1、第 1 页（共 23 页） 2020-2021 学年南通市崇川区九年级（上）第一次月考数学试卷学年南通市崇川区九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） Ay3x1 Bs2t22t+1 Cyax2+bx+c Dy 3 （3 分）将二次函数 yx2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 （ ） Ay（x1）2+2 By（x+1）2+2 Cy（x1）22 Dy（x+1）22 4 （3 分）如图所示，在半径为 1
2、0cm 的O 中，弦 AB16cm，OCAB 于点 C，则 OC 等于（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 5 （3 分）如图所示，一圆弧过方格的格点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为 （2，4） ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A （1，2） B （1，1） C （1，1） D （2，1） 6 （3 分）下列命题中，真命题的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B任意三个点确定一个圆 C相等的圆心角所对的弧相等 D90的圆周角所对的弦是直径 7 （3 分）已知二次函数 yx25x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0） ，则另
3、一个交点的坐标为（ ） A （1，0） B （4，0） C （5，0） D （6，0） 第 2 页（共 23 页） 8 （3 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，C70，过点 A 的圆的切线交射线 BO 于点 P，则P 的度数是（ ） A60 B50 C45 D40 9 （3 分）如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上若 AB1，B60，则 CD 的长为（ ） A0.5 B1.5 C D1 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出 下列结论：
4、abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2， y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+1 0 的两根为1，3，其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题 11 （3 分）点 A（m1，2）与点 B（3，n+1）关于原点对称，则 m+n 12（3 分） 关于 x 的一元二次方程 kx2+4x+10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 13 （3 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分
5、率都为 x，根据题意 可列方程为 14 （3 分）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，ABC50，则DAB 的度数是 第 3 页（共 23 页） 15 （3 分）O 的半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d，R，d 是方程 x24x+m0 的两根，当直线 l 与O 相切时，m 的值为 16 （3 分）若 m，n 是一元二次方程 x2+x120 的两根，则 m2+2m+n+mn 17 （3 分）如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA3，PB4，PC5，若将APB 绕着点 B 逆时 针旋转后得到CQB，则APB 的度数 18 （3 分）如图，ABC、CDE 是
6、两个直角三角板，其中ECDACB90，CED45，CAB 30， 若ABDE6， 将直角三角板CDE绕点C旋转一周， 则|ADBE|的最大值为 三、计算题三、计算题 19解方程 （1）x2+4x50 （2）3x（x2）2（x2） 20如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于原点对称的A1B1C1，并写出 A1的坐标； （2）请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2B2C2 第 4 页（共 23 页） 21如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相 同的矩形羊
7、圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 22如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，延长 BC 至点 D，使 DCCB，延长 DA 与O 的另一个交 点为 E，连接 AC、CE （1）求证：BD； （2）若 AB5，BCAC1，求 CE 的长 23如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE， 过 C 作 CDPA，垂足为 D （1）求证：CD 为O 的切线； （2）若 DC+DA6，O 的直径为 10，求 AB 的长度 第 5 页（共 23 页） 24为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，
8、每盒进价是 40 元超 市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒， 每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不低 于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 25二次函数 yax2+bx+c 过 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴正半轴交于 C，OCOB （
