1、小结与复习,第二十七章 相 似,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,(1) 形状相同的图形,(2) 相似多边形,要点梳理,(3) 相似比：相似多边形对应边的比,1. 图形的相似,通过定义 平行于三角形一边的直线 三边成比例 两边成比例且夹角相等 两角分别相等 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例,(三个角分别相等，三条边成比例),2. 相似三角形的判定,对应角相等、对应边成比例 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方,3. 相似三角形的性质,(1) 测高,测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.,(不能直接使用皮尺或刻度尺量的),(不能直接测
2、量的两点间的距离),测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.,(2) 测距,4. 相似三角形的应用,(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比),5. 位似,(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.,(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.,(4) 平面直角坐标系中的位似,当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为k.,考点讲练,1如图所
3、示,当满足下列条件之一时，都可判定ADC ACB (1) ； (2) ； (3) .,ACD =B,ACB =ADC,或 AC2 = AD AB,2. ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的DEF 的最小边长为 15，则 DEF 的其他两条边长为 ,36 和 39,3. 如图，ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 AEF与 ABC 相似，则 AF = .,2 或 4.5,4. 如图，在 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 BFE 的面积与 DFA 的
4、面积之比为 .,1 : 9,5. 如图，CD 是 O 的弦，AB 是直径，CDAB，垂足为 P，求证：PC2 PA PB.,B,证明：连接AC，BC.,AB是直径， ACB90， A + B = 90. 又 CDAB，CPB90， PCBB90. 又 ACPB， APC CPB., PC2 = AP PB.,例1 如图，ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC120 mm，高 AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？,A,B,C,D,E,F,G,H,解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH
5、在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC上，ABC 的高 AD 与边EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm.,M, EF/BC， AEFABC，,又 AMADMD80x，,解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm.,则,证明：ABC是等边三角形，BACACB60，ACF120CE是外角平分线，ACE60，BACACE又ADBCDE，ABDCED,例2 如图，ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：ABD CED；,(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.,解：作 B
6、MAC 于点 M. ACAB6， AMCM3. AD 2CD，CD2，AD4，MD1.,M,在 RtBDM 中，,由(1) ABD CED得，,即,证明：连接AD， DAC=DEC，EBC=DEC， DAC=EBC. AC 是 O 的直径， ADC=90，DCA+DAC=90， EBC+DCA=90，BGC =180 (EBC+DCA)=90，ACBH.,例3 已知：在 ABC 中，以 AC 边为直径的 O 交BC 于点 D，在劣弧上取一点 E 使 EBC =DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 O 于 H (1) 求证：ACBH；,(2) 若 ABC=45，O 的直径等于 10，B
7、D = 8，求 CE 的长,解：BDA=180ADC=90， ABC=45，BAD=45， BD = AD. BD = 8， AD = 8. 在 RtADC中，AD = 8，AC = 10， 由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14. EBC = DEC，BCE = ECD， BCEECD，BC : CE = CE : CD， 即 CE2 = BC CD =146 = 84， CE = 2.,例1 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直
8、地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长,解：如图，CD3.6m， BDCFGE，, BC6m. 在 RtABC 中， A30， AB2BC12 m， 即树长 AB 是 12 m.,例2 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由,解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑 A
9、B 的高,根据 ，即可算出 AB 的高,理由：测量出CD、DE、BE的长，因为CEDAEB，DB90，易得ABECDE.,如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？,解：ABO=CDO=90， AOB=COD， AOBCOD.,解得 CD = 5.4m.,故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方,1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( ),A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,C,2. 已知 ABC ABC，下列图形中， A
10、BC 和ABC 不存在位似关系的是 ( ),A,B,C,D,B,3. 如图，DEAB，CE = 3BE，则 ABC 与 DEC是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为，面积比为 .,C,4 : 3,16 : 9,4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(6，3)，(12，9)，ABO 和 ABO 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A 的坐标为 (2，1) 则点 B 的坐标为 .,(4，3),5. 找出下列图形的位似中心.,6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 ABC 的顶点均为小正方形的顶点.,A,B,C,(1) 在图中 ABC 内部作 ABC，使 ABC 和 ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.,O,A,B,C,解：如图所示.,(2) 线段 AA 的长度是 .,7. 如图，ABC 在方格纸中.(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标；,解：如图所示，B (2，1).,x,y,O,(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内将 ABC 放大，画出放大后的图形 ABC；,A,B,C,解：如图所示.,(3) 计算ABC的面积 S.,解：,课堂小结,定义,定义、判定、性质,
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