1、2020-2021 学年福建省福州市仓山区九年级第一学期期中数学试卷学年福建省福州市仓山区九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2将方程（x2）25 化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） Ax24x10 Bx24x+10 Cx2+4x90 Dx2+4x+90 3若 x3 是方程 x2x+2a0 的一个根，则 a 的值是（ ） Aa3 Ba2
2、 Ca2 Da3 4参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了 45 场，设参加比赛的球队有 x 支，根 据题意，下面列出的方程正确的是（ ） Ax（x+1）45 Bx（x1）45 Cx（x+1）45 Dx（x1）45 5将二次函数 y（x3）2+1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） Ayx2+1 By（x6）2+1 Cy（x3）22 Dy（x3）2+4 6抛物线 ya（x1）2+k 与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 （ ） A（，0） B（3，0） C（，0） D（2，0） 7在平面直角坐标系 xOy 中，
3、点 A 的坐标是（3，2），接 OA，将线段 OA 绕原点 O 旋转 180，得到 对应线段 OA，则点 A的坐标为（ ） A（3，2） B（3，2） C（2，3） D（3，2） 8如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，连接 CO，AD，BAD，则OCD 的度数（ ） A2 B3 C90 D902 9如图，在ABC 中，ABC，将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ABC，使点 C 的对应点 C恰 好落在边 AB 上，若 CACB，则CAA的度数是（ ） A90 B90 C90+ D90+ 10若二次函数 y（x3）2+2m，在自变量 x 满足 mxm+2 的情况下，与其对应的函数值
4、 y 的最小值 为 5，则 m 的值为（ ） A2 或 2 B2 或 C2 或 D2 或 2 或 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11抛物线 y2（x6）2+9 的顶点坐标为 12 如图是一个中心对称图形， A 为对称中心， 若C90， B30， AC3， 则 BB的长为 13若 x1，x2是一元二次方程 4x25x+10 的两个根，则 x1+x2+x1 x 2的值为 14如图，在O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，若 AE4，OE1，则 CD 的长为 15已知（a2+b2）（a2+b24）7，则 a2+b2的值为 16
5、如图，在O 中，直径 AB2，延长 AB 至 C，使 BCOB，点 D 在O 上运动，连接 CD，将 CD 绕 点 C 顺时针旋转 90得到 CE，连接 OE，则线段 OE 的最大值为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17解方程：x（x3）+x30 18已知关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+20 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 19已知抛物线 yax2+bx+c 过 A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式 20如图，四边形 ABC
6、D 是矩形求证：A，B，C，D 四点在同一个圆上 21如图，点 M 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 AM，CM （1）尺规作图：作出ACM 绕点 A 顺时针旋转 60得到的ABN；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若ACM+CAM60，求证：C，M，N 三点共线 22如图，在O 中，直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，A30，AECOCE+30 （1）求证：ACAE； （2）若 AC2，求 CD 的长 23某商品现在的售价为每件 50 元，每星期可卖出 200 件市场调查反映：如果调整价格，每涨价 1 元， 每星期要少卖出 5 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 25
7、 件已知商品的进价为每件 30 元，问如何定价 才能使一星期利润最大？最大利润是多少？ 24如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC2，点 D 是 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕 点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 CE，DE （1）求ECD 的度数； （2）取 DE 的中点 F，连接 CF分别延长 CF，BA，相交于点 G，如备用图所示 求证：GFCF； 当 BD3CD 时，求 AG 的长 25已知二次函数 yx2+bx+b1，其中 b 为常数 （1）当 y0 时，求 x 的值；（用含 b 的式子表示） （2）抛物线 yx2+bx+b1 与 x 轴交于 A，B 两点（
8、点 A 在点 B 的左侧），过点 E（4，2）作直线交抛 物线于 P，Q 两点，其中点 P 在第一象限，点 Q 在第四象限，连接 AP，AQ 分别交 y 轴于点 M（0，m）， N（0，n） 当 b2 时，求点 P 的横坐标 xp的值；（用含 m，b 的式子表示） 当 b3 时，求证：OMON 是一个定值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据
