1、2020-2021 学年四川省成都学年四川省成都郫都区郫都区名校八年级第一学期期中数学试卷名校八年级第一学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数中的无理数是（ ） A B3.14 C D 2下列三条长度的线段不能组成直角三角形的是（ ） A， B12，5，13 C7，24，25 D9，40，41 3函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 4下列说法中，正确的是（ ） A任意数的算术平方根都是正数 B只有正数才有算术平方根 C因为 3 的平方根是 9，所以 9 的平
2、方根是 3 D1 是 1 的平方根 5下列计算正确的是（ ） A B2312 C3 D4+314 6若点 P（m，2）与点 Q（3，n）关于原点对称，则 m，n 的值分别为（ ） A3，2 B3，2 C3，2 D3，2 7在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（ ） A B C13 D5 8对于一次函数 y2x+4，下列结论错误的是（ ） A函数的图象不经过第三象限 B函数的图象与 x 轴的交点坐标是（2，0） C函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y2x 的图象 D若两点 A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则 y1y2 9如图，小巷左右
3、两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距 离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度 为（ ） A2.2 米 B2.3 米 C2.4 米 D2.5 米 10如图，在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABAC，ADAE，点 C，D，E 在同一条直角 形上，连接 B、D 和 B，E，下列四个结论： BDCE； BDCE； ACE+DBC30 BE22（AD2+AB2） 其中，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4
4、分，共分，共 16 分）分） 11比较大小： 6 12已知直角三角形的两条直角边长分别为 6cm 和 8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm 13已知 a、b 分别是的整数部分和小数部分，那么 2ab 的值为 14已知 A、B、C 在数轴上的位置如图，ABAC，A、B 两点对应的实数分别是 1 和，则点 C 对应 的实数是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15计算 （1） （2）（23）2（4+3 ）（43） 16若实数 y 的立方根是 2，且实数 x、y、z 满足+y+（xz+4）28， （1）求 x+y2z 的值； （2）若 x、y、
5、z 是ABC 的三边长，试判断ABC 的形状 17如图，ABC 在正方形网格中，若 A（0，3），按要求回答下列问题 （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，写出 B 和 C 的坐标； （3）计算ABC 的面积 18为了普及“新冠病毒”的防疫知识，某市镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公 路 MN 的一侧点 A 处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离为 800 米，假使宣讲车 P 周围 1000 米以内能 听到广播宣传，宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时： （1）请问村庄能否听到宣传，并说明理由 （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是每分
6、钟 300 米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 19如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交 边 BC 于点 G，连接 AG （1）求证：ABGAFG； （2）求 BG 的长 20如图（1），在平面直角坐标系中，ABx 轴于 B，ACy 轴于 C，点 C（0，4），A（4，4），过 C 点 作ECF 分别交线段 AB、OB 于 E、F 两点 （1）若 OF+BEAB，求证：CFCE （2）如图（2），且ECF45，SECF6，求 SBEF的值 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题
7、4 分，共分，共 20 分）分） 21已知 y+8x，则的算术平方根为 22在平面直角坐标系中，点 A（1，2a+3）到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，则 a 23如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、 C1处， 点 B1在 x 轴上，再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点 C 2在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去若点 A（，0），B（0，2），则 点 B2016的坐标为 24如图，直线 AB 的解析式为 yx+b 分别与 x，y
8、轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （3，0），过点 B 的直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB：OC3：1在 x 轴上方存在点 D，使以点 A，B，D 为顶点的三角 形与ABC 全等，则点 D 的坐标为 25定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图 1，在 RtABC 中，ACB90，若点 D 是斜边 AB 的中点，则 CDAB，运用：如图 2，ABC 中，BAC90，AB2，AC3，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED 连接 BE，CE，DE，则 CE 的长为 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 26解决
