1、常州市常州市 20212021- -20222022 学年八年级上期中质量调研数学模拟试题学年八年级上期中质量调研数学模拟试题 B B 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1. 在 Rt ABC 中，90B，AD平分BAC， 交BC于点D，DEAC， 垂足为点E， 若3BD，则DE的长为( ) A 3 B 32 C 2 D 6 2. 如图：一块直角三角板的 60 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线 FD、GH 上，斜边AB 平分CAD，交直线 GH 于点 E，则ECB 的大小为( ) A60 B45 C30 D25 3. 如图，AD 是等腰三角形
2、ABC 的顶角平分线，BD5，则 CD 等于( ) A10 B5 C4 D3 4. 下列关于全等三角形的说法中，正确的是（ ） A周长相等的两个等边三角形全等 B周长相等的两个等腰三角形全等 C周长相等的两个直角三角形全等 D周长相等的两个钝角三角形全等 5. BDE 和 FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC内若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道( ) A ABC 的周长 B AFH 的周长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 6. 如图，在 AOB 和 COD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36 连接 AC，BD
3、 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36 ，ACBD，OM 平分AOD，MO 平分AMD其中正确的结论个数有( )个 A4 B3 C2 D1 7. 如图，在等腰 ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36 ，ABACa，BCb，则 CD( ) A B Cab Dba 8. 如图，Rt ABC 中，C90 ，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在CBA 内交于点 F；作射线 BF 交AC 于点 G若 CG1，P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为( ) A无法确定 B C1 D2 二、二、填空题填空
4、题(每空每空 2 分，共分，共 20 分分) 9. 如图，已知在 ABD 和 ABC 中，DABCAB，点 A、B、E 在同一条直线上，若使 ABDABC，则还需添加的一个条件是 (只填一个即可) 10. 等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 11. 如图，在 ABC 中，已知 AB2，ADBC，垂足为 D，BD2CD若 E 是 AD 的中点，则 EC 12. 如图，AD 是 ABC 的平分线，DFAB 于点 F，DEDG，AG16，AE8，若 S ADG64，则 DEF 的面积为 13. 若一个三角形的三边长为 ， ， ，当 _时，这个三角形是直角三角形，且斜边长
5、为 14. 如图，将分别含有30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65，则图中角的度数为_ 15. 一座桥横跨由西向东的一条河，桥长 24m，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头 10m，则小船实际行驶了 16. 如图， 是边长为 的等边三角形， 点 在 的延长线上， 做 ， 垂足为 ， 若 ，则 的长等于_. 17. 如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将 DAE， DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图2，此时 DA 与 DC 重合(A、C 都落在 G 点)，若 GF4，EG6，则 DG 的长为 18. 如图
6、，矩形 ABCD 中，AD12，AB8，E 是 AB 上一点，且 EB3，F 是 BC 上一动点，若将 EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 三、简答题三、简答题(共共 54 分分) 19. 请在网格中完成下列问题： （1）如图 1，网格中的 ABC 与 DEF 为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出 ABC 与 DEF 的对称轴直线 PQ； （2）如图 2，请在图中作出 ABC 关于直线 MN 对称的 ABC 20. 如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，ACBC （1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹 作出 AB 的垂直平分线
7、 MN，MN 分别与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E 过点 B 作 BF 垂直于 AE，垂足为 F （2）推理证明：求证 AC=BF 21. 如图，已知 ABAC，ADAE，BD 和 CE 相交于点 O (1)求证： ABDACE； (2)判断 BOC 的形状，并说明理由 22. 如图，在 ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，CBE45 ，BE 分别交 AC，AD 于点 E、F (1)如图 1，若 AB13，BC10，求 AF 的长度； (2)如图 2，若 AFBC，求证：BF2+EF2AE2 23. 如图，要在河边修建一个水泵，分别向张村 A 和李庄 B 送水，已知张村 A、李