9、1）求二次函数解析式； （2）抛物线对称轴上是否存在点 D，使得三角形 ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出 D 点坐标，若不 存在，请说明理由； （3）在直线 BC 上方的抛物线上有点 P，作 PQBC 于点 Q，求 PQ 最大值 26把函数 C1：yax22ax3a（a0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新函数 C2的图象，我们 称 C2是 C1关于点 P 的相关函数，C2图象的对称轴与 x 轴交点坐标为（t，0） （1）若 a1，m0 时，C1的相关函数 C2为 ； （2）t 的值为 （用含 m 的代数式表示） ； （3）若 a1，当xt 时，函数 C1的最大值为 y1，最小
10、值为 y2，且 y1y21，求 C2的解析式 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 第 6 页（共 23 页） 2 （3 分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） Ay3
11、x1 Bs2t22t+1 Cyax2+bx+c Dy 【分析】根据二次函数的定义，可得答案 【解答】解：A、y3x1 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、s2t22t+1 是二次函数，故此选项符合题意； C、yax2+bx+c 当 a0 时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、yx2+分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意 故选：B 3 （3 分）将二次函数 yx2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 （ ） Ay（x1）2+2 By（x+1）2+2 Cy（x1）22 Dy（x+1）22 【分析】根据函数图象右移减、左移加，
12、上移加、下移减，可得答案 【解答】解：将二次函数 yx2的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式 是 y（x1）2+2， 故选：A 4 （3 分）如图所示，在半径为 10cm 的O 中，弦 AB16cm，OCAB 于点 C，则 OC 等于（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 【分析】根据垂径定理可知 AC 的长，再根据勾股定理即可求出 OC 的长 【解答】解：连接 OA，如图： AB16cm，OCAB， ACAB8cm， 在 RtOAC 中，OC6（cm） ， 故选：D 5 （3 分）如图所示，一圆弧过方格的格点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐
13、标系，使点 A 的坐标为 第 7 页（共 23 页） （2，4） ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A （1，2） B （1，1） C （1，1） D （2，1） 【分析】连接 AB、AC，作出 AB、AC 的垂直平分线，其交点即为圆心 【解答】解：如图所示， AW1，WH3， AH； BQ3，QH1， BH； AHBH， 同理，ADBD， 所以 GH 为线段 AB 的垂直平分线， 易得 EF 为线段 AC 的垂直平分线， H 为圆的两条弦的垂直平分线的交点， 则 BHAHHC， H 为圆心 则该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，1） 故选：C 6 （3 分）下列命题中，真命题的是（ ） A平分弦
14、的直径垂直于弦 B任意三个点确定一个圆 C相等的圆心角所对的弧相等 D90的圆周角所对的弦是直径 【分析】利用垂径定理对 A 进行判断；利用确定圆的条件对 B 进行判断；利用圆周角定理对 C、D 进行判 第 8 页（共 23 页） 断 【解答】解：A平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以 A 选项不符合题意； B不共线的三点确定一个圆，所以 B 选项不符合题意； C在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 C 选项不符合题意； D90的圆周角所对的弦是直径，所以 D 选项符合题意 故选：D 7 （3 分）已知二次函数 yx25x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，
15、0） ，则另 一个交点的坐标为（ ） A （1，0） B （4，0） C （5，0） D （6，0） 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数图象 与 x 轴的两交点关于对称轴对称，即可求出抛物线与 x 轴的另一交点坐标，此题得解 【解答】解：二次函数 yx25x+m 的图象的对称轴为直线 x 该二次函数图象与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ， 另一交点坐标为（21，0） ，即（4，0） 故选：B 8 （3 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，C70，过点 A 的圆的切线交射线 BO 于点 P，则P 的度数是（ ） A60 B50 C45
16、D40 【分析】连接 OA，根据圆周角定理求出AOB，得到AOP，根据切线的性质得到OAP90，根据直 角三角形的性质计算即可 【解答】解：连接 OA， 由圆周角定理得，AOB2C140， AOP40， AP 是O 的切线， OAP90， P904050， 故选：B 第 9 页（共 23 页） 9 （3 分）如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上若 AB1，B60，则 CD 的长为（ ） A0.5 B1.5 C D1 【分析】利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BC2AB2，再根据旋转的性质得 ADAB，则可判