9、如下问题： （1）分母有理化： （2）计算： （3）若 a，求 2a28a+1 的值 27如图 1，在ABC 中，ADBC 于 D，CEAB 于 E，AD 与 CE 交于点 F，ACE45 （1）求证：AEFCEB （2）若 G 在 BC 的延长线上，连接 GA，若 GAGB，求证：AC 平分DAG （3）如图 2，在（2）的条件下，H 为 AG 的中点，连接 DH 交 AC 于 M，连接 EM、ED，若 SEMC4， BAD15，求 AM 的长 28如图 1，等腰直角ABC 中，ACB90，CBCA，直线 DE 经过点 C，过 A 作 ADDE 于点 D， 过 B 作 BEDE 于点 E，则
10、BECCDA，我们称这种全等模型为“K 型全等”（不需要证明） 模型应用若一次函数 ykx+4（h0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 （1）如图 2，当 k1 时，若 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3，求 A 到直线 l 的距离 AD 的 长 （2）如图 3，当 k时，点 M 在第一象限内，若ABM 是等腰直角三角形，求点 M 的坐标 （3）当 k 的取值变化时，点 A 随之在 x 轴上运动，将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BQ，当 Q 在 第一象限落在直线 y0.5x+1 上时，在 x 轴上求一点 H，使 HQ+HB 的值最小，请求出 H 的坐
11、标 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数中的无理数是（ ） A B3.14 C D 【分析】根据无限不循环小数叫无理数，可得答案 解：A.，是整数，属于有理数； B.3.14 是有限小数，属于有理数； C.是分数，属于有理数； D 是无理数 故选：D 2下列三条长度的线段不能组成直角三角形的是（ ） A， B12，5，13 C7，24，25 D9，40，41 【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形 解：A、（）2+（）2（）2，故选项 A 中的三条线段不能构成直角三角
12、形； B、52+122132，故选项 B 中的三条线段能构成直角三角形； C、72+242252，故选项 C 中的三条线段能构成直角三角形； D、92+402412，故选项 D 中的三条线段能构成直角三角形； 故选：A 3函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为 0 列出不等式，解不等式得到答案 解：由题意得：3x0， 解得：x3， 故选：D 4下列说法中，正确的是（ ） A任意数的算术平方根都是正数 B只有正数才有算术平方根 C因为 3 的平方根是 9，所以 9 的平方根是 3 D1 是 1 的平方根 【分析
13、】根据算术平方根以及平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法 解：A、正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，故 A 选项错误； B、0 也有算术平方根，是 0，故 B 选项错误； C、应为 3 是 9 的平方根，所以 9 的平方根是3，故 C 选项错误； D、1 是 1 的平方根，故 D 选项正确 故选：D 5下列计算正确的是（ ） A B2312 C3 D4+314 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 解：不能合并，故选项 A 错误； 12，故选项 B 正确； ，故选项 C 错误； 4+3 7，故选项 D 错误； 故选：B 6若点 P（m，2）与点
14、 Q（3，n）关于原点对称，则 m，n 的值分别为（ ） A3，2 B3，2 C3，2 D3，2 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案 解：点 P（m，2）与点 Q（3，n）关于原点对称，得 m3，n2， 故选：C 7在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（ ） A B C13 D5 【分析】先根据 A、B 两点的坐标求出 OA 及 OB 的长，再根据勾股定理即可得出结论 解：A（2，0）和 B（0，3）， OA2，OB3， AB 故选：A 8对于一次函数 y2x+4，下列结论错误的是（ ） A函数的图象不经过第三
15、象限 B函数的图象与 x 轴的交点坐标是（2，0） C函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y2x 的图象 D若两点 A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则 y1y2 【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断 解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故 A 选项正确 B、当 y0 时，x2，则函数图象与 x 轴交点坐标是（2，0），故 B 选项正确； C、函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y2x+442x，故 C 选项正确； D、一次项系数小于 0，则函数值随自变量的增大而减小， 13， y1y2，故 D 选项错误； 故选：D 9如图，小巷左右
16、两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距 离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度 为（ ） A2.2 米 B2.3 米 C2.4 米 D2.5 米 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，同理可得出 BD 的长，进而可得出结论 解：在 RtACB 中，ACB90，BC0.7 米，AC2.4 米， AB20.72+2.426.25 在 RtABD 中，ADB90，AD2 米，BD2+AD2AB2， BD2+226.25， BD22.25， BD0， BD1.5 米， CDBC+BD0.7+1.
