1、2021-2022 学年内蒙古鄂尔多斯市九年级第一学期第一次月考数学试卷学年内蒙古鄂尔多斯市九年级第一学期第一次月考数学试卷 一、选择题（一、选择题（10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1若方程 x2+kx30 的一个根是3，则 k 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 2关于 x 的方程 x（x5）3 的根的情况，正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 3用配方法解一元二次方程 2x2+4x10，配方后得到的方程是（ ） A（x+1）2 B（x1）2 C（x+2）2 D（x2）2 4如图是某公司去年 812
2、月份生产成本统计图，设 911 月每个月生产成本的下降率都为 x，根据图中 信息，得到 x 所满足的方程是（ ） A30（12x）15 B302（1x）15 C30（1x）215 D3030（12x）15 5将二次函数 y2（x1）2+4 图象向左平移 3 个单位，向下平移 2 个单位，则平移之后的函数表达式为 （ ） Ay2（x+2）2+2 By2（x+2） 2+6 Cy2（x4）2+6 Dy2（x4） 2+2 6已知（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线 y2x2+8x+m 上的点，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 7我们定义一种新函数：形
3、如 y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画 出了“鹊桥”函数 y|x22x3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ） A图象具有对称性，对称轴是直线 x1 B当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大 C当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0 D当 x1 时，函数的最大值是 4 8下表中所列的 x，y 的 5 对值是二次函数 yax2+bx+c 的图象上的点所对应的坐标： x 2 1 0 3 4 y 11 6 3 6 11 若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ） A当 x1x2时，y
4、1y2 B当 y1y2时，x1x2 C该函数的最小值为 3 D当 x11+n，x21n 时（n 为常数），y1y2 9在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 10如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 所成的锐角为 45，AC+BD10，则四边形 ABCD 面积的 最大值为（ ） A B C D 二、填空题：（二、填空题：（8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11已知关于 x 的方程 x2+mx+m20，若该方程的一个根为 1，则 m 的值为 12某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数
5、目的小分支，若主干、分支、小分支的总数 为 73，则每个分支长出小分支的数目为 13若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 6m29m9 的值为 14已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2ax20 的两根，且 1x1x2x1x20，则 a 15如图，抛物线的顶点为 P（2，2），与 y 轴交于点 A（0，3）若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移 动到点 P （2， 2） ， 点 A 的对应点为 A， 则抛物线上 PA 段扫过的区域 （阴影部分） 的面积为 16苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑， “门”的造型是东方之门的立意基础， “门”的内侧曲线呈抛物线型，如图
6、1，两栋建筑第八层由一条长 60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距 连桥150m处各有一窗户， 两窗户的水平距离为30m， 如图2， 则此抛物线顶端到连桥AB距离为 三、简答题：（三、简答题：（8 个题，共个题，共 72 分）分） 17解方程： （1）x2+4x20； （2）2x（x3）x3 18阅读下面材料后，然后解题 材料：解方程：x2|x|20 解：当 x0 时，原方程可化为 x2x20因式分解得：（x2）（x+1）0 则 x20，或 x+10，得 x12，x21（舍去） 当 x0 时，原方程可化为 x2+x20 解得：x12，x21（舍去） 综上：原方程的解为 x12，x22 仿照材料解
7、方程：x22|x|30 19为了满足市场上的口罩需求，某厂购进 A、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买 A 种口罩生产设备共 花费 360 万元，购买 B 种口罩生产设备共花费 480 万元购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设 备的单价和为 140 万元 （1）求 A、B 两种口罩生产设备的单价； （2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本 40 元，如果按照每盒 50 元的价格进行销售，每天可以售出 500 盒后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每天减少 20 盒，要保证每天销售 口罩盈利 6000 元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？ 20抛物线部分图
8、象如图所示，过点 C（0，3），顶点 D（1，4） （1）求抛物线的解析式及与它与 x 轴的交点坐标； （2）结合函数图象，当 y3 时 x 的取值范围为 21如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的 墙长为 19m），另外三边利用学校现有总长 38m 的铁栏围成 （1）若围成的面积为 180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为 200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 22ABC 中，B90，AB9，BC12，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此 同时，点