8、庄 B 到河边的距离分别为 2 千米和 7 千米，且张、李二村相距 13 千米。 （1）水站应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵的位置； （2）如果铺设水管的工程费用为每千米 1500 元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少？ 24. 问题：如图，在 ABD 中，BABD在 BD 的延长线上取点 E，C，作 AEC，使 EAEC若BAE90 ，B45 ，求DAC 的度数 答案：DAC45 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，其余条件不变，那么DAC 的度数会改变吗？说明理由 (2)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，再将“BAE
9、90”改为“BAEn”，其余条件不变，求DAC 的度数 25. 问题背景： 如图 1， 在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，120ABC，60MBN，MBN绕 B 点旋转， 它的两边分别交AD、DC于 E、 F 探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE， 再证明BFCBFE， 可得出结论， 他的结论就是_； 探究延伸 1：如图 2，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，2ABCMBN ，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结
10、论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由 探究延伸 2： 如图 3， 在四边形ABCD中，BABC，180BADBCD，2ABCMBN ，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由 实际应用：如图 4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30的 A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 75 海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以 100 海里/小时的速度前进，1.2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处，且指挥中心观测两舰艇
11、视线之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离 26. 如图，已知 ABC 中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 2cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CPQ 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为_cm/s 时，在某一时刻也能够使 BPD 与 CPQ 全等（直接填空）； （2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动
12、速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 的三边运动求经过多少秒后，点 P 与点 Q 第一次相遇？并写出第二次相遇点在 ABC 的哪条边上. 常州市常州市 20212021- -20222022 学年八年级上期中质量调研数学模拟试题学年八年级上期中质量调研数学模拟试题 B B 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 27. 在 Rt ABC 中，90B，AD平分BAC，交BC于点D，DEAC，垂足为点E，若3BD，则DE的长为( ) A 3 B 32 C 2 D 6 【答案】A 【分析】DEAC，AED=B=90 ，AD 平分BAC，BAD=EAD， 又AD=
13、AD， ABDAED， DE=BE=3， 故选：A 28. 如图：一块直角三角板的 60 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线 FD、GH 上，斜边 AB 平分CAD，交直线 GH 于点 E，则ECB 的大小为( ) A60 B45 C30 D25 【答案】C 【解析】AB 平分CAD， CAD2BAC120 ， 又DFHG， ACE180 DAC180 120 60 ， 又ACB90 ， ECBACBACE90 60 30 ， 故选：C 29. 如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD5，则 CD 等于( ) A10 B5 C4 D3 【答案】B 【解析】AD 是等腰三角
14、形 ABC 的顶角平分线，BD5， CD5 故选：B 30. 下列关于全等三角形的说法中，正确的是（ ） A周长相等的两个等边三角形全等 B周长相等的两个等腰三角形全等 C周长相等的两个直角三角形全等 D周长相等的两个钝角三角形全等 【答案】A 【解析】A、周长相等的两个等边三角形全等，说法正确； B、周长相等的两个等腰三角形的对应边不一定相等，所以错误； C. 周长相等的两个直角三角形的对应边不一定相等，所以错误； D. 周长相等的两个钝角三角形的对应边不一定相等，所以错误； 31. BDE 和 FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC内若求五边形 DECH
15、F 的周长，则只需知道( ) A ABC 的周长 B AFH 的周长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 【答案】A 【解析】GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60 ， AHF+GHC120 ， ABC 为等边三角形， ABBCAC，ACBA60 ， GHC+HGC120 ， AHFHGC， AFHCHG(AAS)， AFCH BDE 和 FGH 是两个全等的等边三角形， BEFH， 五边形 DECHF 的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF， (BD+DF+AF)+(CE+BE)， AB+BC 只需知道 ABC 的周长即可 故选：A 32.