17、52.2 米 故选：A 10如图，在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABAC，ADAE，点 C，D，E 在同一条直角 形上，连接 B、D 和 B，E，下列四个结论： BDCE； BDCE； ACE+DBC30 BE22（AD2+AB2） 其中，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由条件证明ABDACE，就可以得到结论； 由ABDACE 就可以得出ABDACE，就可以得出BDC90而得出结论； 由条件知ABCABD+DBC45，由DBC+ACE90，就可以得出结论； BDE 为直角三角形就可以得出 BE2BD2+DE2，由DAE 和BAC 是等腰直角三角形就有 DE2 2
18、AD2，BC22AB2，就有 BC2BD2+CD2BD2就可以得出结论 解：BACDAE， BAC+DACDAE+DAC， 即BADCAE 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS）， BDCE故正确； ABDACE， ABDACE CAB90， ABD+DBC+ACB90， DBC+ACE+ACB90， BDC1809090 BDCE；故正确； BAC90，ABAC， ABC45， ABD+DBC45 ACE+DBC45，故错误； BDCE， BE2BD2+DE2 BACDAE90，ABAC，ADAE， DE22AD2，BC22AB2 BC2BD2+CD2BD2， 2AB2BD2+
19、CD2BD2， BE22（AD2+AB2）故错误， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11比较大小： 6 【分析】先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，然后只需根据条件分析被开方数即可 解：6， ， 即6 故答案为： 12已知直角三角形的两条直角边长分别为 6cm 和 8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 5 cm 【分析】首先根据勾股定理，得斜边是 10cm，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半 径 解：直角边长分别为 6cm 和 8cm， 斜边是 10cm， 这个直角三角形的外接圆的半径
20、为 5cm 13已知 a、b 分别是的整数部分和小数部分，那么 2ab 的值为 【分析】先估算的取值范围，进而可求 6的取值范围，从而可求 a，进而求 b，最后把 a、b 的值代入计算即可 解：， 34， 263， a2， b624， 2ab22（4） 故答案是 14已知 A、B、C 在数轴上的位置如图，ABAC，A、B 两点对应的实数分别是 1 和，则点 C 对应 的实数是 2+ 【分析】设出点 C 所表示的数为 x，根据点 B、C 到点 A 的距离相等列出方程，即可求出 x 的值 解：设点 C 所表示的数为 x， 点 B 与点 C 到点 A 的距离相等， ACAB，即 x11+， 解得：x
21、2+ 故答案为：2+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15计算 （1） （2）（23）2（4+3 ）（43） 【分析】（1）先去绝对值，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平分公式和平方差公式计算 解：（1）原式2+2 2； （2）原式2012+27（1618） 4712+2 4912 16若实数 y 的立方根是 2，且实数 x、y、z 满足+y+（xz+4）28， （1）求 x+y2z 的值； （2）若 x、y、z 是ABC 的三边长，试判断ABC 的形状 【分析】（1）根据非负性进行解答； （2）根据勾股定理的逆定理解
22、答即可 解：（1）实数 y 的立方根是 2， y8 +y+（xz+4）28， x6，z10 x+y2z6+8206 （2）x2+y236+64100，z2100 x2+y2z2 ABC 是直角三角形 17如图，ABC 在正方形网格中，若 A（0，3），按要求回答下列问题 （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，写出 B 和 C 的坐标； （3）计算ABC 的面积 【分析】（1）根据点 A 的坐标为（0，4），进而得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系； （2）根据坐标系直接得出点 B 和点 C 的坐标； （3）ABC 的面积等于长为 4，宽为 4 的正方形的面积
