1、2021-2022 学年安徽省淮南市东部地区九年级上第一次联考数学试卷学年安徽省淮南市东部地区九年级上第一次联考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 4 分，共计分，共计 40 分）分） 1下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2+1x20 Cx2+2 Dx2x20 2如果 2 是方程 x23x+k0 的一个根，则常数 k 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 3一元二次方程 x22x 的根为（ ） Ax0 Bx2 Cx0 或 x2 Dx0 或 x2 4下列对二次函数 yx2x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口
2、向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小 5在下列二次函数中，其图象对称轴为 x2 的是（ ） Ay（x+2）2 By2x22 Cy2x22 Dy2（x2）2 6如果二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 7关于抛物线 yx22x3，下列结论中正确的是（ ） Ay 有最小值3 B当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 C与 y 轴交于点（0，3） D与 x 轴交于点（3，0）、（1，0） 8参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛 110
3、场，设参加比赛的球队有 x 支，根据 题意，下面列出的方程正确的是（ ） Ax（x+1）110 Bx（x1）110 Cx（x+1）110 Dx（x1）110 9若一个二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过五个点 A（1，n），B（3，n），C（2，y1），D（ 2，y2）和 E（1，y3），则下列关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 10抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数）在1 x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6
4、二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 11抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 12已知四个二次函数的图象如图所示，那么 a1，a2，a3，a4的大小关系是 （请用“” 连接排序） 13已知 m 是方程 x23x50 的一个根，则代数式的值为 14如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x 轴的一个交点在点（3， 0） 和 （4， 0） 之间 则下列结论： ab+c0； 3a+b0； b24a （cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+c n1，有两个不相等的实数根；8a+c0其中
5、正确结论的编号数是 三、计算题（本题共三、计算题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 32 分）分） 15解方程：（x1）24 16已知抛物线的顶点坐标是（3，1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式 17某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之 和为 60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行甬道，求人行甬道的宽度 18已知：关于 x 的方程 x2+kx20 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及 k 值 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题
6、，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19抛物线 yx24x+3 （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 20如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴 交于点 D，点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标 （2）根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 24 分）分） 21习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为 响
7、应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆 人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同 （1）求进馆人次的月平均增长率； （2） 因条件限制， 学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次， 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由 22如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 以 1cm/s 的速度向点 B 运动， 同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 运动设运动时间为 xs （1）BP
8、cm，CQ cm；（用含 x 的式子表示） （2）若DPQ 的面积为 31cm2，求 x 的值 六、解答题（本大题六、解答题（本大题 14 分）分） 23如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB90？若存在，求出点 P 的坐标， 并求出POB 的面积；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10
9、 题，每小题题，每小题 4 分，共计分，共计 40 分）分） 1下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2+1x20 Cx2+2 Dx2x20 【分析】一元二次方程必须满足下面几个条件：（1）整式方程；（2）只有一个未知数，且未知数的最 高次是 2；（3）二次项系数不为 0 解：A、当 a0 时，该方程不是关于 x 的一元二次方程，故本选项不符合题意 B、由已知方程得到 10，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意 C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意 D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意 故选：D 2如果 2
10、 是方程 x23x+k0 的一个根，则常数 k 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】把 x2 代入已知方程列出关于 k 的新方程，通过解方程来求 k 的值 解：2 是一元二次方程 x23x+k0 的一个根， 2232+k0， 解得，k2 故选：B 3一元二次方程 x22x 的根为（ ） Ax0 Bx2 Cx0 或 x2 Dx0 或 x2 【分析】移项后利用因式分解法求解可得 解：x22x， x22x0， 则 x（x2）0， x0 或 x20， 解得 x10，x22， 故选：C 4下列对二次函数 yx2x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D在对
