3， 即圆心坐标为(

6、4，3)， 半径为 r 42（3）25. 圆的标准方程是(x4)2(y3)225. 思维升华 1.用直接法求圆的标准方程的策略 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时， 要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面 几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等. 2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 【训练 1】 求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，1)，且过点(5，2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，4)； (3)求过两点

7、C(1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程. 解 (1)圆心为 C(4，1)，且过点(5，2)， 半径 r （54）2（21）2 10， 圆的标准方程为(x4)2(y1)210. (2)设圆心为 C(0，b)，r （30）2（4b）25， (4b)21642，4b4 或 4b4， b0 或 b8， 圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225. (3)设圆心为 M(a，0)，|MC|MD|， (a1)2(01)2(a1)2(03)2， 即 a22a11a22a19， a2，r|MC| 10， 圆的标准方程为(x2)2y210. 题型二 点与圆的位置关系的判断 【例 2

8、】 已知点 A(1，2)不在圆 C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数 a 的 取值范围. 解 由题意，得点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部， (1a)2(2a)22a2， 2a50，a5 2，又 a0， a 的取值范围是 5 2，0 (0，). 思维升华 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点 P(x0，y0)在圆 C 上(x0a)2(y0b)2r2； 点 P(x0，y0)在圆 C 内(x0a)2(y0b)2r2. 【训练 2】 已知 a，b 是方程 x2x 20 的两个不等的实数根，则点

9、P(a，b) 与圆 C：x2y28 的位置关系是( ) A.点 P 在圆 C 内 B.点 P 在圆 C 外 C.点 P 在圆 C 上 D.无法确定 答案 A 解析 由题意，ab1，ab 2， a2b2(ab)22ab12 22. P 到直线的最大距离为 22 2，最小距离为 2 22. 思维升华 一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题，常转化为圆 心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的数学思想. 【训练 3】 已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(0，1)，B(0，1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d|PA|2|PB|2，求 d 的最大值及最小值. 解 设

10、P(x，y)，则 d|PA|2|PB|22(x2y2)2. |CO|2324225 即|CO|5， (51)2x2y2(51)2，即 16x2y236. d 的最小值为 216234， 最大值为 236274. 1.一种方法待定系数法 确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组求 a，b，r 或直接求出圆心(a，b)和半径 r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化 繁为简，提高解题效率. 2.两个特征判断点与圆的位置关系的几何特征与代数特征 讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征 (点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.