1、 1 安徽省芜湖市繁昌区安徽省芜湖市繁昌区 2021-2022 学年九年级上开学考试数学试题学年九年级上开学考试数学试题 （满分 150 分） 一一、选择题（本大题共选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分 ）分 ） 1下列各式中，与能够合并的二次根式的是（ ） A B C D21 2观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3若实数 a、b、c 满足 a+b+c0 且 abc，则一次函数 yax+c 的图象一定不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4用配方法解下列
2、方程时，配方错误的是（ ） Ax2+2x990 化为（x+1）2100 B2x27x40 化为 Cx2+8x+90 化为（x+4）225 D3x24x20 化为 5某企业今年 1 月份产值为 a 万元，2 月份比 1 月份减少了 10%，3 月份又开始了回暖，已知 3，4 月份平均月增长率为 10%，则 4 月份的产值是（ ） A （a15%） （a+20%）万元 Ba（115%） （1+10%）2万元 Ca（115%） （1+20%）万元 D （a15%） （1+10%）2万元 6如图，已知ABC，ABBC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P，使得 PA+PCBC，则下列选项正确的是（
3、） 2 7如图，在ABC 中，点 E、D、F 分别在边 AB、BC，CA 上，且 DECA，DFBA下列四个判断中，不正确的是（ ） A四边形 AEDF 是平行四边形 B如果BAC90，那么四边形 AEDF 是矩形 C如果 AD 平分BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D如果 ADBC 且 BDCD，那么四边形 AEDF 是正方形 8小明要到距家 1500 米的学校上学，一天，小明出发 10 分钟后，小明的爸爸立即去追小明，且在距离学校 60 米的地方追上了他 已知爸爸比小明的速度快 100 米/分， 求小明的速度 若设小明速度是 x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A B C D
4、 9如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一点，CE5，F 为 DE 的中点若CEF 的周长为 18，则 OF 的长为（ ） A B C3 D4 10如图，在菱形 ABCD 中，AB4，E 是 AB 边上一点，且AEDF60，有下列结论： DEF 是等边三角形； ADEBEF； BEF 周长的最小值为 4+， BEF 面积的最大值为 其中正确结论有（ ） 3 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2 20 0 分 ）分 ） 11函数 y中自变量 x
5、的取值范围是 12如图，在ABC 中，BC，BAD34，且ADEAED，则CDE 度 13如图，直角边分别为 3，4 的两个直角三角形如图摆放，M，N 为斜边的中点，则线段 MN 的长为 14在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为 10cm、6cm，一条对角线的长为 8cm；则原三角形纸片的周长是 三、解答题（计算三、解答题（计算、求值、求解、证明、求值、求解、证明题题要求写过程，填空题不写过程。要求写过程，填空题不写过程。 ）(共 90 分) 15(8 分)计算： 16(8 分)先化简，再求
6、值： （x2），其中 x24 17(8 分)某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行 4 统计，并绘制如图 1，图 2 统计图 （1）将图补充完整； （2）本次共抽取员工 人，每人所创年利润的众数是 ，平均数是 ； （3）若每人创造年利润 10 万元及（含 10 万元）以上位优秀员工，在公司 1200 员工中有多少可以评为优秀员工？ 18(8 分)“泰山松树园”计划购买甲、乙两种树苗共 6000 株，甲种树苗每株 0.5 元，乙种树苗每株 0.8 元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 90%和 95% （1）若购买这批树苗的钱不超过 420
7、0 元，应如何选购树苗？ （2）若要使这批树苗的成活率不低于 93%，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 19(10 分)如图，矩形 ABCD，AB6，BC4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB、CD 边于点 E，F （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）当四边形 DEBF 是菱形时，求菱形的边长 20(10 分)已知面积为 30 的菱形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，2） ，B（a，b） ，C（1，4） ，D（c，d） ，求 a，b，c，d 的值及菱形的周长 21(12 分)如图，已知直线 ykx+b 与坐标轴分别交于点 A（0，8） 、B（8，0） ，动
