1、2021-2022 学年江苏省扬州市江都学年江苏省扬州市江都区区九年级（上）月考数学试卷（九年级（上）月考数学试卷（10 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 24.0 分）分） 1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax2+0 Bax2+bx+c0 C （x1） （x+2）1 Dx（x+1）x2+7 2已知 m 是方程 x2x10 的一个根，则代数式 m2m 的值等于（ ） A2 B1 C0 D1 3已知 a、b、c 为常数，点 P（a，c）在第二象限，则关于 x 的方程 ax2+bx+c0 根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个
2、不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 4用公式法解方程 2t26t+3 时，a，b，c 的值分别为（ ） A2，6，3 B2，6，3 C2，6，3 D2，6，3 5在一次 15 人参加的歌唱比赛中，预赛成绩各不同要取前 8 名参加决赛杨超越已经知道自己的成绩，她 想知道自己是否能进入决赛，只需要再知道这 15 名选手成绩的（ ） A平均数 B众数 C方差 D中位数 6小红连续 5 天的体温数据如下（单位：） ：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3关于这组数据，下列说法正 确的是（ ） A中位数是 36.5 B众数是 36.2 C平均数是 36.2 D极差是 0.3 7下列一元二
3、次方程两实数根和为4 的是（ ） Ax2+2x40 Bx24x+40 Cx24x+100 Dx2+4x50 8如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分） 多 2.25 平方米，则主卧与客卧的周长差为（ ） A12 米 B10 米 C8 米 D6 米 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，共小题，共 30.0 分）分） 9关于 x 的方程（a+2）x|a|+2x50 是一元二次方程，则 a 10一元二次方程 x（x+1）0 的两根分别为 11已知 x 为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）150，则 2x2+3 的值为 1
4、2 若关于x的一元二次方程ax2+x20有两个不相等的实数根， 则a的取值范围是 13若一组数据 3，4，5，x 的极差是 5，则 x 14某人打靶，有 m 次每次打中 a 环，有 n 次每次打中 b 环，则此人平均每次中靶的环数是 环 15某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 电工 木工 瓦工 人数 5 4 5 每人每月工资（元） 7000 6000 5000 现该工程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工、瓦工各 1 名，与调整前相比，该工程队员工月 工资的方差 （填“变小” “不变”或“变大” ） 16在解一元二次方程 x2+bx+c0 时，小明
5、看错了一次项系数 b，得到的解为 x12，x23；小刚看错了 常数项 c，得到的解为 x11，x25请你写出正确的一元二次方程 17设 a，b 是方程 x2+x20110 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为 18如图，在矩形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 由点 A 出发，沿 ABBC CD 向点 D 运动设点 P 的运动路程为 x，AOP 的面积为 y，y 与 x 的函数关系图象如图所示，则 AD 边的长为 三、解答题（三、解答题（96 分）分） 19 （16 分）按要求解下列方程： （1）3x227； （2）x22x40（用配方法） ； （3）x2
6、+4x30； （4） （x1）2（x1） 20 （8 分）2020 年 3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类 的考验，将对全球造成巨大影响新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经 过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） 求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 21 （8 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了 让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已
7、知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 22 （10 分）已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 23 （10 分）已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k0 （1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有两个实数根 （2）若等腰三角形
8、ABC 的底边长为 1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 24 （10 分）在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年级参加比赛的人数相同，成绩分为 A、B、C、D 四个 等级，其中相应等级的赋分依次为 100 分，90 分，80 分，70 分该校发展处的陈主任将七年级和八年 级的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中八年级成绩在 80 分及其以上的人数是 人； （2）求出下表中 a，b，c 的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 七年级 87.6 b 100 138.24 八年级 a 90 c 106.24 （3） 学