9、中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和 原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可 解：选项 A、B、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后和原图形完全重合，所以不是 中心对称图形， 选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C 2将方程（x2）25 化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） Ax24x10 Bx24x+10 Cx2+4x90 Dx2+4x+90 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可 解：（x2）25， x24x+450， x24x
10、10， 即将方程（x2）25 化成一般形式为 x24x10， 故选：A 3若 x3 是方程 x2x+2a0 的一个根，则 a 的值是（ ） Aa3 Ba2 Ca2 Da3 【分析】把 x3 代入已知方程，列出关于 a 的方程，通过解该方程可以求得 a 的值 解：x3 是方程 x2x+2a0 的一个根， 323+2a0， 解得 a3 故选：D 4参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了 45 场，设参加比赛的球队有 x 支，根 据题意，下面列出的方程正确的是（ ） Ax（x+1）45 Bx（x1）45 Cx（x+1）45 Dx（x1）45 【分析】 根据 “每两支球队之间都要进行
11、一场比赛， 且共比赛 45 场” ， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 此题得解 解：依题意得：x（x1）45 故选：B 5将二次函数 y（x3）2+1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） Ayx2+1 By（x6）2+1 Cy（x3）22 Dy（x3）2+4 【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减求得即可 解：将二次函数 y（x3）2+1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y（x3） 2+1+3，即 y（x3）2+4 故选：D 6抛物线 ya（x1）2+k 与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标
12、为 （ ） A（，0） B（3，0） C（，0） D（2，0） 【分析】利用待定系数法即可解决问题 解：ya（x1）2+k 对称轴为 x1， 又抛物线 ya（x1）2+k 与 x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 两个交点关于直线 x1 对称， 设另一个交点是 x1， 则 x1+（1）2， 解得：x13， 另一个交点为（3，0） 故选：B 7在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是（3，2），接 OA，将线段 OA 绕原点 O 旋转 180，得到 对应线段 OA，则点 A的坐标为（ ） A（3，2） B（3，2） C（2，3） D（3，2） 【分析】利用中心对称的性质解决问题即可 解：由题
13、意，A 与 A关于原点对称， A（3，2）， A（3，2）， 故选：A 8如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，ABCD，连接 CO，AD，BAD，则OCD 的度数（ ） A2 B3 C90 D902 【分析】连接 OD，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得到BOCBOD2，再根据三角 形的内角和求解即可 解：连接 OD， AB 是直径，CD 是弦，ABCD， ， BOCBOD， BAD， BOD2， COD4， OCOD， OCD（1804）902， 故选：D 9如图，在ABC 中，ABC，将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ABC，使点 C 的对应点 C恰 好落在边 AB 上，若 CACB
14、，则CAA的度数是（ ） A90 B90 C90+ D90+ 【分析】由旋转的性质可得ABCCAB，由旋转的性质可得 ABAB，ABCABA，即 可求解 解：CACB，ABC， ABCCAB， 将ABC 绕点 B 逆时针旋转得到ABC， ABAB，ABCABA， BAA， CAACAB+BAA90+， 故选：C 10若二次函数 y（x3）2+2m，在自变量 x 满足 mxm+2 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值 为 5，则 m 的值为（ ） A2 或 2 B2 或 C2 或 D2 或 2 或 【分析】分三种情况讨论列出关于 m 的方程，解方程即可 解：二次函数 y（x3）2+2m， 图
15、象开口向上，对称轴为直线 x3， 当 3m 时， 在自变量 x 的值满足 mxm+2 的情况下，y 随 x 的增大而增大， 当 xm 时，y（m3）2+2mm24m+9 为最小值， m24m+95， 解得 m2，不合题意； 当 m3m+2 时， x3，y（x3）2+2m2m 为最小值， 2m5，解得，m； 当 3m+2，即 m1， 在自变量 x 的值满足 mxm+2 的情况下，y 随 x 的增大而减小， 故当 xm+2 时，y（m+23）2+2mm2+1 为最小值， m2+15解得，m12（舍去），m22； 综上，m 的值为或2 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题