17、断ABD 为等边三角形，所以 BDAB1，然后计算 BCBD 即可 【解答】解：BAC90，B60， BC2AB2， RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上， ADAB， 而B60， ABD 为等边三角形， BDAB1， CDBCBD211 故选：D 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出 下列结论：abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2， y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x2
18、2，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+1 0 的两根为1，3，其中正确的结论有（ ）个 第 10 页（共 23 页） A1 B2 C3 D4 【分析】根据对称轴和抛物线与 y 轴的交点可对作出判断； 根据ABC 的面积AByCAB22 可得 AB 的长，得出点 A 的坐标，可对作出判断； 根据抛物线的对称轴得到点 M、N 离对称轴得远近，可对作出判断； 根据抛物线与一元二次方程的关系可对作出判断 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab0，而 c0，abc0，故正确，符合题意； ABC 的面积AByCAB22，解得：AB2，则点 A（0，0） ，即
19、c0 与图象不符，故错 误，不符合题意； 函数的对称轴为 x1，若 x1+x22，则（x1+x2）1，则点 N 离函数对称轴远，故 y1y2，故错误， 不符合题意； 抛物线经过点（3，1） ，则 yax2+bx+c+1 过点（3，0） ，根据函数的对称轴是 x1 可知该抛物线也 过点（1，0） ，故方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3，故正确； 故选：B 二、填空题二、填空题 11 （3 分）点 A（m1，2）与点 B（3，n+1）关于原点对称，则 m+n 1 【分析】根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”列方程求出 m、n 的值，然后相加计算即可得 解 【解答】解：点 A（m
20、1，2）与点 B（3，n+1）关于原点对称， m13， n+12， 解得 m2，n1， 所以，m+n1 故答案为：1 12（3分） 关于x的一元二次方程kx2+4x+10有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 k4且k0 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k0 且424k10，然后求出两不等式的 公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k0 且424k0， 解得：k4 且 k0 故：k 的取值范围是 k4 且 k0， 故答案为：k4 且 k0 13 （3 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，根据题意 可列方程为 25（1x）2
21、16 第 11 页（共 23 页） 【分析】由两次降价的百分率都为 x 结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题 得解 【解答】解：两次降价的百分率都为 x， 25（1x）216 故答案为：25（1x）216 14 （3 分）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，ABC50，则DAB 的度数是 65 【分析】连接 BD，由于点 D 是 AC 弧的中点，即弧 CD弧 AD，根据圆周角定理得ABDCBD，则 ABD25，再根据直径所对的圆周角为直角得到ADB90，然后利用三角形内角和定理可计算出 DAB 的度数 【解答】解：连接 BD，如图， 点 D 是
22、的中点，即弧 CD弧 AD， ABDCBD， 而ABC50， ABD5025， AB 是半圆的直径， ADB90， DAB902565 故答案为 65 15 （3 分）O 的半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d，R，d 是方程 x24x+m0 的两根，当直线 l 与O 相切时，m 的值为 4 【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据0 即可求出 m 的值 【解答】解：d、R 是方程 x24x+m0 的两个根，且直线 L 与O 相切， dR， 方程有两个相等的实根， 164m0， 第 12 页（共 23 页） 解得，m4， 故答案为：4 16 （3 分）若 m，n 是一元二
23、次方程 x2+x120 的两根，则 m2+2m+n+mn 1 【分析】根据方程的解得定义和韦达定理得 m2+m12，m+n1，代入原式m2+m+m+n+mn 可得答案 【解答】解：m，n 是一元二次方程 x2+x120 的两根， m2+m120，即 m2+m12，m+n1，mn12， 则原式m2+m+m+n+mn121121， 故答案为：1 17 （3 分）如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA3，PB4，PC5，若将APB 绕着点 B 逆时 针旋转后得到CQB，则APB 的度数 150 【分析】首先证明BPQ 为等边三角形，得BQP60，由ABPCBQ 可得 QCPA，在PQC
24、 中， 已知三边，用勾股定理逆定理证出得出PQC90，可求BQC 的度数，由此即可解决问题 【解答】解：连接 PQ，由题意可知ABPCBQ 则 QBPB4，PAQC3，ABPCBQ， ABC 是等边三角形， ABCABP+PBC60， PBQCBQ+PBC60， BPQ 为等边三角形， PQPBBQ4， 又PQ4，PC5，QC3， PQ2+QC2PC2， PQC90， BPQ 为等边三角形， BQP60， BQCBQP+PQC150 APBBQC150 第 13 页（共 23 页） 18 （3 分）如图，ABC、CDE 是两个直角三角板，其中ECDACB90，CED45，CAB 30，若 AB