8、点 C 从原点 O 出发沿OA 方向以每秒 1 个单位长度向点 A 运动，动点 D 从点 B 出发沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度向点 O 运动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）直接写出直线的解析式： ； （2）若 E 点的坐标为（2，0） ，当OCE 的面积为 5 时 求 t 的值； 5 探索：在 y 轴上是否存在点 P，使PCD 的面积等于CED 的面积？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 22(12 分)已知ABC，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD，其中 ACAD （1）如图 1，若 AB
9、为边在ABC 外作ABE，ABAE，DACEAB60，求BFC 的度数； （2）如图 2，ABC，ACD，BC4，BD6 若 30，60，AB 的长为 ； 若改变 、 的大小，且 +90，求ABC 的面积 23(14 分)已知正方形 ABCD，点 E 在 AB 上，点 G 在 AD，点 F 在射线 BC 上，点 H 在 CD 上 （1）如图 1，DEFG，求证：BFAE+AG； （2）如图 2，DEDF，P 为 EF 中点，求证：BEPC； （3）如图 3，EH 交 FG 于 O，GOH45，若 CD4，BFDG1，则线段 EH 的长为 6 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题（
10、本大题共选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分 ）分 ） 1下列各式中，与能够合并的二次根式的是（ ） A B C D21 【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可 【解答】解：A、3 与不是同类二次根式， ， B、3与不是同类二次根式， C、2与是同类二次根式， D、2122与不是同类二次根式， 故选：C 【点评】本题考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简 2观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：第
11、一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 7 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3若实数 a、b、c 满足 a+b+c0 且 abc，则一次函数 yax+c 的图象一定不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据实数 a、b、c 满足
12、a+b+c0，且 abc，确定 a、c 的取值范围，然后确定答案 【解答】解：实数 a、b、c 满足 a+b+c0，且 abc， a0，c0， 一次函数 yax+c 的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限 故选：C 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系由于 ykx+b 与 y 轴交于（0，b） ，当 b0 时， （0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b0 时， （0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴k0，b0ykx+b 的图象在一、二、三象限；k0，b0ykx+b 的图象在一、三、四象限；k0，b0ykx+b 的图象在一、二、四象限；k0，
13、b0ykx+b 的图象在二、三、四象限 4用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） Ax2+2x990 化为（x+1）2100 B2x27x40 化为 Cx2+8x+90 化为（x+4）225 D3x24x20 化为 【分析】根据配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案 【解答】解：A、由原方程，得 x2+2x99， 等式的两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 1，得 8 （x+1）2100； 故本选项正确； B、由原方程，得 2x27x4， 等式的两边同时加上一次项系数7 的一
14、半的平方，得， （x）2， 故本选项正确； C、由原方程，得 x2+8x9， 等式的两边同时加上一次项系数 8 的一半的平方 16，得 （x+4）27； 故本选项错误； D、由原方程，得 3x24x2， 化二次项系数为 1，得 x2x 等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 ； 故本选项正确 故选：C 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 5某企业今年 1 月份产值为 a 万元，2 月份比 1 月份减少了 15%，3 月份又开始了回暖，已知 3，4 月份平均月增长率为
15、 10%，则 4 月份的产值是（ ） A （a15%） （a+20%）万元 Ba（115%） （1+10%）2万元 Ca（115%） （1+20%）万元 D （a15%） （1+10%）2万元 【分析】根据 3 月份的产值是 a 万元，用 a 把 4 月份的产值表示出来（110%）a，进而得出 5 月份产值列出式子（110%）a（1+15%）万元，即可得出选项 9 【解答】解：1 月份的产值是 a 万元， 则：2 月份的产值是（110%）a 万元， 3，4 月份平均月增长率为 10%， 4 月份的产值是（110%） （1+10%）2a 万元， 故选：B 【点评】此题主要考查了列代数式，解此题的
