1、第二课时第二课时 双曲线的方程及性质的应用双曲线的方程及性质的应用 课标要求 素养要求 1.理解直线与双曲线的位置关系. 2.会求解有关弦长问题. 通过运用双曲线的方程与性质解决问 题，提升逻辑推理及数学运算素养. 自主梳理 1.直线与双曲线位置关系的判断 设直线 l：ykxm(m0)， 双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 将代入，得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20. a.当 b2a2k20，即 k b a时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点. b.当 b2a2k20，即 k b a时，(2a 2mk)24(b2a2k2)(a2
2、m2a2b2)， 0直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； 0， 1k20 得2 3 3 k2 3 3 且 k 1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线 l 与双曲线有两个不同的公共点. (2)由 43k20， 1k20 得 k 2 3 3 ， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； 当 1k20，即 k 1 时， 直线 l 与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为 2x5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线 l 与双曲线相交， 有且只有一个公共点. 故当 k 2 3 3 或 1 时，
3、直线 l 与双曲线有且只有一个公共点. (3)由 43k20， 1k20 得 k2 3 3 ， 此时方程(*)无实数解， 即直线 l 与双曲线无公共点. 思维升华 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二 次项系数为 0 时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切 或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 【训练 1】 已知双曲线 x2y 2 41，过点 P(1，1)的直线 l 与双曲线只有一个公共 点，求直线 l 的斜率 k. 解 ()当直线 l 的斜率不存在时， l：x1
4、 与双曲线相切，符合题意. ()当直线 l 的斜率存在时， 设 l 的方程为 yk(x1)1， 代入双曲线方程， 得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50. 当 4k20 时，k 2， l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当 4k20 时，令 0，得 k5 2. 综上，k5 2或 k 2 或 k 不存在. 题型二 弦长公式及中点弦问题 【例 2】 过双曲线 x2y 2 31 的左焦点 F1 作倾斜角为 6的弦 AB，求|AB|的长. 解 易得双曲线的左焦点为 F1(2，0)， 直线 AB 的方程为 y 3 3 (x2)， 与双曲线方程联立，消 y 得 8x24x130.
5、 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x21 2，x1x2 13 8 ， |AB| 1k2 （x1x2）24x1x2 11 3 1 2 2 4 13 8 3. 思维升华 双曲线中有关弦长问题， 解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用 判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 【训练 2】 已知双曲线的方程为 x2y 2 21. 试问：双曲线上是否存在被点 B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线 方程；如果不存在，请说明理由. 解 法一 设被点 B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为 yk(x1)1，代入双 曲线方程 x2y 2 21，得(k 22)x22k(k1)x
6、k22k30， 2k(k1)24(k22)(k22k3)0， 解得 k3 2. 故双曲线上不存在被点 B(1，1)所平分的弦. 法二 设双曲线上存在被点 B 平分的弦 MN，且点 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x22，y1y22，且 x21y 2 1 21， x22y 2 2 21. 由得(x1x2)(x1x2)1 2(y1y2)(y1y2)0， kMNy 1y2 x1x22， 直线 MN 的方程为 y12(x1)，即 y2x1. 由 y2x1， x2y 2 21 消去 y，得 2x24x30. 又 82(其 中 O 为坐标原点)，求实数 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线的
7、方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0). 由已知得 a 3，c2，所以 b1. 故所求双曲线的方程为x 2 3y 21. (2)将 ykx 2代入x 2 3y 21，可得(13k2)x26 2kx90， 由题意知 13k20， 72k24（13k2）90， 解得 k21 3且 k 22，得 x1x2y1y22. 而 x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2) (k21)x1x2 2k(x1x2)2 (k21) 9 13k2 2k 6 2k 13k22 3k27 3k21. 所以3k 27 3k212，解得 1 3k 23. 由得1k 3 3 或 3 3 k0， 直线 AB 的
8、方程为 yx1. (2)由(1)得 x1x22，x1x23， |AB| 2 （x1x2）24x1x2 2 4124 2. 又点 O 到直线 AB 的距离 d 1 2 2 2 ， SAOB1 2|AB| d 1 24 2 2 2 2. 1.一个注意点判断直线与双曲线位置关系时应注意的问题 判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组， 方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数， 联立方程消去x或y中的一个后， 得到形如二次方程的式子中，要注意 x2项或 y2项系数是否为零的情况，否则容易 漏解. 2.一类综合问题的解题思路 双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等 式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的 判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
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