16、如图，在 AOB 和 COD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36 连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36 ，ACBD，OM 平分AOD，MO 平分AMD其中正确的结论个数有( )个 A4 B3 C2 D1 【答案】B 【解析】AOBCOD36 ， AOB+BOCCOD+BOC， 即AOCBOD， 在 AOC 和 BOD 中， AOCBOD(SAS)， OCAODB，ACBD，故正确； OCAODB， 由三角形的外角性质得： CMD+OCACOD+ODB， 得出CMDCOD36 ，AMBCMD36 ，故正确； 作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所
17、示， 则OGAOHB90 ， 在 OGA 和 OHB 中， ， OGAOHB(AAS)， OGOH， OM 平分AMD，故正确； 假设 OM 平分AOD，则DOMAOM， 在 AMO 与 DMO 中， ， AMOOMD(ASA)， AOOD， OCOD， OAOC， 而 OAOC，故错误； 正确的个数有 3 个； 故选：B 33. 如图，在等腰 ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36 ，ABACa，BCb，则 CD( ) A B Cab Dba 【答案】C 【解析】在等腰 ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36 ， ABCC2ABD72 ， ABD36 A， BDAD， BDCA+
18、ABD72 C， BDBC， ABACa，BCb， CDACADab， 故选：C 34. 如图，Rt ABC 中，C90 ，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在CBA 内交于点 F；作射线 BF 交AC 于点 G若 CG1，P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为( ) A无法确定 B C1 D2 【答案】C 【解析】如图，过点 G 作 GHAB 于 H 由作图可知，GB 平分ABC， GHBA，GCBC， GHGC1， 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为 1， 故选：C 三、三、填空题填空题(每空每空
19、 2 分，共分，共 20 分分) 35. 如图，已知在 ABD 和 ABC 中，DABCAB，点 A、B、E 在同一条直线上，若使 ABDABC，则还需添加的一个条件是 (只填一个即可) 【答案】见解析 【解析】DABCAB，ABAB， 当添加 ADAC 时，可根据“SAS”判断 ABDABC； 当添加DC 时，可根据“AAS”判断 ABDABC； 当添加ABDABC 时，可根据“ASA”判断 ABDABC 故答案为 ADAC(DC 或ABDABC 等) 36. 等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 【答案】10 或 11 【解析】3 是腰长时，三角形的三边分别为
20、3、3、4， 此时能组成三角形， 周长3+3+410； 3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长3+4+411 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11 故答案为：10 或 11 37. 如图，在 ABC 中，已知 AB2，ADBC，垂足为 D，BD2CD若 E 是 AD 的中点，则 EC 【答案】1 【解析】设 AEEDx，CDy， BD2y， ADBC， ADBADC90 ， 在 Rt ABD 中， AB24x2+4y2， x2+y21， 在 Rt CDE 中， EC2x2+y21， EC1， 故答案为：1 38. 如图，AD 是 ABC 的平
21、分线，DFAB 于点 F，DEDG，AG16，AE8，若 S ADG64，则 DEF 的面积为 【答案】16 【解析】过 D 点作 DHAC 于 H， S ADG64， 1/2 AG DH64， DH=264/168， AD 是 ABC 的平分线，DFAB，DHAC， DFDH8， 在 Rt DEF 和 Rt DGH 中， Rt DEFRt DGH（HL）， EFHG， 同理可得 Rt ADFRt ADH， AFAH， EFAFAEAHAEAGHGAE16EF8， EF4， S DEF1/2 EF DF1/2 4 816 故答案为 16 39. 若一个三角形的三边长为 ， ， ，当 _时，这个
22、三角形是直角三角形，且斜边长为 【答案】14 【解析】根据勾股定理逆定理可得：（m+1）2+82=（m+3）2，再解出 m 的值即可 由题意得：（m+1）2+82=（m+3）2， 解得：m=14， 故答案为：14 40. 如图，将分别含有30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65，则图中角的度数为_ 【答案】140 【解答】如图， 30BQ，65DCB， 306595DFBBDCB ， 4595140DDFB ， 故答案为：140 41. 一座桥横跨由西向东的一条河，桥长 24m，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头 10
23、m，则小船实际行驶了 【答案】26m 【解析】小船要行驶的路程为向南行驶了 24 米，偏离桥北头的距离为与桥的方向垂直的方向， 即 AB=24 米，BC=10 米， 在直角 ABC 中，AC 2 =AB 2 +BC 2 ， 所以实际行驶的路程为 AC=26（米） 故答案为：26m 42. 如图， 是边长为 的等边三角形， 点 在 的延长线上， 做 ， 垂足为 ， 若 ，则 的长等于_. 【答案】1 【解答】 解： 是等边三角形， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， . 故答案为： . 43. 如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将 DAE， DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到