16、小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11抛物线 y2（x6）2+9 的顶点坐标为 （6，9） 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可 解：二次函数 y2（x6）2+9 的图象的顶点坐标是（6，9） 故答案为：（6，9） 12 如图是一个中心对称图形， A 为对称中心， 若C90， B30， AC3， 则 BB的长为 12 【分析】在直角ABC 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 AB，依据中心对称可 得 BB2AB，据此即可求解 解：在 RtABC 中，B30，AC3， AB2AC6， B 与 B关于 A 中心对称， BB2AB12 故答案为：12 13若 x1，x2是
17、一元二次方程 4x25x+10 的两个根，则 x1+x2+x1 x 2的值为 【分析】 利用根与系数的关系得到 x1+x2， x1x2， 然后利用整体代入的方法计算 x1+x2+x1 x 2的值 解：根据题意得 x1+x2，x1x2， 所以 x1+x2+x1x2+ 故答案为： 14如图，在O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，若 AE4，OE1，则 CD 的长为 4 【分析】连接 OC，根据勾股定理求出 CE，根据垂径定理解答即可 解：连接 OC， AE4，OE1， OCOAAEOE413， 在 RtOCE 中，CE2， ABCD， CD2CE4， 故答案为：4 15已知（a2+b2）（
18、a2+b24）7，则 a2+b2的值为 2+ 【分析】设 xa2+b2，且 x0，然后根据一元二次方程的解法即可求出 x 的值 解：设 xa2+b2，且 x0， （a2+b2）（a2+b24）7， x（x4）7， x24x7， x24x+411， （x2）211， x2+或 x2 （舍去）， 即 a2+b22+ 故答案为：2+ 16如图，在O 中，直径 AB2，延长 AB 至 C，使 BCOB，点 D 在O 上运动，连接 CD，将 CD 绕 点 C 顺时针旋转 90得到 CE，连接 OE，则线段 OE 的最大值为 2+1 【分析】过点 C 作 AC 的垂线，在垂线上截取 CFCO，连接 DF，
19、从而可证OCEFCD，进而得到 OEFD，将求线段 OE 的最大值转化为求线段 FD 的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即 可 解：如图，过点 C 作 AC 的垂线，在垂线上截取 CFCO，连接 DF， DCEOCF90， OCEFCD， 又CDCE， OCEFCD（SAS）， OEFD， 连接 FO，并延长 FO 交圆于点 H，FH 即为 FD 最大值， AB2，OBBC， OCCF2， OF2， FHOF+OH2+1， OE最大值DF最大值FH2 +1， 故答案为：2+1 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
20、骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17解方程：x（x3）+x30 【分析】方程利用因式分解法求出解即可 解：分解因式得：（x3）（x+1）0， 可得 x30 或 x+10， 解得：x13，x21 18已知关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+20 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 【分析】由关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+20 有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根 的判别式的意义可得 m0 且0，即 424m20，两个不等式的公共解即为 m 的取值范围 解：关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+20 有两个不相等的实数根， m0 且0，即 424m2
21、0， 解得 m2 且 m0 当 m2 且 m0 时，关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+20 有两个不相等的实数根 19已知抛物线 yax2+bx+c 过 A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式 【分析】将 A、B、C 三点代入 yax2+bx+c，得到三元一次方程组，解这个方程组得 a、b、c 的值，得 到抛物线的解析式 解：根据题意可得， 解得， 即抛物线的解析式为 y4x2+5x 20如图，四边形 ABCD 是矩形求证：A，B，C，D 四点在同一个圆上 【分析】连接 AC、BD，交于点 O，根据矩形的性质得到 OAOBOCOD，得到答案 【解答】证明：连接
22、 AC、BD，交于点 O， 四边形 ABCD 是矩形 OAOBOCOD， A、B、C、D 四点在以 O 为圆心、以AC 为半径的同一个圆上 21如图，点 M 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 AM，CM （1）尺规作图：作出ACM 绕点 A 顺时针旋转 60得到的ABN；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若ACM+CAM60，求证：C，M，N 三点共线 【分析】（1）根据旋转的性质即可作出ACM 绕点 A 顺时针旋转 60得到的ABN； （2）根据旋转的性质可得AMN 是等边三角形，进而可得 C，M，N 三点共线 【解答】（1）解：如图，ABN 即为所求； （2）证明：如
23、图，连接 MN， 由旋转可知：AMAN，MANCAB60， AMN 是等边三角形， AMN60， ACM+CAM60， AMC120， AMN+AMC60+120180， C，M，N 三点共线 22如图，在O 中，直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，A30，AECOCE+30 （1）求证：ACAE； （2）若 AC2，求 CD 的长 【分析】（1）连接 OC，根据等边对等角得到ACO30，则ACEOCE+30，结合题意得出 ACEAEC，根据等角对等边即可得解； （2）过点 O 作 OFCD 于点 F，作 OMAC 于点 M，根据垂径定理得出 CFDFCD，AMCM AC，根据勾股定理得到