25、DE6，将直角三角板 CDE 绕点 C 旋转一周，则|ADBE|的最大值为 33 【分析】如图，在 CA 取一点 J，使得 CJCB，连接 DJ利用全等三角形的性质证明 BEDJ，推出|AD BE|ADDJ|AJ，求出 AJ 即可解决问题 【解答】解：如图，在 CA 取一点 J，使得 CJCB，连接 DJ 在 RtACB 中，AB6，CAB30，ACB90， CBCJAB63，ACBC33， ECDBCJ90， DCJECB， 在DCJ 与ECB 中， 第 14 页（共 23 页） ， DCJECB（SAS） ， DJBE， |ADBE|ADDJ|， |ADDJ|AJ， |ADBE|33， |
26、ADBE|的最大值为 33 故答案为：33 三、计算题三、计算题 19解方程 （1）x2+4x50 （2）3x（x2）2（x2） 【分析】根据解一元二次方程的方法因式分解法解方程即可 【解答】解： （1）因式分解得（x+5） （x1）0， x+50 或 x10， x15，x21； （2）3x（x2）2（x2）0， （x2） （3x2）0， x20 或 3x20， x12，x2 20如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于原点对称的A1B1C1，并写出 A1的坐标； （2）请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2B2C2
27、第 15 页（共 23 页） 【分析】 （1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求，A1（2，4） ； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求 21如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相 同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 【分析】设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程 【解答】解：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为
28、（1004x）米 根据题意得 （1004x）x400， 解得 x120，x25 则 1004x20 或 1004x80 8025， x25 舍去 即 AB20，BC20 答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米 22如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，延长 BC 至点 D，使 DCCB，延长 DA 与O 的另一个交 点为 E，连接 AC、CE （1）求证：BD； （2）若 AB5，BCAC1，求 CE 的长 第 16 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据圆周角定理求出ACB90，根据线段垂直平分线的性质得出 ADAB，根据等腰三角 形的性质得出即可； （2） 根据勾股
29、定理求出 AC 和 BC， 求出 DC， 求出BED， 根据等腰三角形的判定得出 DCCE， 即可求出答案 【解答】 （1）证明：AB 为O 的直径， ACB90，即 ACBD， BCCD， ADAB， BD； （2）解：在 RtACB 中，AB5，BCAC1，由勾股定理得：AC2+（AC+1）252， 解得：AC3，BC4， BCCD， 即 CD4， 由圆周角定理得：BE， 又BD， DE， CEDC， CD4， CE4 23如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE， 过 C 作 CDPA，垂足为 D （1）求证：CD 为O
30、 的切线； （2）若 DC+DA6，O 的直径为 10，求 AB 的长度 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）连接 OC，根据题意可证得CAD+DCA90，再根据角平分线的性质，得DCO90， 则 CD 为O 的切线； （2）过 O 作 OFAB，则OCDCDAOFD90，得四边形 OCDF 为矩形，设 ADx，在 Rt AOF 中，由勾股定理得（5x）2+（6x）225，从而求得 x 的值，由勾股定理得出 AB 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， OAOC， OCAOAC， AC 平分PAE， DACCAO， DACOCA， PBOC， CDPA， CDOC，CO 为O 半径
31、， CD 为O 的切线； （2）解：过 O 作 OFAB，垂足为 F， OCDCDAOFD90， 四边形 DCOF 为矩形， OCFD，OFCD DC+DA6， 设 ADx，则 OFCD6x， O 的直径为 10， DFOC5， AF5x， 在 RtAOF 中，由勾股定理得 AF2+OF2OA2 即（5x）2+（6x）225， 化简得 x211x+180， 解得 x12，x29 CD6x 大于 0，故 x9 舍去， 第 18 页（共 23 页） x2， 从而 AD2，AF523， OFAB，由垂径定理知，F 为 AB 的中点， AB2AF6 24为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前
32、夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元超 市规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒， 每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得不低 于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【分析】 （1）根据“当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提