24、图2，此时 DA 与 DC 重合(A、C 都落在 G 点)，若 GF4，EG6，则 DG 的长为 【答案】12 【解析】设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折及已知线段的长，可用含 x 的式子分别表示出 BE、BF 及 EF 的长；在 Rt BEF 中，由勾股定理得关于 x 的方程，解得 x 的值，即为DG 的长 解：设正方形 ABCD 的边长为 x，由翻折可得： DGDADCx， GF4，EG6， AEEG6，CFGF4， BEx6，BFx6，EF6+410，如图 1 所示： 在 Rt BEF 中，由勾股定理得： BE2+BF2EF2， (x6)2+(x4)2102， x212x+36+x
25、28x+16100， x210 x240， (x+2)(x12)0， x12(舍)，x212 DG12 故答案为：12 44. 如图，矩形 ABCD 中，AD12，AB8，E 是 AB 上一点，且 EB3，F 是 BC 上一动点，若将 EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 【答案】10 【解答】解：如图，连接 PD，DE， 四边形 ABCD 是矩形， A90 ， AB8，BE3， AE5， AD12， DE 13， 由折叠得：EBEP3， EP+DPED， 当 E、P、D 共线时，DP 最小， DPDEEP13310； 故答案为：10 三、简答题三
26、、简答题(共共 54 分分) 45. 请在网格中完成下列问题： （1）如图 1，网格中的 ABC 与 DEF 为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出 ABC 与 DEF 的对称轴直线 PQ； （2）如图 2，请在图中作出 ABC 关于直线 MN 对称的 ABC 【答案】见解析 【解析】 46. 如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，ACBC （1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹 作出 AB 的垂直平分线 MN，MN 分别与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E 过点 B 作 BF 垂直于 AE，垂足为 F （2）推理证明：求证 AC=BF 【答案】（1）见解析；见解析；（
27、2）见解析 【解析】 （1）： 如图直线 MN，BF 就是所要求的作的图形 （2）证明：MN 垂直平分 AB， AE=BE BFAE，垂足为 F， 90BFEACE BEFAEC， BEFAEC AC=BF 47. 如图，已知 ABAC，ADAE，BD 和 CE 相交于点 O (1)求证： ABDACE； (2)判断 BOC 的形状，并说明理由 【答案】见解析 【解答】证明：(1)ABAC，BADCAE，ADAE， ABDACE(SAS)； (2) BOC 是等腰三角形， 理由如下： ABDACE， ABDACE， ABAC， ABCACB， ABCABDACBACE， OBCOCB， BOC
28、O， BOC 是等腰三角形 48. 如图，在 ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，CBE45 ，BE 分别交 AC，AD 于点 E、F (1)如图 1，若 AB13，BC10，求 AF 的长度； (2)如图 2，若 AFBC，求证：BF2+EF2AE2 【解答】(1)7；(2)见解析 【解析】如图 1，ABAC，ADBC， BDCD， BC10， BD5， Rt ABD 中，AB13， ， Rt BDF 中，CBE45 ， BDF 是等腰直角三角形， DFBD5， AFADDF1257； (2)证明：如图 2，在 BF 上取一点 H，使 BHEF，连接 CH， 在 CHB 和 AEF 中
29、， ， CHBAEF(SAS)， AECH，AEFBHC， CEFCHE， CECH， BDCD，FDBC， CFBF， CFDBFD45 ， CFB90 ， EFFH， Rt CFH 中，由勾股定理得：CF2+FH2CH2， BF2+EF2AE2 49. 如图，要在河边修建一个水泵，分别向张村 A 和李庄 B 送水，已知张村 A、李庄 B 到河边的距离分别为 2 千米和 7 千米，且张、李二村相距 13 千米。 （1）、水站应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵的位置； （2）、如果铺设水管的工程费用为每千米 1500 元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用
30、为多少？ 【答案】见解析 【解析】 （1）作点 A 关于河边所在直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于 P，则点 P 为水泵站的位置，此时，PA+PB 的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过 B 点作 l 的垂线，过 A作 l 的平行线，设这两线交于点 C，则C=90 又过 A 作 AEBC 于 E，依题意 BE=5，AB=13， AE 2 =AB 2 -BE 2 =13 2 -5 2 =144 AE=12由平移关系，AC=AE=12， Rt B AC 中， BC=7+2=9， AC=12， AB=AC 2 +BC 2 =9 2 +12 2 =225 ， AB=15 PA=PA，
31、 PA+PB=AB=15 1500 15=22500（元） 50. 问题：如图，在 ABD 中，BABD在 BD 的延长线上取点 E，C，作 AEC，使 EAEC若BAE90 ，B45 ，求DAC 的度数 答案：DAC45 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，其余条件不变，那么DAC 的度数会改变吗？说明理由 (2)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，再将“BAE90”改为“BAEn”，其余条件不变，求DAC 的度数 【答案】见解析 【解析】(1)DAC 的度数不会改变； EAEC， AED2C， BAE90 ， BAD 180 (90 2C)45 +C， DAE90
32、BAD90 (45 +C)45 C， 由，得，DACDAE+CAE45 ； (2)设ABCm ， 则BAD (180 m )90 m ，AEB180 n m ， DAEn BADn 90 m ， EAEC， CAE AEB90 n m ， DACDAE+CAEn 90 m +90 n m n 51. 问题背景： 如图 1， 在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，120ABC，60MBN，MBN绕 B 点旋转， 它的两边分别交AD、DC于 E、 F 探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE， 再