23、减去直角边长为 4，2 的直角三角形的面积，减 去直角边长为 3，4 的直角三角形面积，减去直角边长为 1，2 的直角三角形的面积 解：（1）如图所示：建立平面直角坐标系； （2）根据坐标系可得出：B（3，1）C（1，1）； （3）SABC4442 34125 18为了普及“新冠病毒”的防疫知识，某市镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公 路 MN 的一侧点 A 处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离为 800 米，假使宣讲车 P 周围 1000 米以内能 听到广播宣传，宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时： （1）请问村庄能否听到宣传，并说明理由 （2）如果能听到
24、，已知宣讲车的速度是每分钟 300 米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 【分析】（1）根据村庄 A 到公路 MN 的距离为 800 米1000 米，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到 BPBQ600 米，求得 PQ1200 米，于是得到结论 解：（1）村庄能听到宣传， 理由：村庄 A 到公路 MN 的距离为 800 米1000 米， 村庄能听到宣传； （2）如图：假设当宣讲车行驶到 P 点开始影响村庄，行驶 QD 点结束对村庄的影响， 则 APAQ1000 米，AB800 米， BPBQ600 米， PQ1200 米， 影响村庄的时间为：12003004 分钟， 村庄总共能听到 4 分
25、钟的宣传 19如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交 边 BC 于点 G，连接 AG （1）求证：ABGAFG； （2）求 BG 的长 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出 ABAF，BAFG90，利用 HL 定理得出ABG AFG 即可； （2）利用勾股定理得出 GE2CG2+CE2，进而求出 BG 即可； 解：（1）在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBBCD90， 将ADE 沿 AE 对折至AFE， ADAF，DEEF，DAFE90， ABAF，BAFG90， 又AGAG， 在 RtABG 和 Rt
26、AFG 中， ， ABGAFG（HL）； （2）ABGAFG， BGFG， 设 BGFGx，则 GC6x， E 为 CD 的中点， CEEFDE3， EG3+x， 在 RtCEG 中，32+（6x）2（3+x）2，解得 x2， BG2 20如图（1），在平面直角坐标系中，ABx 轴于 B，ACy 轴于 C，点 C（0，4），A（4，4），过 C 点 作ECF 分别交线段 AB、OB 于 E、F 两点 （1）若 OF+BEAB，求证：CFCE （2）如图（2），且ECF45，SECF6，求 SBEF的值 【分析】（1）以 SAS 判定COFCAE，即可得结论； （2）将ACE 绕点 C 顺时针旋
27、转 90，再证明GCFECF（SAS），从而 SBEFS四边形OBACSECF SECASOCF，将相关三角形和正方形的面积代入即可求得答案 解：（1）证明：ABx 轴，ACy 轴 ABOACO90 BOC90 A360ABOACOBOC90 ABOC C（0，4），A（4，4） OCACAB4 OF+BEAB，ABAE+BE OFAE 在COF 和CAE 中 COFCAE（SAS） CFCE （2）将ACE 绕点 C 顺时针旋转 90， 则 FGAE+OF，CGCE，ACEGCO ECF45， ACE+FCOACOECF904545 GCFGCO+FCOACE+FCO45 GCFECF 在G
28、CF 和ECF 中 GCFECF（SAS） SECF6 SGCF6 SECA+SOCF6 由（1）知四边形 OBAC 为边长为 4 的正方形 S四边形OBAC4416 SBEFS 四边形OBACSECFSECASOCF16664 SBEF的值为 4 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21已知 y+8x，则的算术平方根为 2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式求出 x 的值，再求出 y 的值，然后代入代数式求出的 值，再根据算术平方根的定义解答 解：由题意得，2x10 且 12x0， 解得 x且 x， x， y+8x0+
29、0+84， 4， 的算术平方根是 2 故答案为：2 22在平面直角坐标系中，点 A（1，2a+3）到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，则 a 1 或2 【分析】根据点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等可得 2a+31 或 2a+31，据此解出 a 的值 解：A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等， 2a+31 或 2a+31， 解得 a1 或 a2 故答案为：1 或2 23如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、 C1处， 点 B1在 x 轴上，再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点 C 2