9、Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 PQ 分别从 AB 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动，问： （1）填空：BQ ，PB （用含 t 的代数式表示） （2）经过几秒，PQ 的长为 6cm？ （3）经过几秒，PBQ 的面积等于 8cm2？ 23红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化小明在春节前购进甲、乙两 种红灯笼，用 3120 元购进甲灯笼与用 4200 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每 对进价多 9 元 （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价 50 元时，每天可
10、售出 98 对，售价每提高 1 元，则每天少售出 2 对：物价部门规定其销售单价不高于每对 65 元，设乙灯笼每对涨价 x 元，小明一天通过乙灯笼获得利润 y 元 求出 y 与 x 之间的函数解析式； 乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 24如图，已知直线 y3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A 和点 C， 对称轴为直线 l：x1，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上且位于第二象限，求PBC 的面积最大值及点 P 的坐标 （3） 点 M 在此抛物线上，
11、点 N 在对称轴上， 以 B、 C、M、 N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能， 写出所有满足要求的点 M 的坐标；若不能，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（一、选择题（10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1若方程 x2+kx30 的一个根是3，则 k 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】把 x3 代入方程得出 93k30，求出 k 的值即可 解：把 x3 代入方程 x2+kx30 得：93k30， 解得：k2， 故选：C 2关于 x 的方程 x（x5）3 的根的情况，正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实
12、数根 D没有实数根 【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 解：原方程化为 x25x+30， 因为（5）2413130， 所以方程有两个不相等的实数根 故选：A 3用配方法解一元二次方程 2x2+4x10，配方后得到的方程是（ ） A（x+1）2 B（x1）2 C（x+2）2 D（x2）2 【分析】方程移项，把二次项系数化为 1，配方得到结果，即可作出判断 解：方程变形得：2x2+4x1，即 x2+2x， 配方得：x2+2x+1，即（x+1）2 故选：A 4如图是某公司去年 812 月份生产成本统计图，设 911 月每个月生产成本的下降率都为 x，根
13、据图中 信息，得到 x 所满足的方程是（ ） A30（12x）15 B302（1x）15 C30（1x）215 D3030（12x）15 【分析】设 911 月每个月生产成本的下降率都为 x，根据该公司 9 月份及 11 月份的生产成本，即可得 出关于 x 的一元二次方程 解：设每个月生产成本的下降率为 x， 根据题意得：30（1x）215， 故选：C 5将二次函数 y2（x1）2+4 图象向左平移 3 个单位，向下平移 2 个单位，则平移之后的函数表达式为 （ ） Ay2（x+2）2+2 By2（x+2） 2+6 Cy2（x4）2+6 Dy2（x4） 2+2 【分析】直接根据“上加下减，左加
14、右减”的原则进行解答 解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y2（x1）2+4 的图象向左平移 3 个单位长度所得抛物 线的解析式为：y2（x1+3） 2，即 y2（x+2）2+4；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y2（x+2） 2+4 向下平移 2 个单位长度所得抛物线的解析式为：y2（x+2）2+42，即 y2（x+2）2+2 故选：A 6已知（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线 y2x2+8x+m 上的点，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【分析】求出抛物线的对称轴为直线 x2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可 解：抛物
15、线的对称轴为直线 x2， （1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1） a20， x2 时，y 随 x 的增大而减小， 432， y2y1y3 故选：D 7我们定义一种新函数：形如 y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画 出了“鹊桥”函数 y|x22x3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ） A图象具有对称性，对称轴是直线 x1 B当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大 C当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0 D当 x1 时，函数的最大值是 4 【分析】 观察图象， 分别计算出对称轴、 函数图象与 x 轴的交点坐标， 结合图象
16、逐个选项分析判断即可 解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线 x1，故 A 正确； 令|x22x3|0 可得 x22x30， （x+1）（x3）0， x11，x23， （1，0）和（3，0）是函数图象与 x 轴的交点坐标， 又对称轴是直线 x1， 当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，故 B 正确； 由图象可知（1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0，故 C 正确； 由图象可知，当 x1 时，函数值随 x 的减小而增大，当 x3 时，函数值随 x 的增大而增大，均存在 大于顶点坐标的函数值， 故当 x1 时的函数值 4