9、校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你 的理由 25 （10 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一 个相同的根，求此时 m 的值 26 （12 分）请阅读下列材料： 问题：已知方程 x2+x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍 解：设所求方程的根为 y，则 y2x 所以 x 把 x代入已知方程，得（）2+10 化简，得 y2+2y40 故所求方程为 y2+2y40 这种利用
10、方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） ： （1）已知方程 x2+x20，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程 为： ； （2）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的 根分别是已知方程根的倒数 27 （12 分）如图所示，ABC 中，B90，AB6cm，BC8cm （1） 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速 度移动如果 P，Q
11、分别从 A，B 同时出发，经过几秒，使PBQ 的面积等于 8cm2？ （2） 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速 度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，线段 PQ 能否将ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出 运动时间；若不能说明理由 （3）若 P 点沿射线 AB 方向从 A 点出发以 1cm/s 的速度移动，点 Q 沿射线 CB 方向从 C 点出发以 2cm/s 的速度移动，P，Q 同时出发，问几秒后，PBQ 的面积为 1cm2？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（
12、本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 24.0 分）分） 1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax2+0 Bax2+bx+c0 C （x1） （x+2）1 Dx（x+1）x2+7 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元 二次方程进行分析即可 【解答】解：A、是分式方程，故此选项错误； B、当 a0 时，a、b、c 是常数时，ax2+bx+c0 是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、是一元一次方程，故此选项错误； 故选：C 2已知 m 是方程 x2x10 的一个根，则代数式 m2
13、m 的值等于（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用 这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 m 代入原方程即可求 m2m 的值 【解答】解：把 xm 代入方程 x2x+10 可得：m2m10， 即 m2m1， 故选：B 3已知 a、b、c 为常数，点 P（a，c）在第二象限，则关于 x 的方程 ax2+bx+c0 根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到 ac0，则判断0，然后根据判别式的意义判断方程根的 情况 【解答】解：点
14、 P（a，c）在第二象限， a0，c0， ac0， b24ac0， 方程有两个不相等的实数根 故选：B 4用公式法解方程 2t26t+3 时，a，b，c 的值分别为（ ） A2，6，3 B2，6，3 C2，6，3 D2，6，3 【分析】先把方程化为一般式，然后确定 a、b、c 的值 【解答】解：方程化为 2t26t30， 所以 a2，b6，c3 故选：B 5在一次 15 人参加的歌唱比赛中，预赛成绩各不同要取前 8 名参加决赛杨超越已经知道自己的成绩，她 想知道自己是否能进入决赛，只需要再知道这 15 名选手成绩的（ ） A平均数 B众数 C方差 D中位数 【分析】由于有 15 人参加歌唱比赛
15、，要取前 8 名参加决赛，故应考虑中位数的大小 【解答】解：共有 15 人参加的歌唱比赛，取前 8 名，所以杨超越需要知道自己的成绩是否进入前 8我 们把所有同学的成绩按大小顺序排列， 第 8 名的成绩是这组数据的中位数， 所以杨超越知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛 故选：D 6小红连续 5 天的体温数据如下（单位：） ：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3关于这组数据，下列说法正 确的是（ ） A中位数是 36.5 B众数是 36.2 C平均数是 36.2 D极差是 0.3 【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可 【解答】解：把小红连续
16、5 天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6， 处在中间位置的一个数是 36.3，因此中位数是 36.3； 出现次数最多的是 36.2，因此众数是 36.2； 平均数为： （36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）536.36， 极差为：36.636.20.4， 故选：B 7下列一元二次方程两实数根和为4 的是（ ） Ax2+2x40 Bx24x+40 Cx24x+100 Dx2+4x50 【分析】设方程的两个根为 a、b，根据根与系数的关系找出 a+b 的值，此题的解 【解答】解：设方程的两个根为 a、b A、a+b2； B、a+b4； C、（4）2