16、关键是能用 a 把 3、4 月份的产值表示出来 6如图，已知ABC，ABBC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P，使得 PCBC-PA，则下列选项正确的是（ ） 【分析】由 PB+PCBC 和 PCBC-PA 易得 PAPB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点 P 在 AB的垂直平分线上，于是可判断 D 选项正确 【解答】解：PB+PCBC， 而 PCBC-PA， PAPB， 点 P 在 AB 的垂直平分线上， 即点 P 为 AB 的垂直平分线与 BC 的交点 故选：D 【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类
17、题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了线段垂直平分线定理的判定 7如图，在ABC 中，点 E、D、F 分别在边 AB、BC，CA 上，且 DECA，DFBA下列四个判断中，不正确的是（ ） A四边形 AEDF 是平行四边形 10 B如果BAC90，那么四边形 AEDF 是矩形 C如果 AD 平分BAC，那么四边形 AEDF 是菱形 D如果 ADBC 且 BDCD，那么四边形 AEDF 是正方形 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是 90的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边
18、都相等的是正方形 【解答】解：因为 DECA，DFBA，所以四边形 AEDF 是平行四边形故 A 选项正确 因为BAC90，四边形 AEDF 是平行四边形，所以四边形 AEDF 是矩形故 B 选项正确 因为 AD 平分BAC，所以 AEDE，又因为四边形 AEDF 是平行四边形，所以四边形 AEDF 是菱形故C 选项正确 如果 ADBC 且 ABBC，不能判定四边形 AEDF 是正方形，故 D 选项错误 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟记平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理是解题
19、的关键 8小明要到距家 1500 米的学校上学，一天，小明出发 10 分钟后，小明的爸爸立即去追小明，且在距离学校 60 米的地方追上了他 已知爸爸比小明的速度快 100 米/分， 求小明的速度 若设小明速度是 x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】 首先表示出爸爸和小明的速度， 再根据题意可得等量关系： 小明走 1440 米的时间爸爸走 1440米的时间+10 分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小明的时间，根据时间关系列出方程即可 【解答】解：设小明速度是 x 米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得： +10， 即：+10， 故选：B 【点评】此题
20、主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，表示出爸爸和小朱的时间各走1440 米所用时间，再由时间关系找出相等关系，列出方程 11 9如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一点，CE5，F 为 DE 的中点若CEF 的周长为 18，则 OF 的长为（ ） A B C3 D4 【分析】利用三角形中位线定理求出 BE 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， DCE90，ODOB， DFFE， CFFEFD， EC+EF+CF18，EC5， EF+FC13， DC12， BCCD12， BEBCEC7， ODOB，DFFE， O
21、FBE， 故选：A 【点评】本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 10如图，在菱形 ABCD 中，AB4，E 是 AB 边上一点，且AEDF60，有下列结论： DEF 是等边三角形； ADEBEF； BEF 周长的最小值为 4+， BEF 面积的最大值为 12 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据等边三角形与菱形的性质解答即可 【解答】解：连接 BD， 菱形 ABCD 中，A60， ADB 与CDB 是等边三角形， DBEC60，BDDC， EDF60， BDECDF， 在
22、BDE 和CDF 中 DBEC，BDECDF，BDCD， DBEDCF， DEDF，BDECDF，BECF， EDFBDC60， DEF 是等边三角形，故正确； DEF60， AED+BEF120， AED+ADE180A120， AED+BEFAED+ADE， 即ADEBEF，故正确； BEF 的周长BE+BF+EFBF+CF+EFBC+EF4+EF， 等边三角形DEF 的边长最小时，BEF 的周长最小， 13 当 DEAB 时，DE 最小2 BEF 周长的最小值为 4+，故正确； 菱形 ABCD 边长为 4，BAD60； ABD 与BCD 为正三角形， BDFADE， AEBF， AB4，