17、并非最大值，故 D 错误 综上，只有 D 错误 故选：D 8下表中所列的 x，y 的 5 对值是二次函数 yax2+bx+c 的图象上的点所对应的坐标： x 2 1 0 3 4 y 11 6 3 6 11 若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ） A当 x1x2时，y1y2 B当 y1y2时，x1x2 C该函数的最小值为 3 D当 x11+n，x21n 时（n 为常数），y1y2 【分析】观察表格中的数据 11，6，3，6，11 可知抛物线开口向上，在对称轴左边，y 随 x 的增大而减 小，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大；当 x1 和
18、 3 时，y 的值都是 6，所以对称轴为直线 x1， 顶点坐标的纵坐标的值为最小值；根据1 可知这两个点关于对称轴 x1 对称，所以 y1y2 解：根据表格中的数据可得：抛物线开口向上，在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边， y 随 x 的增大而增大，故 A，B 选项错误，不符合题意； 根据表格可知，抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值，最小值不是 3，故 C 选 项错误，不合题意； 1， y1y2，故 D 选项正确，符合题意； 故选：D 9在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】直线与抛
19、物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在 y 左侧，a，b 同号，对称轴在 y 轴右侧 a，b 异号，以及当 a 大于 0 时开口向 上，当 a 小于 0 时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数 的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常 数项为正，交 y 轴于正半轴，常数项为负，交 y 轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛 盾者为正确答案 解：由方程组得 ax2a， a0 x21，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除 B A：二次函数
20、开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；但是一次函数 b 为一次项系数，图象 显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故 A 错； C：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；b 为一次函数的一次项系数，图象显 示从左向右下降，b0，两者相符，故 C 正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错 故选：C 10如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 所成的锐角为 45，AC+BD10，则四边形 ABCD 面积的 最大值为（ ） A B C D 【分析】 根据四边形面积公式， SACBDsin45， 根据 sin45得出 Sx （10 x）
21、， 再利用二次函数最值求出即可 解：AC 与 BD 所成的锐角为 45， 根据四边形面积公式，得四边形 ABCD 的面积 SACBDsin45， 设 ACx，则 BD10 x， 所以 Sx（10 x）（x5）2+， 所以当 x5，S 有最大值 故选：A 二、填空题：（二、填空题：（8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11已知关于 x 的方程 x2+mx+m20，若该方程的一个根为 1，则 m 的值为 【分析】根据一元二次方程解的定义，将 x1 代入原方程，然后解关于 m 的一元一次方程即可 解：关于 x 的方程 x2+mx+m20 的一个根是 1， 当 x1 时，由
22、原方程，得 1+m+m20， 解得 m； 故答案为： 12某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数 为 73，则每个分支长出小分支的数目为 8 【分析】设每个分支长出小分支的数目为 x，根据主干、分支、小分支的总数为 73，即可得出关于 x 的 一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 解：设每个分支长出小分支的数目为 x， 依题意得：1+x+x273， 整理得：x2+x720， 解得：x18，x29（不合题意，舍去） 故答案为：8 13若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 6m29m9 的值为 6 【分析】由已知可得 2m23m10，再化
23、简所求代数为 6m29m93（2m23m）9，即可求解 解：m 是方程 2x23x10 的一个根， 2m23m10， 2m23m1， 6m29m93（2m23m）93196， 故答案为：6 14已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2ax20 的两根，且 1x1x2x1x20，则 a 3 【分析】各环节根与系数的关系得到 x1+x2a，x1x22，则 1a（2）0，然后解关于 a 的方程 即可 解：根据题意得 x1+x2a，x1x22， 1x1x2x1x20， 1（x1+x2）x1x20， 1a（2）0，解得 a3 3241（2）0， a 的值为 3 故答案为 3 15如图，抛物线的顶点为 P
24、（2，2），与 y 轴交于点 A（0，3）若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移 动到点 P （2， 2） ， 点 A 的对应点为 A， 则抛物线上 PA 段扫过的区域 （阴影部分） 的面积为 12 【分析】 根据平移的性质得出四边形 APPA是平行四边形， 进而得出 AD， PP的长， 求出面积即可 解：连接 AP，AP，过点 A 作 ADPP于点 D， 由题意可得出：APAP，APAP， 四边形 APPA是平行四边形， 抛物线的顶点为 P（2，2），与 y 轴交于点 A （0，3），平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P （2，2）， PO2，AOP45， 又ADOP， ADO 是等腰