17、410240； D、a+b4 故选：D 8如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分） 多 2.25 平方米，则主卧与客卧的周长差为（ ） A12 米 B10 米 C8 米 D6 米 【分析】根据题意可列： （a2+b2）（a+b）2（a2+b2）2.25，可得 ab1.5，则可求周长差 【解答】解：设主卧的边长为 a 米，客卧边长为 b 米 根据题意得： （a2+b2）（a+b）2（a2+b2）2.25 解得 ab1.5 主卧与客卧的周长差为 4（ab）6 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，共小题，共 30.0 分）
18、分） 9关于 x 的方程（a+2）x|a|+2x50 是一元二次方程，则 a 2 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数 是 2； （2）二次项系数不为 0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【解答】解：根据题意知， 解得：a2， 故答案为：2 10一元二次方程 x（x+1）0 的两根分别为 x10，x21 【分析】利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程 x（x+1）0， 可得 x0 或 x+10， 解得：x10，x21 故答案为：x10，x21 11已知 x 为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）150，则 2x2+3
19、 的值为 3 【分析】设 2x2+3t，且 t3，根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：设 2x2+3t，且 t3， 原方程化为：t2+2t150， t3 或 t5（舍去） ， 2x2+33， 故答案为：3 12 若关于 x 的一元二次方程 ax2+x20 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 且 a0 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解答】解：由题意可知：1+8a0， a， a0， a且 a0， 故答案为：a且 a0 13若一组数据 3，4，5，x 的极差是 5，则 x 0 或 8 【分析】分 x 是最大的数与最小的数两种情况，利用极差的定义列式进行计算即可得解 【解
20、答】解：x 是最小的数时，5x5， 解得 x0， x 是最大的数时，x35， 解得 x8， 所以，x 的值为 0 或 8 故答案为：0 或 8 14 某人打靶， 有 m 次每次打中 a 环， 有 n 次每次打中 b 环， 则此人平均每次中靶的环数是 为 环 【分析】由平均值总量次数，可以得到平均每次中靶的环数 【解答】解：这个人总共中的环数为（am+bn） ，总共打的次数为（m+n）次，那么平均每次中靶的环数 为 故答案为： 15某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 电工 木工 瓦工 人数 5 4 5 每人每月工资（元） 7000 6000 5000 现该工
21、程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工、瓦工各 1 名，与调整前相比，该工程队员工月 工资的方差 变大 （填“变小” “不变”或“变大” ） 【分析】利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大 【解答】解：减少木工 2 名，增加电工、瓦工各 1 名，600027000+5000， 这组数据的平均数不变， 但是每个数据减去平均数后平方和增大， 则该工程队员工月工资的方差变大 故答案为：变大 16在解一元二次方程 x2+bx+c0 时，小明看错了一次项系数 b，得到的解为 x12，x23；小刚看错了 常数项 c，得到的解为 x11，x25请你写出正确的一元二次方
22、程 x26x+60 【分析】利用根与系数的关系得到 23c，1+5b，然后求出 b、c 即可 【解答】解：根据题意得 23c， 1+5b， 解得 b6，c6， 所以正确的一元二次方程为 x26x+60 故答案为 x26x+60 17设 a，b 是方程 x2+x20110 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为 2010 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到 a2+a20110， 即 a2a+2011， 则原式变形为 a+b+2011， 再根据根与系数的关系得 a+b1，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：a 是方程 x2+x20110 的实数根， a2+a20110，即 a2a+2
23、011， a2+2a+ba+2011+2a+ba+b+2011， a，b 是方程 x2+x20110 的两个实数根， a+b1， a2+2a+b1+20112010 故答案为 2010 18如图，在矩形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 由点 A 出发，沿 ABBC CD 向点 D 运动设点 P 的运动路程为 x，AOP 的面积为 y，y 与 x 的函数关系图象如图所示，则 AD 边的长为 4 【分析】当 P 点在 AB 上运动时，AOP 面积逐渐增大，当 P 点到达 B 点时，结合图象可得AOP 面积 最大为 3，得到 AB 与 BC 的积为 12；当 P
24、点在 BC 上运动时，AOP 面积逐渐减小，当 P 点到达 C 点 时，AOP 面积为 0，此时结合图象可知 P 点运动路径长为 7，得到 AB 与 BC 的和为 7，构造关于 AB 的一元二方程可求解 【解答】 解： 当 P 点在 AB 上运动时， AOP 面积逐渐增大， 当 P 点到达 B 点时， AOP 面积最大为 3 ，即 ABBC12 当 P 点在 BC 上运动时，AOP 面积逐渐减小，当 P 点到达 C 点时，AOP 面积为 0，此时结合图象可 知 P 点运动路径长为 7， AB+BC7 则 BC7AB，代入 ABBC12，得 AB27AB+120， 解得 AB4 或 3， ABA