23、 BE+BF4， 设 BEx，则 BF4x， BEF 的面积x2+x 当 x2 时， BEF 的面积最大值为 故正确； 综上正确的有共 4 个 故选：D 【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 三、三、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2 20 0 分 ）分 ） 11函数 y中自变量 x 的取值范围是 【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于 0分式有意义的条件是分母不为 0，列不等式组求解 【解答】解：根据题意，得， 解得：
24、2x3， 则自变量 x 的取值范围是2x3 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 14 12如图，在ABC 中，BC，BAD34，且ADEAED，则CDE 度 【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出ADC， AED， 再表示出ADE，然后根据ADEAED 列方程整理即可得解 【解答】解：由三角形的外角性质得，ADCB+BAD， AEDC+CDE， 所以，ADEADCCDEB+BADCDE， ADEAED，
25、B+BADCDEC+CDE， BC， CDEBAD， BAD34， CDE3417 故答案为：17 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并分别表示出ADE 和AED 是解题的关键 13如图，直角边分别为 3，4 的两个直角三角形如图摆放，M，N 为斜边的中点，则线段 MN 的长为 【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质得到 CM，CN，MCBB，NCDD，根据勾股定理计算即可 【解答】解：连接 CM、CN， 由勾股定理得，ABDE5， ABC、CDE 是直角三角形，M，N 为斜边的中点， 15 CM，CN，MCBB，NCDD， MCN90
26、， MN， 故答案为： 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 14在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为 10cm、6cm，一条对角线的长为 8cm；则原三角形纸片的周长是 【分析】首先补全三角形进而利用平行四边形的性质得出各边长进而得出答案 【解答】解：如图 1： 周长为：2（10+8+6）48（cm） ； 如图 2： 16 BD6，BC8，CD10， BD2+BC2CD2， BCD 是直角三角形， AC12， AB4，
27、周长为（cm） ； 综上所述：原三角形纸片的周长是 48 或cm 故答案为：48 或（）cm 【点评】此题主要考查了图形的剪拼，利用勾股定理求出 AB 的长是解题关键 三、解答题（计算三、解答题（计算、求值、求解、证明、求值、求解、证明题题要求写过程，填空题不写过程。要求写过程，填空题不写过程。 ）(共 90 分) 15(8 分)计算： 【分析】先利用二次根式的除法法则运算，然后先把二次根式化为最简二次根式后合并即可； 【解答】解： （1）原式32+ 32+2 3； 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中
28、，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 16(8 分)先化简，再求值： （x2），其中 x24 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （x2） 17 x+4， 当 x24 时， 原式24+42 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 17(8 分)某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图 1，图 2 统计图 （1）将图补充完整； （2）本次共抽取员工 人，
29、每人所创年利润的众数是 ，平均数是 ； （3）若每人创造年利润 10 万元及（含 10 万元）以上位优秀员工，在公司 1200 员工中有多少可以评为优秀员工？ 【分析】 （1）求出 3 万元的员工的百分比，5 万元的员工人数及 8 万元的员工人数，再据数据制图 （2）利用 3 万元的员工除以它的百分比就是抽取员工总数，利用定义求出众数及平均数 （3）优秀员工公司员工10 万元及（含 10 万元）以上优秀员工的百分比 【解答】解： （1）3 万元的员工的百分比为：136%20%12%24%8%， 抽取员工总数为：48%50（人） 5 万元的员工人数为：5024%12（人） 8 万元的员工人数为：
30、5036%18（人） 18 （2）抽取员工总数为：48%50（人） 每人所创年利润的众数是 8 万元， 平均数是：（34+512+818+1010+156）8.12 万元 故答案为：50，8 万元，8.12 万元 （3）1200384（人） 答：在公司 1200 员工中有 384 人可以评为优秀员工 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及加权平均数的计算公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 18(8 分)“泰山松树园”计划购买甲、乙两种树苗共 6000 株，甲种树苗每株 0.5
