1、思维特训(十三) 图形与一元一次方程方法点津 利用几何图形的性质，如长方形的长和宽的数量关系、正方形的边长相等或图形的面积等，可建立一元一次方程来解有关几何图形的实际问题典题精练 类型一 以图形为载体的常规问题1如图 13S1 所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400 米，乙每秒跑 6 米，甲的速度是乙的 倍43(1)如果甲、乙在跑道上相距 8 米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？(2)如果甲在乙前面 8 米处，两人同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？图 13S12小亮做了一个用于放试管的木架子，他在 厘米长的木条上钻了 7 个孔，每个孔的834直径都为
2、a 厘米，如图 13S2 所示(1)如果两端的空间与任何相邻两孔之间的距离相同，当 a 时，请计算相邻两孔之间54的距离是多少厘米(2)如果两端的空间都是 厘米，其他相邻两孔之间的距离相同都为 厘米，请计算每32 4324个孔的直径为多少厘米图 13S2类型二 剪拼问题3如图 13S3，悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为 3 cm 的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 1 cm 的长方形纸条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的 2 倍求原正方形纸片的边长图 13S34如图 13S4 是某市民健身广场的平面示意图，它是由 6 个正方形拼成的长方形，已知中
3、间最小的正方形 A 的边长是 1 米(1)若设图中最大正方形 B 的边长是 x 米，请用含 x 的式子分别表示出正方形 F，E 和C 的边长；(2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的( 如图中的 MN 和 PQ)请根据这个等量关系，求出 x 的值；(3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙 2 个工程队单独铺设分别需要10 天、15 天完成如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工 2 天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还要多少天完成？图 13S4类型三 与图形面积相关的问题5一家住房的地面结构如图 13S5 所示，请根据图中的数据，解答下列问题：(1)用
4、含 x 的式子表示地面总面积；(2)已知客厅面积比卫生间面积多 21 m2，这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺 1 m2 地砖的平均费用为 60 元，求铺地砖的总费用为多少元图 13S56如图 13S6 所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD，其中 GH2 cm ， GK2 cm ，设 BFx cm .(1)求 x 的值；(2)求长方形 ABCD 的面积图 13S6类型四 动点问题7如图 13S7，在长方形 ABCD 中，AB6，CB8，点 P 与点 Q 分别是AB，CB 边上的动点，点 P 与点 Q 同时出发，点 P 以每秒 2 个单位长度的速
5、度从点 A 向点B 运动，点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 向点 B 运动当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动( 设运动时间为 t 秒)(1)如果存在某一时刻恰好使 QB2PB，求出此时 t 的值；(2)在(1)的条件下，求图中阴影部分的面积图 13S7类型五 图形堆放问题8八一体育馆设计一个由相同的正方体搭成的标志物(如图 13S8 所示) ，每个正方体的棱长为 1 米，其暴露在外面的面(不包括最底层的面 )用五夹板钉制而成，然后刷漆每张五夹板可做两个面，每平方米用漆 500 克(1)建材商店将一张五夹板按成本价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每张仍获利
6、4.8 元(五夹板必须整张购买 )，每张五夹板的进价为多少元？(2)油漆店开展“每满 100 元送 20 元，多买多送”的酬宾活动，所购油漆的售价为每千克 34 元试问购买五夹板和油漆共需多少钱？图 13S8详解详析1解：(1)设经过 x 秒甲、乙两人首次相遇，则 6 x6x4008，解得 x28.43答：经过 28 秒甲、乙两人首次相遇(2)设经过 y 秒甲、乙两人首次相遇，则 6 y6y4008，解得 y196.43答：经过 196 秒甲、乙两人首次相遇2解：(1)设相邻两孔之间的距离是 x 厘米根据题意，得 7 8x，解得834 54x1.5.答：相邻两孔之间的距离是 1.5 厘米(2)
7、设每个孔的直径为 y 厘米根据题意，可得 2 6 7y，834 32 4324解得 y1.答：每个孔的直径为 1 厘米3解：设原正方形纸片的边长为 x cm.根据题意，得 2(x3)22(x31) ，解得 x7.答：原正方形纸片的边长为 7 cm.4解：(1)若设图中最大正方形 B 的边长是 x 米，最小正方形 A 的边长是 1 米，则正方形 F 的边长为(x1) 米，正方形 E 的边长为(x2)米，正方形 C 的边长为(x3)米(表示方法不唯一)(2)因为 MNPQ，正方形 D 的边长为(x3)米，所以 x2x3x3xx1，解得 x7.(3)设余下的工程由乙队单独施工，还要 y 天完成根据题
8、意，得( )2 y1，110 115 115解得 y10.答：余下的工程由乙队单独施工，还要 10 天完成5解：(1)地面总面积为 91.5x(9 4)2(32) 43x(16.5x30)m 2.答：该住房的地面总面积为(16.5x30) m2.(2)由题意，得 91.5x3x21，解得 x2.所以铺地砖的总费用为(94) 23260960(元) 答：铺地砖的总费用为 960 元6解：(1)CM(x2)cm ，DMMK2(x2)2(2x 2)cm.ADAE DE 2x222x2(4x6) cm，BCxxxx2x2(5x4) cm，因为 ADBC，所以 4x65x4，解得 x2.(2)AB 2x
9、2 2x10( cm)，BC5x414(cm )所以长方形 ABCD 的面积为 1014140 ( cm2)7解：(1)由题意可知 AP 2t，CQt，所以 PBABAP62t，QBCB CQ 8t.当 QB2PB 时，有 8t2(62t)，解得 t .43故当 t 时，QB2PB.43(2)当 t 时，PB 62t ，43 103QB8t ，203所以 SQPB PBQB .12 12 103 203 1009因为 S 长方形 ABCDABCB 6 848，所以 S 阴影 S 长方形 ABCDS QPB .33298解：(1)设每张五夹板的进价为 x 元根据题意，得(140%) xx4.8，810解得 x40.答：每张五夹板的进价为 40 元(2)因为每张五夹板的进价为 40 元，所以每张五夹板的现价为 404.844.8(元) 几何体暴露在外面的面有 75 个，需购买五夹板 37.538 (张) ，即购买五夹板需付752费 44.8381702.4(元)几何体需要刷漆的面积为 751175 (米 2)，所以用漆总量为 750.537.5 (千克) ，所以购买油漆应付费 3437.51275(元) ，购买油漆实际付费 12751200 1035(元) ，20100因此购买五夹板和油漆共需费用为 1702.410352737.4(元) 答：购买五夹板和油漆共需 2737.4 元
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