33、高 1 元，每天要少卖出 20 盒”即可得出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润1 盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的 P 与 x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于 58 元，且每天销售粽 子的利润不低于 6000 元，求出 x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元） 之间的函数关系式即可求解 【解答】解： （1）由题意得，y70020（x45）20 x+1600（45x80 ） ； （2）P（x40） （20 x+1600）20 x2+2400 x64
34、00020（x60）2+8000， x45，a200， 当 x60 时，P最大值8000 元， 即当每盒售价定为 60 元时，每天销售的利润 P（元）最大，最大利润是 8000 元； （3）由题意，得20（x60）2+80006000， 解得 x150，x270 抛物线 P20（x60）2+8000 的开口向下， 当 50 x70 时，每天销售粽子的利润不低于 6000 元的利润 又x58， 第 19 页（共 23 页） 50 x58 在 y20 x+1600 中，k200， y 随 x 的增大而减小， 当 x58 时，y最小值2058+1600440， 即超市每天至少销售粽子 440 盒 2
35、5二次函数 yax2+bx+c 过 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴正半轴交于 C，OCOB （1）求二次函数解析式； （2）抛物线对称轴上是否存在点 D，使得三角形 ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出 D 点坐标，若不 存在，请说明理由； （3）在直线 BC 上方的抛物线上有点 P，作 PQBC 于点 Q，求 PQ 最大值 【分析】 （1）先求出 C（0，3） ，再把 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）代入 yax2+bx+c，求出 a，b，c 的值即可； （2）分三种情形讨论：CDAD，ADAC，ACCD，画出图形即可解决问题； （3）求出 BC 所在直线解析式
36、yx+3，作直线 l 平行直线 BC 且与抛物线只有一个交点，求出两条直线 之间的距离即为 PQ 的最大值 【解答】解： （1）yax2+bx+c 过 A（1，0） 、B（3，0）两点，且 OCOB， C（0，3） ， 把 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）代入 yax2+bx+c 得， ，解得：， yx2+2x+3； （2）抛物线 yx2+2x+3 的对称轴为 x1，顶点坐标为（1，4） ， 设 D 点坐标为：D（1，a） ， A（1，0） ，C（0，3） ， AC212+3210， CD212+（a3）2a26a+10， AD2（1+1）2+a2a2+4， 如图，以 AC 为底，
37、CDAD 时， 第 20 页（共 23 页） a26a+10a2+4， 解得，a1， D（1，1） ； 以 CD 为底，ADAC，如图， a2+410， 解得，a， D（1，）或 D（1） ； 以 AD 为底，ACCD，如图， a26a+1010， 解得，a0 或 6， D（1，0）或 D（1，6） ， 第 21 页（共 23 页） A（1，0） ，C（0，3） ， AC 所在直线解析式 yx+3， D（1，6）时，点 A、C、D 在同一直线上， 以 AD 为底，ACCD 时，D（1，0） ； 综上所述，存在，D 点的坐标为： （1，0）或（1，1）或 （1， ） ，D（1，） ； （3）设
38、BC 所在直线解析式为 ykx+b， 把（3，0） ，C（0，3）代入得， 解得：， 直线 BC 的解析式为：yx+3， PQBC 于点 Q，过点 P 作直线 1：yx+b 与 BC 平行且与抛物线只有唯一一个交点 P，交 y 于点 N， 如图， 此时，PQ 最长， x2+2x+3x+b，即 x23x+b30 94（b3）0， b， 过点 C 作 CMl 于点 M，则 CMPQ，NCM45， PQ 最大值即 CM（b3） 26把函数 C1：yax22ax3a（a0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新函数 C2的图象，我们 称 C2是 C1关于点 P 的相关函数，C2图象的对称轴与 x
39、 轴交点坐标为（t，0） （1）若 a1，m0 时，C1的相关函数 C2为 yx22x+3 ； （2）t 的值为 t2m1 （用含 m 的代数式表示） ； 第 22 页（共 23 页） （3）若 a1，当xt 时，函数 C1的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1y21，求 C2的解析式 【分析】 （1）求出函数 C1与函数 C2的对应顶点坐标，即可求解； （2）顶点（1，4a）绕点 P（m，0）旋转 180后，对应顶点坐标分别为（1，4a） 、 （2m1，4a） ，即 可求 t2m1； （3） 分三种情况讨论： 当t1 时； 当 1t时； 当 t时， 分别求出符合条件的 t 即可求解 【解
40、答】解： （1）yax22ax3aa（x1）24a， 顶点坐标为（1，4a） ， 当 a1 时，顶点坐标为（1，4） ， 旋转后的函数顶点坐标为（1，4） ， y（x+1）2+4x22x+3， 故答案为 yx22x+3； （2）函数 C1的顶点坐标为（1，4a） ， 顶点 yax22ax3a（a0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180后的顶点坐标为（2m1，4a） ， C2图象的对称轴与 x 轴交点坐标为（t，0） ， t2m1， 故答案为 t2m1； （3）a1， yx2+2x+3， 函数的对称轴为 x1， 当t1 时，xt 时，有最大值 y1t2+2t+3， x时，有最小值 y2， y1y21， t2+2t+31， t 无解； 当 1t时，x1 时，有最大值 y14， x时，有最小值 y2， y1y2，不符合题意； 当 t时，x1 时，有最大值 y14， 第 23 页（共 23 页） xt 时，有最小值 y2t2+2t+3， y1y21， 4t22t31， t2 或 t0（舍） ， C2的解析式 yx24x
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