31、元，乙种树苗每株 0.8 元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 90%和 95% （1）若购买这批树苗的钱不超过 4200 元，应如何选购树苗？ （2）若要使这批树苗的成活率不低于 93%，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 【分析】 （1）若设购买甲种树苗 x 株，则购买乙种树苗是（6000 x）株，由甲、乙树苗单株价格，根据购买这批树苗的钱不超过 4200 元，得到关于 x 的不等式，解不等式从而得到应该如何选购树苗 （2）根据成活率列出关于 x 的不等式，得到 x 的取值范围，再列出购买树苗总费用的函数关系，根据一次函数的性质，确定购买甲种树苗的株数 【解答】解： （1）
32、设购买甲种树苗 x 株，购买乙种树苗（6000 x）株， 由题意得：0.5x+0.8（6000 x）4200 解这个不等式，得：x2000 即购买甲种树苗应不少于 2000 株 （2）设购买树苗的总费用为 y，则 y0.5x+0.8（6000 x） 0.3x+4800 由题意，有 解得：x2400 在 y0.3x+4800 中 0.30，y 随 x 的增大而减少 当 x2400 时，y最小4080 即购买甲种树苗 2400 株，乙种树苗 3600 株时，总费用最低 19 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用及一次函数在生活中的应用能根据购买树苗总钱数、树苗成活率和一次函数的性质，列出不等式和
33、函数关系式，是确定如何选购树苗的关键 19(10 分)如图，矩形 ABCD，AB6，BC4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB、CD 边于点 E，F （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）当四边形 DEBF 是菱形时，求菱形的边长 【分析】 （1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定BOEDOF（ASA） ，得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 RtADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 DF 的长即可求得菱形的边长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， A90，ADBC4，ABDC，OBOD， OBE
34、ODF， BOEDOF（ASA） ， EOFO， 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）解：当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF， 设 BEx，则 DEx，AE6x， 在 RtADE 中，DE2AD2+AE2， x242+（6x）2， 解得：x， 菱形的边长为 【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 20(10 分)已知面积为 30 的菱形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，2） ，B（a，b） ，C（1，4） ，D（c，d） ，求 a，b，c，d 的值及菱形的周长 【分析】根据菱形的判定
35、和性质画出图形，利用图象即可解决问题 20 【 解 答 】 解 ： 菱 形 ABCD 如 图 所 示 由 图 象 可 知 a 6 ， b 1 ， c 4 d 1 ， 当 BD 互换位置时，c6，d1，a4b1； 菱形的周长4 【点评】本题考查菱形的判定和性质、坐标与图形等知识，解题的关键是正确画出图形，利用图象解决问题 21(12 分)如图，已知直线 ykx+b 与坐标轴分别交于点 A（0，8） 、B（8，0） ，动点 C 从原点 O 出发沿OA 方向以每秒 1 个单位长度向点 A 运动，动点 D 从点 B 出发沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度向点 O 运动，动点 C、D 同时出发，当动点
36、 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）直接写出直线的解析式： ； （2）若 E 点的坐标为（2，0） ，当OCE 的面积为 5 时 求 t 的值； 探索：在 y 轴上是否存在点 P，使PCD 的面积等于CED 的面积？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据运动的规律，找出点 C 的坐标，根据OCE 的面积为 5 利用三角形的面积公式即可得出关 21 于 t 的一元一次方程，解方程即可得出结论； 假设存在，设点 P 的坐标为（0，m） ，结合结论找出点 C、D 的
37、坐标，根据三角形面积相等结合三角形的面积公式即可得出关于 m 的含绝对值的一元一次方程，解方程即可得出结论 【解答】解： （1）将点 A（0，8） 、B（8，0）代入 ykx+b 中， 得：，解得：， 该直线的解析式为 yx+8 故答案为：yx+8 （2）由已知得：点 C（0，t） （0t8） ，点 E（2，0） ， OCt，OE2 SOCEOEOC2t5， t5 假设存在，设点 P 的坐标为（0，m） ，如图所示 由可知 t5，此时点 C（0，5） ，点 D（3，0） ， OC5，DE5，OD3 SDCEOCDE55，SDCPODPC3|m5| SDCESDCP， 3|m5|，即 3|m5|