11、称轴右侧 y 随 x 的增大而减小 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以 解答本题 解：二次函数 yx2x（x）2，a1， 该函数图象开口向上，故选项 A 错误； 对称轴值直线 x，故选项 B 错误； 当 x0 时，y0，即该函数图象过原点，故选项 C 正确； 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，故选项 D 错误； 故选：C 5在下列二次函数中，其图象对称轴为 x2 的是（ ） Ay（x+2）2 By2x22 Cy2x22 Dy2（x2）2 【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项 解：y（x+2）2的对称轴为 x
12、2，A 正确； y2x22 的对称轴为 x0，B 错误； y2x22 的对称轴为 x0，C 错误； y2（x2）2的对称轴为 x2，D 错误 故选：A 6如果二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 【分析】利用抛物线开口方向确定 a 的符号，利用对称轴方程可确定 b 的符号，利用抛物线与 y 轴的交 点位置可确定 c 的符号 解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， x0， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0 故选：A 7关于抛物线 yx22x3，下列
13、结论中正确的是（ ） Ay 有最小值3 B当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 C与 y 轴交于点（0，3） D与 x 轴交于点（3，0）、（1，0） 【分析】配方成顶点式之后即可确定正确的结论 解：yx22x3（x1）24， a10， 开口向上，有最小值4， 故 A 错误； 对称轴为 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 故 B 正确； 与 y 轴交于点（0，3）， 故 C 错误； 与 x 轴交于点（3，0）、（1，0）， 故 D 错误， 故选：B 8参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛 110 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据 题意，下面列出的方程正确的
14、是（ ） Ax（x+1）110 Bx（x1）110 Cx（x+1）110 Dx（x1）110 【分析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 110 场，可 列出方程 解：设有 x 个队参赛，则 x（x1）110 故选：D 9若一个二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过五个点 A（1，n），B（3，n），C（2，y1），D（ 2，y2）和 E（1，y3），则下列关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 【分析】由 A，B 两点的纵坐标相同，可得 A，B 两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线 x1，则 x 1
15、 时 y3值最小，根据二次函数的图象性质：离对称轴越近，函数值 y 越小 解：A（1，n）、B（3，n）， 对称轴为直线 x1； a0， x1 时，y3是最小值，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小 C（2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且201， y2y1y3 故选：B 10抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数）在1 x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为 yx22x+3，将一元二次方程 x2+bx+3t0 的实数根
16、可 以看做 yx22x+3 与函数 yt 的图象有交点，再由1x4 的范围确定 y 的取值范围即可求解 解：yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+3， 一元二次方程 x2+bx+3t0 的实数根可以看做 yx22x+3 与函数 yt 的图象有交点， 方程在1x4 的范围内有实数根， 当 x1 时，y6； 当 x4 时，y11； 函数 yx22x+3 在 x1 时有最小值 2； 2t11 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 11抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 （1，8） 【分析】已知
17、抛物线顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k） 解：抛物线 y3（x1）2+8 是顶点式， 顶点坐标是（1，8） 故答案为：（1，8） 12 已知四个二次函数的图象如图所示， 那么 a1， a2， a3， a4的大小关系是 a1a2a3a4 （请用 “” 连接排序） 【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与 a 的关系进而得出答案 解：如图所示：ya1x2的开口小于ya2x2的开口，则 a1a20， ya3x2的开口大于ya4x2的开口，开口向下，则 a4a30， 故 a1a2a3a4 故答案为：a1a2a3a4 13已知 m 是方程 x23x50 的一个根，则代数式的值为 【分析】利
18、用意元二次方程根的定义得到 m23m+5，然后把 m23m+5 代入中进行整式的运算 即可 解：m 是方程 x23x50 的一个根， m23m50， m23m+5， m（3m+5） mm 故答案为 14如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x 轴的一个交点在点（3， 0） 和 （4， 0） 之间 则下列结论： ab+c0； 3a+b0； b24a （cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+c n1，有两个不相等的实数根；8a+c0其中正确结论的编号数是 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关
19、系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解：抛物线顶点坐标为（1，n）， 抛物线的对称轴为直线 x1， 与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， 当 x1 时，y0，即 ab+c0，故正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，即1， 2a+b0， a0， 3a+b0，故错误； 抛物线顶点坐标为（1，n）， 抛物线 yax2+bx+c（a0）与直线 yn 有唯一一个交点， 即方程 ax2+bx+cn 有两个相等的实数根， b24a（cn）0， b24a（cn），故正确； 抛物线的开口向下， y最大n， 直线 yn1 与抛物线有两个交点， 一元二次方程
20、 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根，故正确； x2 时，y0， 4a2b+c0， 而 b2a， 4a+4a+c0，即 8a+c0， 故正确； 故答案为： 三、计算题（本题共三、计算题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 32 分）分） 15解方程：（x1）24 【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可 解：两边直接开平方得：x12， x12 或 x12， 解得：x13，x21 16已知抛物线的顶点坐标是（3，1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式 【分析】设顶点式 ya（x3）21，然后把（4，1）代入求出 a 即可 解：设抛物线解析式为 ya（x3