25、直角三角形， PP224， ADDOsin45OA3， 抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412 故答案为：12 16苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑， “门”的造型是东方之门的立意基础， “门”的内侧曲线呈抛物线型，如图 1，两栋建筑第八层由一条长 60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距 连桥 150m 处各有一窗户， 两窗户的水平距离为 30m， 如图 2， 则此抛物线顶端到连桥AB距离为 200m 【分析】以 AB 所在的直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，用 待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点 O
26、的坐标，从而可得此抛物线顶端 O 到连桥 AB 距离 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系： A（30，0），B（30，0），D（15，150）， 设抛物线的解析式为 ya（x+30）（x30），将（15，150）代入，得： 150a（15+30）（1530）， 解得：a， y（x+30）（x30） x2+200， 抛物线顶端 O 的坐标为（0，200）， 此抛物线顶端 O 到连桥 AB 距离为 200m 故答案为：200m 三、简答题：（三、简答题：（8 个题，共个题，共 72 分）分） 17解方程： （1）x2+4x20； （
27、2）2x（x3）x3 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可得出答案 解：（1）x2+4x20， 则 x2+4x2， 故 x2+4x+42+4， （x+2）26， 则 x+2， 解得：，； （2）2x（x3）x3， （x3）（2x1）0， 则 x30 或 2x10， 解得： 18阅读下面材料后，然后解题 材料：解方程：x2|x|20 解：当 x0 时，原方程可化为 x2x20因式分解得：（x2）（x+1）0 则 x20，或 x+10，得 x12，x21（舍去） 当 x0 时，原方程可化为 x2+x20 解得：x12，x21（舍去） 综上：原方程的解为
28、 x12，x22 仿照材料解方程：x22|x|30 【分析】仿照题干材料方法，分 x0 和 x0 两种情况，利用因式分解法求解即可 解：当 x0 时，方程可化为 x22x30， 因式分解得（x+1）（x3）0， 则 x+10 或 x30， 解得 x11（舍去），x23； 当 x0 时，原方程可化为 x2+2x30， 因式分解，得：（x1）（x+3）0， x10 或 x+30， 解得 x11（舍去），x23； 综上，原方程的解为 x13，x23 19为了满足市场上的口罩需求，某厂购进 A、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买 A 种口罩生产设备共 花费 360 万元，购买 B 种口罩生产设备共花
29、费 480 万元购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设 备的单价和为 140 万元 （1）求 A、B 两种口罩生产设备的单价； （2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本 40 元，如果按照每盒 50 元的价格进行销售，每天可以售出 500 盒后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每天减少 20 盒，要保证每天销售 口罩盈利 6000 元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？ 【分析】（1）设 A 种口罩生产设备的单价为 x 万元，则 B 种口罩生产设备的单价为（140 x）万元，根 据购买的两种设备数量相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
30、 （2）设每盒口罩可涨价 m 元购进 A 口罩 m 个，根据每天销售口罩盈利 6000 元，即可得出关于 m 的一 元二次方程，解方程即可求解 解：（1）设 A 种口罩生产设备的单价为 x 万元，则 B 种口罩生产设备的单价为（140 x）万元，依题意 有 ， 解得 x60， 经检验，x60 是原方程的解，且符合题意， 则 140 x1406080 答：A 种口罩生产设备的单价为 60 万元，则 B 种口罩生产设备的单价为 80 万元； （2）设每盒口罩可涨价 m 元，依题意有 （5040+m）（50020m）6000， 解得 m15，m210（舍去） 故每盒口罩可涨价 5 元 20抛物线部分
31、图象如图所示，过点 C（0，3），顶点 D（1，4） （1）求抛物线的解析式及与它与 x 轴的交点坐标； （2）结合函数图象，当 y3 时 x 的取值范围为 x0 或 x2 【分析】（1）设顶点式，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再令 y0 可求得与 x 轴的交点坐标； （2）利用对称性可求得 C 点关于对称轴的对称点，结合 C 点坐标可求得 y3 时 x 的取值范围 解：（1）抛物线顶点坐标为（1，4）， 可设抛物线解析式为 ya（x1）24， 过点 C（0，3）， 3a4，解得 a1， 抛物线解析式为 y（x1）24， 令 y0 可得，（x1）240，解得 x1 或 x3， 抛物线与 x
32、 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）； （2）C（0，3），对称轴为直线 x1， C 点关于对称轴的对称点为（2，3）， 当 y3 时，x 的取值范围为 x0 或 x2 故答案为：x0 或 x2 21如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的 墙长为 19m），另外三边利用学校现有总长 38m 的铁栏围成 （1）若围成的面积为 180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为 200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 【分析】（1）根据铁栏的长是长方形的长与宽的 2 倍的和，从而确定长和宽，即可表示出矩形
33、面积，求 出即可； （2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可 解：（1）设 ABx，则 BC382x； 根据题意列方程的， x（382x）180， 解得 x110，x29； 当 x10，382x18（米）， 当 x9，382x20（米），而墙长 19m，不合题意舍去， 答：若围成的面积为 180m2，自行车车棚的长和宽分别为 18 米，10 米； （2）根据题意列方程得， x（382x）200， 整理得出：x219x+1000； b24ac361400390， 故此方程没有实数根， 答：因此如果墙长 19m，满足条件的花园面积不能达到 200m2 22ABC 中，B90，AB9，B