30、在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去若点 A（，0），B（0，2），则 点 B2016的坐标为 （6048，2） 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4，即可得每偶数之间的 B 相差 6 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2016的坐标 解：AO，BO2， AB， OA+AB1+B1C26， B2的横坐标为：6，且 B2C22， B4的横坐标为：2612， 点 B2016的横坐标为：2016266048 点 B2016的纵坐标为：2 点 B2016的坐标为：（6048，2） 故答案为：（60
31、48，2） 24如图，直线 AB 的解析式为 yx+b 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （3，0），过点 B 的直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB：OC3：1在 x 轴上方存在点 D，使以点 A，B，D 为顶点的三角 形与ABC 全等，则点 D 的坐标为 （4，3）或（3，4） 【分析】求出 B（0，3）、点 C（1，0），分当 BD 平行 x 轴、BD 不平行 x 轴两种情况，分别求解即 可 解：将点 A 的坐标代入函数表达式得：03+b， 解得：b3，故直线 AB 的表达式为：yx+3， 则点 B（0，3），OB：OC3：1，则 OC1， 即点 C（1，0）；
32、如图，当 BD 平行 x 轴时， 点 A，B，D 为顶点的三角形与ABC 全等，则四边形 BDAC 为平行四边形， 则 BDAC1+34，则点 D（4，3）， 当 BD 不平行 x 轴时， 则 SABDSABD，则点 D、D到 AB 的距离相等， 则直线 DDAB， 设：直线 DD的表达式为：yx+n， 将点 D 的坐标代入上式并解得：n7， 直线 DD的表达式为：yx+7， 设点 D（n，7n）， A，B，D 为顶点的三角形与ABC 全等， 则 BDBC， 解得：n3， 故点 D（3，4）； 故答案为：（4，3）或（3，4） 25定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图 1，在
33、RtABC 中，ACB90，若点 D 是斜边 AB 的中点，则 CDAB，运用：如图 2，ABC 中，BAC90，AB2，AC3，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED 连接 BE，CE，DE，则 CE 的长为 【分析】根据BCAHABAC，可得 AH，根据垂直平分线的性质可得ADBOBD AH，得 OB，再根据 BE2OB，运用勾股定理可得 EC 解：如图，连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H 在 RtABC 中，BAC90，AB2，AC3， 由勾股定理得 BC， 由题可得 ADDCDB， BCAHABAC， AH， AEAB，DEDB， 点 A 在 BE
34、 的垂直平分线上，点 D 在 BE 的垂直平分线上， AD 垂直平分线段 BE， ADBOBDAH， OB， BE2OB， 在 RtBCE 中，EC 故答案为 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 26解决如下问题： （1）分母有理化： （2）计算： （3）若 a，求 2a28a+1 的值 【分析】（1）根据分母有理化计算； （2）根据（1）中结论计算即可； （3）根据分母有理化把 a 化简，根据完全平方公式把原式变形，把 a 的值代入计算即可 解：（1）1； （2）原式1+ 1 451 44； （3）a+2， 则 2a28a+1 2（a24a+4）7
35、 2（a2）27 2（+22）27 107 3 27如图 1，在ABC 中，ADBC 于 D，CEAB 于 E，AD 与 CE 交于点 F，ACE45 （1）求证：AEFCEB （2）若 G 在 BC 的延长线上，连接 GA，若 GAGB，求证：AC 平分DAG （3）如图 2，在（2）的条件下，H 为 AG 的中点，连接 DH 交 AC 于 M，连接 EM、ED，若 SEMC4， BAD15，求 AM 的长 【分析】（1）先判断出 AECE，再利用等角的余角相等判断出EAFECB，进而判断出AEF CEB，即可得出结论； （2） 先利用三角形外角的性质得出AEF45+CAD， 进而得出B45