21、）21， 把（4，1）代入得 a11，解得 a2， 所以抛物线解析式为 y2（x3）21 17某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之 和为 60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行甬道，求人行甬道的宽度 【分析】设人行甬道的宽度为 x 米，根据矩形绿地的面积之和为 60 米 2，列出一元二次方程 解：设人行道的宽度为 x 米（0 x3），根据题意得： （183x）（62x）60， 整理得，（x1）（x8）0 解得：x11，x28（不合题意，舍去） 答：人行通道的宽度是 1 米 18已知：关于 x 的方程 x2+kx20 （1）求
22、证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及 k 值 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出k2+80，由此即可证出方程有两个不相 等的实数根； （2）代入 x1 即可求出 k 值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根 【解答】（1）证明：k241（2）k2+80， 方程有两个不相等的实数根 （2）解：将 x1 代入原方程，得：1k20， k1 设方程的另一个根为 x1， 根据题意得：1x12， x12 方程的另一个根为 2，k 值为1 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19
23、抛物线 yx24x+3 （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 【分析】（1）利用配方法化成顶点式的形式即可确定； （2）根据二次函数的性质即可确定 解：（1）yx24x+3 （x24x+44）+3 （x2）24+3 （x2）21， 则顶点坐标是（2，1），对称轴是直线 x2； （2）a10， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 20如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴 交于点 D，点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标 （2）根据图象直接写出当 y0
24、时 x 的取值范围 【分析】（1）把 B 点坐标代入 yax2+4x3 中可求出 a 的值，再把二次函数的一般形式化为顶点式得 到 A 的坐标为（2，1），再解方程x2+4x30 得 C 点坐标； （2）利用函数图形，写出抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围 解：（1）把 B（1，0）代入 yax2+4x3 得 a+430，解得 a1； yx2+4x3（x2）2+1， 顶点 A 的坐标为（2，1）， 当 y0 时，x2+4x30，解得 x11，x23，则 C 点坐标为（3，0）， （2）由函数图象开口向下可知，当 y0 时 x 的取值范围为 1x3 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共
25、 2 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 24 分）分） 21习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为 响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆 人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同 （1）求进馆人次的月平均增长率； （2） 因条件限制， 学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次， 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由 【分析】 （1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的
26、进馆人次加第二和第三 个月的进馆人次等于 608，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与 500 比较大小即可 解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2608 化简得：4x2+12x70 （2x1）（2x+7）0， x0.550%或 x3.5（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为 50% （2）进馆人次的月平均增长率为 50%， 第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3128432500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 22如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点
27、P 从点 A 出发沿 AB 以 1cm/s 的速度向点 B 运动， 同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 运动设运动时间为 xs （1）BP （6x） cm，CQ （122x） cm；（用含 x 的式子表示） （2）若DPQ 的面积为 31cm2，求 x 的值 【分析】（1）直接利用 P，Q 点运动方向和运动速度表示出答案； （2）直接利用 SDPQS矩形ABCDSADPSCDQSBPQ，代入求出答案 解：（1）由题意可得：BPABAP（6x）cm，CQBCBQ（122x）cm， 故答案为：（6x），（122x）； （2）由题意可得：SDPQS矩形ABCDSAD
28、PSCDQSBPQ ABBCADAPCDCQBPBQ 61212x6（122x）（6x）2x x26x+3631， 解得：x11，x25， 当DPQ 的面积为 31cm2，则 x 的值为 1 或 5 六、解答题（本大题六、解答题（本大题 14 分）分） 23如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB90？若存在，求出点 P 的坐标， 并求
29、出POB 的面积；若不存在，请说明理由 【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，也就得出了抛物线的解析式 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根据OAB 的面积可 求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 B 点的坐标， 然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 B 点是否符合要求即可 （3）根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OBOP，由此可求出 P 点的坐标特点，代入二次函 数解析式可得出 P 点的坐标求POB 的面积时，可先求出 OB，OP 的长度即可求出BO
30、P 的面积 解：函数的图象与 x 轴相交于 O， 0k+1， k1， yx23x， 假设存在点 B，过点 B 做 BDx 轴于点 D， AOB 的面积等于 6， AOBD6， 当 0 x23x， x（x3）0， 解得：x0 或 3， AO3， BD4 即 4x23x， 解得：x4 或 x1（舍去） 又顶点坐标为：（ 1.5，2.25） 2.254， x 轴下方不存在 B 点， 点 B 的坐标为：（4，4）； 点 B 的坐标为：（4，4）， BOD45，BO4， 当POB90， POD45， 设 P 点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x， 即xx23x， 解得 x2 或 x0， 在抛物线上仅存在一点 P （2，2） OP2， 使POB90， POB 的面积为：POBO428
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