34、C12，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此 同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 PQ 分别从 AB 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动，问： （1）填空：BQ 2t ，PB 9t （用含 t 的代数式表示） （2）经过几秒，PQ 的长为 6cm？ （3）经过几秒，PBQ 的面积等于 8cm2？ 【分析】（1）由点 P，Q 的运动速度，可用含 t 的代数式表示出 BQ，PB 的值； （2）根据勾股定理，可得出关于 t 的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）根据三角形的面积公式结合PBQ 的
35、面积，可得出关于 t 的一元二次方程，解之取其大于等于 0 小 于等于 6 的值即可得出结论 解：（1）根据题意得：BQ2t，PB9t 故答案为：2t；9t （2）根据题意得：（9t）2+（2t）272， 解得：t1，t23， 经过秒或 3 秒，PQ 的长为 6cm （3）根据题意得：（9t）2t8， 解得：t18，t21 0t6， t1 答：经过 1 秒，PBQ 的面积等于 8cm2 23红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化小明在春节前购进甲、乙两 种红灯笼，用 3120 元购进甲灯笼与用 4200 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每 对进价多 9
36、 元 （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价 50 元时，每天可售出 98 对，售价每提高 1 元，则每天少售出 2 对：物价部门规定其销售单价不高于每对 65 元，设乙灯笼每对涨价 x 元，小明一天通过乙灯笼获得利润 y 元 求出 y 与 x 之间的函数解析式； 乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设甲种灯笼单价为 x 元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用 3120 元购进甲灯 笼与用 4200 元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可
37、以列出函数的解析式； 由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案 解：（1）设甲种灯笼单价为 x 元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ， 解得 x26， 经检验，x26 是原方程的解，且符合题意， x+926+935， 答：甲种灯笼单价为 26 元/对，乙种灯笼的单价为 35 元/对 （2）y（50+x35）（982x）2x2+68x+1470， 答：y 与 x 之间的函数解析式为：y2x2+68x+1470 a20， 函数 y 有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对 65 元， x+5065， x15， x1
38、7 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x15 时，y最大2040 15+5065 答：乙种灯笼的销售单价为每对 65 元时，一天获得利润最大，最大利润是 2040 元 24如图，已知直线 y3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A 和点 C， 对称轴为直线 l：x1，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上且位于第二象限，求PBC 的面积最大值及点 P 的坐标 （3） 点 M 在此抛物线上， 点 N 在对称轴上， 以 B、 C、M、 N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能， 写出所有满足要
39、求的点 M 的坐标；若不能，请说明理由 【分析】（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式； （2）设 P（x，x22x+3），先利用待定系数法计算直线 BC 的关系式为 yx+3 可得 PMx22x+3 （x+3）x23x，根据面积和求PBC 的面积，配方可得结论； （3）讨论：当以 BC 为对角线，利用平移的性质，则可确定 M 的横坐标，然后代入抛物线解析式得到 M 点的纵坐标；当以 BC 为边时，根据平移的性质，则可确定 M 的横坐标，然后代入抛物线解析式得到 M 点的纵坐标 解：（1）直线 y3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C， 当 y0 时，3x+30，解得 x1
40、， 则 A 点坐标为（1，0）； 当 x0 时，y3， 则 C 点坐标为（0，3）； 抛物线的对称轴为直线 x1， 则 B 点坐标为（3，0）； 把 C（0，3）代入 ya（x1）（x+3）得 33a， 解得 a1， 则此抛物线的解析式为 y（x1）（x+3）x22x+3； （2）设 P（x，x22x+3）， 如图 1，过 P 作 PMy 轴，交 BC 于点 M， 设直线 BC 的关系式为：ymx+n， 把 B（3，0），C（0，3）代入 ymx+n 得 ， 解得， 直线 BC 的关系式为 yx+3， PMx22x+3（x+3）x23x， PBC 的面积SPBM+SPCM3（x23x） +，
41、0， 当 x时，PBC 的面积有最大值是， P 点坐标为（，）； （3）当以 BC 为对角线，如图 2， 四边形 BMCN 为平行四边形， C 点（0，3），N 点横坐标为1，B 点横坐标为3， M 点横坐标为2， M 点纵坐标为 y4+4+33， M 点坐标为（2，3）； 当以 BC 为边时，如图 3， 四边形 BCNM 为平行四边形， C 点（0，3），B（3，0），N 点横坐标为1， M 点横坐标为4， M 点纵坐标为 y16+8+35， M 点坐标为（4，5）； 同理可知如图 4，存在四边形 BCMN 为平行四边形，可得 M 的横坐标为 2， 当 x2 时，y44+35， M 点坐标为（4，5）或（2，5） 综上所述，M 点坐标为（2，3）或（4，5）或（2，5）
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