36、+CAD， 而BBAG， 得出BAG45+CAD，而BAG45+CAG，即可得出结论； （3）先判断出ADH 是等边三角形，进而利用含 30 度角的直角三角形的性质判断出 AM3CM，进而 求出ACM 的面积，即可求出 AE，进而求出 AC，即可得出结论 【解答】（1）证明：CEAB， AECBEC90， ACE45， CAE45ACE， AECE， ADBC， ADC90， ECB+CFD90， CFDAFE， ECB+AFE90， EAF+AFE90， EAFECB， 在AEF 和CEB 中， ， AEFCEB（ASA）； （2）证明；AEFCEB， AFEB， AFEACE+CAD45+
37、CAD， B45+CAD， AGBG， BBAG， BAG45+CAD， BAGCAE+CAG45+CAG， CADCAG， AC 平分DAG； （3）解：BAD15，CAE45， CADCAEBAD30， CADCAG， DAG2CAD60， 在 RtADG 中，点 H 是 AG 的中点， DHAH， ADH 是等边三角形， ADH60，ADAH， CADCAG， ACDH， 即：AMDDMC90 ADC90， CDM30， 在 RtDMC 中，DMCM， 在 RtAMD 中，AMDMCM3CM， SAEM3SCEM3412， SACESCEM+SAEM16， AEC90，AECE， SAC
38、EAE216， AE4， ACAE8， AM+CM8， AM3CM， 3CM+CM8， CM2， AM3CM6 28如图 1，等腰直角ABC 中，ACB90，CBCA，直线 DE 经过点 C，过 A 作 ADDE 于点 D， 过 B 作 BEDE 于点 E，则BECCDA，我们称这种全等模型为“K 型全等”（不需要证明） 模型应用若一次函数 ykx+4（h0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 （1）如图 2，当 k1 时，若 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3，求 A 到直线 l 的距离 AD 的 长 （2）如图 3，当 k时，点 M 在第一象限内，若ABM 是等
39、腰直角三角形，求点 M 的坐标 （3）当 k 的取值变化时，点 A 随之在 x 轴上运动，将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BQ，当 Q 在 第一象限落在直线 y0.5x+1 上时，在 x 轴上求一点 H，使 HQ+HB 的值最小，请求出 H 的坐标 【分析】（1）由题意可知BEOAOD（K 型全等），OEAD，B（0，4），OE，AD； （2）k时，A（3，0），分三种情况讨论，当 BMAB，且 BMAB 时，过点 M 作 MNy 轴， 由“AAS”可证BMNABO，所以 MNOB，BNOA； 当 ABAM，且 AMAB 时，过点 M 作 x 轴垂线 MK，可知ABOAMK（AA
40、S），所以 OBAK， OAMK； 当 AMBM，且 AMBM 时，过点 M 作 MHx 轴，MGy 轴，由“AAS”可证BMGAHM， 所以 BGAH，GMMH，GMMH，则有 4MHMH3； （3）由“AAS”可证MABNBQ，可得 BNAM4，NQMB|，可求点 Q 坐标，作 点 Q 关于 x 轴的对称点 Q（4，3），连接 BQ，交 x 轴于 H，此时 HB+HQ 最小，求出 BQ的解析式， 联立方程组，可求解 解：（1）由题意可知：BEOAOD（K 型全等）， OEAD， k1， yx+4， B（0，4）， OB4， BE3， OE， AD； （2）k时，yx+4， A（3，0），
41、当 BMAB，且 BMAB 时， 如图 31，过点 M 作 MNy 轴， MNBAOBABM90， ABO+MBN90ABO+BAO， BAOMBN， 又ABBM， BMNABO（AAS）， MNOB，BNOA， MN4，BN3， M（4，7）； 如图 32，当 ABAM，且 AMAB 时， 过点 M 作 x 轴垂线 MK， 同理可证：ABOAMK（AAS）， OBAK，OAMK， AK4，MK3， M（7，3）； 当 AMBM，且 AMBM 时， 如图 33，过点 M 作 MHx 轴，MGy 轴， 同理可证：BMGAHM（AAS）， BGAH，GMMH， GMMH， 4MHMH3， MH，
42、M（，）； 综上所述：M（7，3）或 M（4，7）或 M（，）； （3）设 AB 的解析式为 ykx+4， 点 A（，0），点 B（0，4）， 如图 4，过点 B 作 MNAO，过点 A 作 AMMN 于 M，过点 Q 作 QNMN 于 N， 将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BQ， ABBQ，ABQ90， ABM+MAB90，MBA+NBQ90， MABNBQ， 在MAB 与NBQ 中， ， MABNBQ（AAS）， BNAM4，NQMB|， 点 Q（4，|）， |0.54+1， 点 Q（4，3）， 作点 Q 关于 x 轴的对称点 Q（4，3），连接 BQ，交 x 轴于 H， 此时 HB+HQ 最小， 设直线 BQ解析式为 ymx+n， 由题意可得：， 解得：， 直线 BQ解析式为 yx+4， 当 y0 时，x+40， x， 点 H 坐标为（，0）
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