25、D，即 ABBC， AB3，BC4 即 AD4 故答案为：4 三、解答题（三、解答题（96 分）分） 19 （16 分）按要求解下列方程： （1）3x227； （2）x22x40（用配方法） ； （3）x2+4x30； （4） （x1）2（x1） 【分析】 （1）根据直接开平方法可以解答本题； （2）根据配方法可以解答本题； （3）根据公式法可以解答本题； （4）先移项，再根据因式分解法可以解答本题 【解答】解： （1）3x227， x29， x3； （2）x22x40， x22x4， x22x+15， （x1）25， x1， 解得，x11+，x21； （3）x2+4x30， a1，b4，c3
26、， 4241（3）280， x2， x12+，x22； （4） （x1）2（x1） ， （x1）2（x1）0， （x1） （x11）0， x10 或 x20， 解得，x11，x22 20 （8 分）2020 年 3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类 的考验，将对全球造成巨大影响新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经 过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） 求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【分析】
27、（1） 设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人， 根据一人患病后经过两轮传染后共有 169 人患病， 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病人数经过两轮传染后患病人数（1+12） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）169， 解得：x112，x214（不合题意，舍去） 答：每轮传染中平均每个人传染了 12 个人 （2）169（1+12）2197（人） 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 2197 人患病 21 （8 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干
28、果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了 让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元） （0 x 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】 （1）设一次函数解析式为：ykx+b 由题意得出：当 x2，y120；当 x4，y140；得出方 程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程（6040 x） （10 x+100）2090，解方程即可 【解答】解： （1）设一次函数解析式为：ykx+b 当 x2，y120；当 x4，y1
29、40； ， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x+100； （2）由题意得： （6040 x） （10 x+100）2090， 整理得：x210 x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 22 （10 分）已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 【分析】 （1）让根的判别式为 0 即可求得 m，进而求得方程的根即
30、为菱形的边长； （2）求得 m 的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD， 0，即 m24（）0， 整理得： （m1）20， 解得 m1， 当 m1 时，原方程为 x2x+0， 解得：x1x20.5， 故当 m1 时，四边形 ABCD 是菱形，菱形的边长是 0.5； （2）把 AB2 代入原方程得，m2.5， 把 m2.5 代入原方程得 x22.5x+10，解得 x12，x20.5， CABCD2（2+0.5）5 23 （10 分）已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k0 （1）求证：无论 k 取任何实数值，方程
31、总有两个实数根 （2）若等腰三角形 ABC 的底边长为 1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 【分析】 （1）先计算出（k+2）242k（k2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义 判断方程根的情况； （2）依题意有0，则 k2，再把 k 代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长 【解答】 （1）证明：（k+2）242k（k2）2， （k2）20，即0， 无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有（k2）20，则 k2， 方程化为 x24x+40，解得 x1x22， 故ABC 的周长2+2+15 24 （10 分）在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年
32、级参加比赛的人数相同，成绩分为 A、B、C、D 四个 等级，其中相应等级的赋分依次为 100 分，90 分，80 分，70 分该校发展处的陈主任将七年级和八年 级的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中八年级成绩在 80 分及其以上的人数是 20 人； （2）求出下表中 a，b，c 的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 七年级 87.6 b 100 138.24 八年级 a 90 c 106.24 （3） 学校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你 的理由 【分析】 （1）根据题意和扇形
33、统计图中的数据，表格中的数据，可以计算出此次竞赛中二班成绩在 80 分及其以上的人数； （2）根据题意和表格中的数据，可以计算出 a、b、c 的值； （3）根据表格中的数据，可以得到选择哪一个班参加，本题答案不唯一，只要合理即可 【解答】解： （1）此次竞赛中八年级成绩在 80 分及其以上的人数是： （11+1+9+4）（120%）20 （人） ， 故答案为：20； （2）由七年级比赛成绩统计图可知，一共有 25 个数据，按从大到小的顺序排列后，第 13 个数据是 80， 所以中位数 b80， 每个年级参加比赛的人数相同，八年级参加的人数是：11+1+9+425， a10024%+9048%+