38、25， 解得：m或 故当OCE 的面积为 5 时，在 y 轴存在点 P，使PCD 的面积等于CED 的面积，点 P 的坐标为（0，）或（0，） 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）得出关于 t 的一元一次方程；得出关于 m 的方程 3|m 22 5|25本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形面积间的关系结合三角形的面积公式找出方程是关键 22(12 分)已知ABC，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD，其中 ACAD （1）如图 1，若 AB 为边在ABC 外作ABE，ABAE
39、，DACEAB60，求BFC 的度数； （2）如图 2，ABC，ACD，BC4，BD6 若 30，60，AB 的长为 ； 若改变 、 的大小，且 +90，求ABC 的面积 【分析】 （1）根据 SAS，可首先证明AECABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出BFC 的度数； （2）在ABC 外作等边BAE，连接 CE，证明EACBAD，可证EBC90，ECBD6，在 RtBCE 中，由勾股定理求 BE 即可； 过点 B 作 BEAH，并在 BE 上取 BE2AH，连接 EA，EC并取 BE 的中点 K，连接 AK，证明EACBAD，求得 ECDB，利用勾股
40、定理即可得出结论 【解答】解： （1）AEAB，ADAC， EABDAC60， EACEAB+BAC，DABDAC+BAC， EACDAB， 在AEC 和ABD 中， AECABD（SAS） ， AECABD， BFCBEF+EBFAEB+ABE， BFCAEB+ABE120； （2）如图 2，以 AB 为边在ABC 外作正三角形 ABE，连接 CE 由（1）可知EACBAD 23 ECBD ECBD6， BAE60，ABC30， EBC90 在 RtEBC 中，EC6，BC4， EB2， ABBE2； 故答案为：2 如图 2，作 AHBC 交 BC 于 H，过点 B 作 BEAH，并在 BE
41、 上取 BE2AH，连接 EA，EC并取BE 的中点 K，连接 AK AHBC 于 H， AHC90 BEAH， EBC90 EBC90，BE2AH， EC2EB2+BC24AH2+BC2 K 为 BE 的中点，BE2AH， BKAH BKAH， 四边形 AKBH 为平行四边形 又EBC90， 四边形 AKBH 为矩形ABEACD， AKB90 AK 是 BE 的垂直平分线 ABAE ABAE，ACAD，ABEACD， EABDAC， EAB+EADDAC+EAD， 即EACBAD， 24 在EAC 与BAD 中， EACBAD（SAS） ECBD6 在 RtBCE 中，BE2， AHBE，
42、SABCBCAH2 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用关键是根据已知条件构造全等三角形 23(14 分)已知正方形 ABCD，点 E 在 AB 上，点 G 在 AD，点 F 在射线 BC 上，点 H 在 CD 上 （1）如图 1，DEFG，求证：BFAE+AG； （2）如图 2，DEDF，P 为 EF 中点，求证：BEPC； （3）如图 3，EH 交 FG 于 O，GOH45，若 CD4，BFDG1，则线段 EH 的长为 【分析】 （1）作 GMBC 于 M证DAEGMF，得 AEFM，AGBM所以 BFAE
43、+AG （2）作 EQCP 交 BC 于 Q证 EQ2CP，EQBE 可得 BECP （3）作 BMGF 交 AD 于 M，作 BNEH 交 CD 于 N，得 BMGF，BFMG1，BNEH，延长 DC 25 到 P，使 CPAM2，证BAMBCP 得ABMCBP，BMBP，再证MBNPBN 得 MNPN，设 CNx，则 MNPNCN+PCx+2，DN4x，在 RtDMN 中，由 DM2+DN2MN2求得 x，再在BCN 中利用勾股定理求解可得 【解答】解： （1）如图 1，过点 G 作 GMBC 于 M， 则GMBGMF90， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，AB90， 四边形 AB
44、MG 是矩形， AGBM， DEGF， ADE+DGFADE+AED90， AEDDGF， 又DGFMFG， AEDMFG， DAEGMF（AAS） ， AEMF， 则 BFBM+MFAG+AE； （2）如图 2，过点 E 作 EQPC，交 BC 于点 Q， 26 P 是 EF 的中点， PC 是EQF 的中位线， 则 EQ2PC，QCCF， ADCEDF90， ADECDF， 又ADCF90，ADCD， ADECDF（ASA） ， AECFQC， ABBC， BEBQ， 则BEQ45， EQBE， 则 2PCBE， BEPC； （3）如图 3 所示，作 BMGF 交 AD 于 M，作 BNE
45、H 交 CD 于 N， 则四边形 BFGM 和四边形 BEHN 是平行四边形， 27 BMGF，BFMG1，BNEH， DG1，CDAD4， AM2， 延长 DC 到 P，使 CPAM2， BABC，ABCP90， BAMBCP（SAS） ， ABMCBP，BMBP， GOH45，BNEH，BMGF， MBN45， ABM+CBN45， CBP+CBN45，即PBN45， MBNPBN（SAS） ， MNPN， 设 CNx，则 MNPNCN+PCx+2，DN4x， 在 RtDMN 中，由 DM2+DN2MN2可得 22+（4x）2（x+2）2， 解得 x， 则 EHBN， 故答案为： 【点评】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点
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