24、OA2，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得出OCFCOF45， 则 CFOF，解直角三角形得到 CF，据此即可得解 【解答】（1）证明：连接 OC， OAOC，A30， AACO30， ACEOCE+30， AECOCE+30， ACEAEC， ACAE； （2）过点 O 作 OFCD 于点 F，作 OMAC 于点 M， CFDFCD，AMCMAC， AC2， AM， A30，AMO90， OMOA， AM3， OA2， 由（1）知，ACEAEC， ACE（180A）（18030）75， ACOA30， OCF753045， OFC90， COF45， CFOF， OCOA2， CFOCsi
25、n45OC， CD2 23某商品现在的售价为每件 50 元，每星期可卖出 200 件市场调查反映：如果调整价格，每涨价 1 元， 每星期要少卖出 5 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 25 件已知商品的进价为每件 30 元，问如何定价 才能使一星期利润最大？最大利润是多少？ 【分析】设每件涨价 x 元，则每件的利润是（5030+x）元，所售件数是（2005x）件，总利润为 y； 设每件降价 a 元，则每件的利润是（5030a）元，所售件数是（200+25a）件，总利润为 w；根据利 润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最 大 解：设涨价 x 元
26、，利润为 y， 则 y（5030+x）（2005x） 5x2+100 x+4000 5（x10）2+4500， 50， 当 x10 时，y 有最大值 4500， 此时 50+1060（元）， 每件定价为 60 元时利润最大； 设每件降价 a 元，总利润为 w， 则 w（5030a）（200+25a） 25a2+300a+4000 25（a6）2+4900， 250， 当 a6 时，w 有最大值 4900， 此时 50644（元）， 每件定价为 44 元时利润最大 综上所述：每件定价为 44 元时利润最大，最大利润为 4900 元 24如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC2，点 D 是
27、 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕 点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 CE，DE （1）求ECD 的度数； （2）取 DE 的中点 F，连接 CF分别延长 CF，BA，相交于点 G，如备用图所示 求证：GFCF； 当 BD3CD 时，求 AG 的长 【分析】（1）证明BADCAE，推出ACEB45，可得结论 （2）连接 AF，证明 AFCF，AFGF，可得结论 连接 DG，GE证明四边形 CDGE 是矩形，利用勾股定理求出 CG，可得结论 【解答】（1）解：如图 1 中， BACDAE90， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS）， ACEB，
28、ABAC，BAC90， BACB90， ACEB45， ECDACBACE90 （2）证明：如图 2 中，连接 AF ECDEAD90，EFDF， AFCFDF， FACFCA， ACG+G90，FAC+GAF90， GFAG， FAFG， AFFC， FGFC 解：如图 3 中，连接 DG，GE DFEF，GFCF， 四边形 CDGE 是平行四边形， CGDE， 四边形 CDGE 是矩形， CDG90， ABAC2，BAC90， BCAB4，B45 BD3CD， BDDG3，CD1， CG， AG 25已知二次函数 yx2+bx+b1，其中 b 为常数 （1）当 y0 时，求 x 的值；（用
29、含 b 的式子表示） （2）抛物线 yx2+bx+b1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），过点 E（4，2）作直线交抛 物线于 P，Q 两点，其中点 P 在第一象限，点 Q 在第四象限，连接 AP，AQ 分别交 y 轴于点 M（0，m）， N（0，n） 当 b2 时，求点 P 的横坐标 xp的值；（用含 m，b 的式子表示） 当 b3 时，求证：OMON 是一个定值 【分析】（1）令 y0，得：x2+bx+b10，运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）当 b2 时，利用不等式性质可得：1b1，根据点 A 在点 B 的左侧，可得 A（1，0），利 用待定系数法求得直线
30、 AM 的解析式为 ymx+m， 联立方程组， 消去 y， 得： x2+ （bm） x+bm10， 由根与系数关系，得 xA+xP（bm）mb，即可得出答案； 当 b3 时，二次函数解析式为 yx23x4，根据条件可得 P（m+4，m2+5m），Q（n+4，n2+5）， 再根据直线 PQ 过点 E（4，2），可推出 mn（mn）3（mn），再由 P、Q 不重合，即 mn，得出 mn3 即可 解：（1）当 y0 时，x2+bx+b10， （x+1）（x+b1）0， x+10 或 x+b10， x11，x21b； （2）当 b2 时，由（1）可知：x11，x21b， b2， b2， 1b1， 点
31、A 在点 B 的左侧， A（1，0）， 设直线 AM 的解析式为 ykx+a， A（1，0），M（0，m）， ， 解得：， 直线 AM 的解析式为 ymx+m， 联立方程组，得：， 消去 y，得：x2+（bm）x+bm10， 由根与系数关系，得 xA+xP（bm）mb， xPmb+1， 证明：当 b3 时，二次函数解析式为 yx23x4， A（1，0），B（4，0）， xPm+4， yP（m+4）23（m+4）4m2+5m， P（m+4，m2+5m）， 直线 AN 的解析式为：y（x+1）nx+n， 联立方程组，得：， x2（3+n）x4n0， xQ4+n，yQn2+5， 即 Q（n+4，n2+5）， 直线 PQ 过点 E（4，2）， kEPkEQ， ， 即， mn2+3mm2n+3n， mn（mn）3（mn）， P、Q 不重合，即 mn， mn3， OMON3 为定值
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