34、808%+7020%87.6， c90， 即 a87.6，b80，c90； （3）选择八年级参加， 理由： 由表格可知， 两个班的平均数相同， 八年级的中位数高于七年级， 并且八年级的方差小于七年级， 学生成绩发挥比较稳定，故选择八年级 25 （10 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一 个相同的根，求此时 m 的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解不等式即可； （2）先确定 k2，再解方程 x23x+20，解得 x
35、11，x22，然后分别把 x1 和 x2 代入一元二次 方程（m1）x2+x+m30 可得到满足条件的 m 的值 【解答】解： （1）根据题意得（3）24k0， 解得 k； （2） 满足条件的 k 的最大整数为 2， 此时方程 x23x+k0 变形为方程 x23x+20， 解得 x11， x22， 当相同的解为 x1 时，把 x1 代入方程（m1）x2+x+m30 得 m1+1+m30，解得 m； 当相同的解为 x2 时， 把 x2 代入方程（m1） x2+x+m30 得 4 （m1）+2+m30， 解得 m1， 而 m10，不符合题意，舍去， 所以 m 的值为 26 （12 分）请阅读下列材
36、料： 问题：已知方程 x2+x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍 解：设所求方程的根为 y，则 y2x 所以 x 把 x代入已知方程，得（）2+10 化简，得 y2+2y40 故所求方程为 y2+2y40 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） ： （1） 已知方程 x2+x20， 求一个一元二次方程， 使它的根分别为已知方程根的相反数， 则所求方程为： y2y20 ； （2）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的 根分别
37、是已知方程根的倒数 【分析】根据所给的材料，设所求方程的根为 y，再表示出 x，代入原方程，整理即可得出所求的方程 【解答】解： （1）设所求方程的根为 y，则 yx 所以 xy 把 xy 代入已知方程，得 y2y20， 故所求方程为 y2y20； （2）设所求方程的根为 y，则 y（x0） ，于是 x（y0） 把 x代入方程 ax2+bx+c0， （a0） ，得 a（）2+b+c0 去分母，得 a+by+cy20 若 c0，有 ax2+bx0，即 x（ax+b）0， 可得有一个解为 x0，不符合题意，因为题意要求方程 ax2+bx+c0 有两个不为 0 的根 故 c0， 故所求方程为 cy2
38、+by+a0（c0） ， （a0） 27 （12 分）如图所示，ABC 中，B90，AB6cm，BC8cm （1） 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速 度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经过几秒，使PBQ 的面积等于 8cm2？ （2） 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动， 点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速 度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，线段 PQ 能否将ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出 运动
39、时间；若不能说明理由 （3）若 P 点沿射线 AB 方向从 A 点出发以 1cm/s 的速度移动，点 Q 沿射线 CB 方向从 C 点出发以 2cm/s 的速度移动，P，Q 同时出发，问几秒后，PBQ 的面积为 1cm2？ 【分析】 （1）设经过 x 秒，使PBQ 的面积等于 8cm2，根据等量关系：PBQ 的面积等于 8cm2，列出 方程求解即可； （2）设经过 y 秒，线段 PQ 能否将ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即 可求解； （3）分三种情况：点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 CB 上（0 x4） ；点 P 在线段 AB 上，点 Q 在 射线 CB
40、 上（4x6） ；点 P 在射线 AB 上，点 Q 在射线 CB 上（x6） ；进行讨论即可求解 【解答】解： （1）设经过 x 秒，使PBQ 的面积等于 8cm2，依题意有 （6x） 2x8， 解得 x12，x24， 经检验，x1，x2均符合题意 故经过 2 秒或 4 秒，PBQ 的面积等于 8cm2； （2）设经过 y 秒，线段 PQ 能否将ABC 分成面积相等的两部分，依题意有 ABC 的面积6824， （6y） 2y12， y26y+120， b24ac36412120， 此方程无实数根， 线段 PQ 不能否将ABC 分成面积相等的两部分； （3）点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线
41、段 CB 上（0 x4） ， 设经过 m 秒，依题意有 （6m） （82m）1， m210m+230， 解得 m15+，m25， 经检验，m15+不符合题意，舍去， m5； 点 P 在线段 AB 上，点 Q 在射线 CB 上（4x6） ， 设经过 n 秒，依题意有 （6n） （2n8）1， n210n+250， 解得 n1n25， 经检验，n5 符合题意 点 P 在射线 AB 上，点 Q 在射线 CB 上（x6） ， 设经过 k 秒，依题意有 （k6） （2k8）1， k210k+230， 解得 k15+，k25， 经检验，k15不符合题意，舍去， k5+； 综上所述，经过（5）秒，5 秒， （5+）秒后，PBQ 的面积为 1cm2
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