33、证明BFCBFE， 可得出结论， 他的结论就是_； 探究延伸 1：如图 2，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，2ABCMBN ，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由 探究延伸 2： 如图 3， 在四边形ABCD中，BABC，180BADBCD，2ABCMBN ，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由 实际应用：如图 4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30的 A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70的 B 处，并
34、且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 75 海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以 100 海里/小时的速度前进，1.2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离 【答案】EF=AE+CF探究延伸 1：结论 EF=AE+CF 成立探究延伸 2：结论 EF=AE+CF 仍然成立实际应用：210 海里 【解析】延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，可得 BG=BE，CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得 GF=EF，即可解题； 探究延伸 1：延长FC到 G
35、，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，可得 BG=BE，CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得 GF=EF，即可解题； 探究延伸 2：延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，可得 BG=BE，CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得 GF=EF，即可解题； 实际应用：连接 EF，延长 AE，BF 相交于点 C，然后与探究延伸 2 同理可得 EF=AE+CF，将AE 和 CF 的长代入即可 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长FC到 G，使CGAE，连接BG， 在 BCG 和 BAE 中， 90BCBABCGBAECGAE ，BCGBAE(SAS)，BG=BE，CB
36、G=ABE， ABC=120 ，MBN=60 ，ABE+CBF=60 ，CBG+CBF=60 ， 即GBF=60 ，在 BGF 和 BEF 中， BGBEGBFEBFBFBF，BGFBEF(SAS)，GF=EF， GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF 探究延伸 1：结论 EF=AE+CF 成立 理由：延长FC到 G，使CGAE，连接BG， 在 BCG 和 BAE 中， 90BCBABCGBAECGAE ，BCGBAE(SAS)， BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=12ABC， CBG+CBF=12ABC，即GBF=12ABC， 在 BGF 和 BEF 中，
37、 BGBEGBFEBFBFBF，BGFBEF(SAS)，GF=EF， GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF 探究延伸 2：结论 EF=AE+CF 仍然成立 理由：延长FC到 G，使CGAE，连接BG， 180BADBCD，BCG+BCD=180 ，BCG=BAD 在 BCG 和 BAE 中， BCBABCGBAECGAE ，BCGBAE(SAS)，BG=BE，CBG=ABE， ABC=2MBN，ABE+CBF=12ABC，CBG+CBF=12ABC， 即GBF=12ABC，在 BGF 和 BEF 中， BGBEGBFEBFBFBF，BGFBEF(SAS)，GF=EF，GF=CG+CF
38、=AE+CF， EF=AE+CF 实际应用：连接 EF，延长 AE，BF 相交于点 C， AOB=30 +90 +(90 -70 )=140 ，EOF=70 ，EOF=12AOB OA=OB，OAC+OBC=(90 -30 )+(70 +50 )=180 ，符合探索延伸中的条件 结论 EF= AE+CF 仍然成立即 EF=751.2+1001.2=210(海里) 答：此时两舰艇之间的距离为 210 海里 52. 如图，已知 ABC 中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 2cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在
39、线段 CA 上由点 C 向点 A 运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CPQ 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为_cm/s 时，在某一时刻也能够使 BPD 与 CPQ 全等（直接填空）； （2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 的三边运动求经过多少秒后，点 P 与点 Q 第一次相遇？并写出第二次相遇点在 ABC 的哪条边上. 【答案】见解析 【解析】 （1）经过 1s，BP=3cm，CQ=3cm。此时，DB=PC=5cm，BP=CQ，DBP=PCQ 所以 DBPPCQ。 P、Q 速度不等， BPCQ 因为 BPD 与 CQP 全等，B=C， PB=PC=4cm；CQ=BD=6cm 点 P，Q 运动时间为 2s， Q 的速度为 6 2=3m/s （2）设经过 t 秒后，PQ 第一次相遇，由题得 3t-2t=24,t=24, 24 3=72 ABC 周长 32 第一次相遇在 AC 边上； 再经过 32 秒，PQ 第二次相遇，此时 P 走了 56 秒，112cm 由 112=32 3+16 经过 56 秒，PQ 第二次相遇在 AC 边上
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