1、思维特训(十七) 线段上的动点问题方法点津 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程时间速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解典题精练 类型一 动点无速度型1如图 17S1 所示，A， B，C 是一条公路边的三个村庄，A，B 间的距离
2、为 100 km，A，C 间的距离为 40 km，现要在 A，B 之间设一个车站 P，设 P，C 间的距离为 x km.(1)用含 x 的式子表示车站到三个村庄的距离之和；(2)若车站到三个村庄的距离之和为 105 km，则车站应设在何处？(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？图 17S12如图 17S2，某公司有三个住宅小区 A，B，C，A，B，C 各小区分别住有职工30 人、15 人、10 人，且这三个小区在一条大道上(即 A， B，C 三点共线)，已知 AB100米，BC200 米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点
3、的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？图 17S23已知数轴上 A，B 两点对应的数分别为 a 和 b，且 a，b 满足等式(a 9)2|7 b|0， P 为数轴上一动点，对应的数为 x.(1)求线段 AB 的长(2)数轴上是否存在点 P，使 PA3PB？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由(3)在(2)的条件下，若 M，N 分别是线段 AB，PB 的中点，试求线段 MN 的长类型二 动点有速度型4如图 17S3，P 是线段 AB 上任意一点，AB12 cm，C ，D 两点分别从点P，B 开始，同时向点 A 运动，且点 C 的运动速度为 2 cm/s，点 D 的运动速度为
4、 3 cm/s，运动的时间为 t s.(1)若 AP8 cm .求运动 1 s 后，CD 的长；当点 D 在线段 PB 上运动时，试说明 AC2CD.(2)如果 t2，CD1 cm，试探索 AP 的长图 17S35如图 17S4，B 是线段 AD 上一动点，沿 AD 以 2 cm/s 的速度运动，C 是线段 BD 的中点，AD10 cm ，设点 B 运动的时间为 t s.(1)当 t2 时，AB_ cm ；求线段 CD 的长(2)在运动过程中，若 AB 的中点为 E，则 EC 的长是否变化？若不变，求出 EC 的长；若发生变化，请说明理由图 17S46如图 17S5 甲，O 是线段 AB 上一
5、点，C ，D 两点分别从 O，B 同时出发，以 2 cm/s，4 cm/s 的速度在直线 AB 上运动，点 C 在 O，A 之间，点 D 在 O，B 之间(1)设 C，D 两点同时沿直线 AB 向左运动 t s 时，ACOD 12，求 的值；OAOB(2)在(1)的条件下，若 C，D 两点运动 s 后都停止运动，此时恰有 ODAC BD，52 12求 CD 的长；(3)在(2)的条件下，将线段 CD 在线段 AB 上左右滑动如图 17S5 乙(点 C 在 O，A之间，点 D 在 O，B 之间)，若 M，N 分别为 AC，BD 的中点，试说明线段 MN 的长度始终不发生变化图 17S5详解详析1
6、解：(1)如图，当点 P 在线段 BC 上时，车站到三个村庄的距离之和为 PAPBPC40x100(40x) x(100x)km ；如图，当点 P 在线段 AC 上时，车站到三个村庄的距离之和为PA PCPB40xx60x(100x) km.综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100x) km.(2)由(1)得 100x105，解得 x5.答：车站设在 C 村左侧或右侧 5 km 处(3)当 x0 时，x100100，此值最小答：车站设在 C 村时到三个村庄的距离之和最小2解：以 A 小区为停靠点，则所有人的路程之和为 15100103004500( 米)，以 B 小区为停靠点，则所有人的路
7、程之和为 30100102005000(米)，以 C 小区为停靠点，则所有人的路程之和为 303001520012000(米)因为 4500500012000，所以该停靠点的位置应设在 A 小区3解：(1)由(a9) 2|7b|0，得a90，7b0.解得 a9，b7.所以线段 AB 的长为 ba7(9) 16.(2)当点 P 在线段 AB 上时，PAPBAB，即 3PB PB AB16，PB4，此时 7x4，解得 x3；当点 P 在线段 AB 的延长线上时，PAPBAB ，即 3PB PB AB16，PB 8，此时 x7815.综上所述，x 的值为 3 或 15.(3)当点 P 在线段 AB
8、上时，由 M，N 分别是线段 AB，PB 的中点，得MB AB8， NB PB2.12 12由线段的和差，得MNMB NB826；当点 P 在线段 AB 的延长线上时，由 M，N 分别是线段 AB，PB 的中点，得MB AB8， NB PB4.12 12由线段的和差，得 MNMBNB8412.综上所述，MN 的长为 6 或 12.4解：(1)由题意可知：CP212(cm )，DB313(cm )，因为 AP8 cm，AB 12 cm，所以 PBABAP4 cm ，所以 CDCPPBDB2433(cm )因为 AP8 cm ，AB12 cm，所以 PB4 cm，AC(82t)cm ，所以 DP(
9、43t)cm ，所以 CDCPDP2t43t(4 t) cm，所以 AC2CD.(2)当 t2 时，CP 224(cm) ，DB326(cm) 当点 D 在点 C 的右边时，如图所示：因为 CD1 cm ，所以 CBCDDB7 cm ，所以 ACAB CB5 cm，所以 APAC CP9 cm ；当点 D 在点 C 的左边时，如图所示：因为 ADABDB6 cm ，所以 APADCD CP 11 cm.综上所述，AP9 cm 或 11 cm.5解：(1)因为 B 是线段 AD 上一动点，沿 AD 以 2 cm/s 的速度运动，所以当 t2 时，AB22 4(cm)因为 AD10 cm，AB 4
10、 cm ，所以 BD1046(cm )因为 C 是线段 BD 的中点，所以 CD BD 63(cm)12 12(2)不变因为 AB 的中点为 E，C 是线段 BD 的中点，所以 EB AB，BC BD，12 12所以 ECEBBC (AB BD) AD 105(cm) 12 12 126解：(1)设 ACx cm ，则 OD2x cm，又因为 OC2t cm，BD4t cm ，所以 OA(x 2t)cm，OB(2x4t)cm，所以 .OAOB 12(2)设 ACx cm，则 OD2x cm，又 OC2 5(cm )，BD4 10( cm)，由 ODAC BD，得 2xx 10，52 52 12 12解得 x5，所以 OD2510(cm )，所以 CDODOC10515( cm)(3)在(2)中有 AC5 cm，BD10 cm，CD15 cm，所以 ABACBDCD30 cm.设 AMCMm cm ，BNDN y cm，因为 2m152y30，所以 my7.5，所以 MNCMCDDNm 15y22.5( cm)即线段 MN 的长度始终是 22.5 cm.
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