2021年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（二）含答案解析

1、2021 年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（二）年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（二） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1的算术平方根是（ ） A B C D 2如图，这是一个由 2 个大小不一样的圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A B C D 3如图，直线 AC 和直线 BD 相交于点 O，OE 平分BOC若1+280，则3 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 4 如图， 点 A 是 y 关于 x 的函数图象上一点， 当点 A 沿图

2、象运动， 横坐标增加 4 时， 相应的纵坐标 （ ） A减少 1 B减少 2 C增加 1 D减少 3 5计算的结果是（ ） A4m2n6 Bm2n4 Cm2n4 Dm5n4 6如图，在等腰ABC 中，ABBC4，ABC45，F 是高 AD 和高 BE 的交点，则线段 DF 的长度为（ ） A2 B2 C42 D 7如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的点 A 和点 C 分别落在 x 轴和 y 轴正半轴上，AO4，直线 l：y3x+2 经过点 C， 将直线 l 向下平移 m 个单位， 设直线可将矩形 OABC 的面积平分， 则 m 的值为 （ ） A7 B6 C4 D8 8如图，ABCD

3、的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且OCD90若 E 是 BC 边的中点，BD10，AC6，则 OE 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 9如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC4，BD 为O 的直径，则O 的半径为（ ） A4 B6 C8 D12 10抛物线 yx2+bx+2 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A1t5 Bt1 C5t10 D1t10 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11在，3.14，3，中

4、，无理数有 个 12如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 的长分别为 13如图，点 A，B 为反比例函数 y在第一象限上的两点，ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，若 B 点的横坐标是 A 点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为 k2，则 k 的值为 14如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC9，M 为 BC 上一点，连接 MA，将线段 MA 绕点 M 顺时针 90得到线段 MN，连接 CN、DN，则 CN+DN 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15计算：（1）20

5、21+2cos30 16计算：（） 17如图，在ABC 中，ABAC，A40，请利用尺规作图法在边 AC 上求作一点 D，使DBC35（保留作图痕迹，不写作法） 18如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M、N 分别在 AB、AD 上，且 BMDN，MGAD，NFAB，点 G、F 分别在 CD、BC 上，MG 与 NF 相交于点 E 求证：MENE 19教育部日前发出通知，进一步加强中小学生睡眠管理工作，为保证中小学生享有充足的睡眠时间，必须切实减轻学生课业负担某中学为调查本校学生平均每天做作业所用时间的情况， 随机调查了 50 名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息

6、，解答下列问题 （1）所调查学生平均每天做作业所用时间的中位数是 小时，并补全条形统计图； （2）求所调查学生平均每天做作业所用时间的平均数； （3）若该校共有 1200 名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天做作业时间少于 3 小时的学生共有多少名？ 20如图，已知雕塑底座 AB 为 12.8 米，小军及其小组成员想利用所学知识测量塑像的高度 BE，测量方法如下：在地面上的点 C 处测得塑像顶端 E 的仰角为 60，从点 C 走到点 D，测得 CD7.2 米，从点 D测得塑像底端 B 的仰角为 45，已知点 A、B、E 在同一条垂直于地面的直线上，点 C、D、A 在一条直线上请你根

7、据以上信息，求塑像的高度 BE（参考数据：1.41，1.73） 21某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称： 手账本） ， 已知档案袋 10 元/个， 手账本 15 元/本， 经了解， 厂家有两种优惠方案： 方案一，购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过 20 个时，每个都按九折优惠，超过 20 个时，超过部分每个按七折优惠；方案二，档案袋和手账本都按原价的八折优惠若该公司购买 x 个档案袋，10 本手账本 （1）请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用 y（元）与 x（个）之间的函数关系式；（2）若该公司决定购买档案袋

8、 30 个，请你通过计算，在两种方案中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种 22为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校团委将举办文艺演出小明和小亮计划结伴参加该文艺演出小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目他们想通过做游戏来决定参加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，分别把转盘 A，B 分成 4 等份和 5 等份，并在每一份内标上数字游戏规则是：小明转动 A 转盘，同时小亮转动 B 转盘，当两个转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘 （1）求 A 转盘停止后，

9、指针指向奇数的概率； （2）请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？ 23 如图， 在ABC 中， ABAC， 以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D， 过点 D 作O 的切线 DE 交 AB 于 E （1）求证：DEAB； （2）如果 tanB，O 的直径是 5，求 AE 的长 24如图，已知抛物线 yax2+bx（a0）过点 B（1，3）和点 A（4，0），过点 B 作直线 BCx 轴，交 y轴于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，过点 P 作直线 BC 的垂线，垂足为

10、D连接 OB，是否存在点 P，使得以 B，D，P 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出对应点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25问题探究： （1） 如图 1， ABCD， AC 与 BD 交于点 E， 若ABE 的面积为 16， AE2CE， 则CDE 的面积为 ；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，连接 AC，BEAC 于点 E，已知 BE3，求矩形 ABCD 面积的最小值； 问题解决： （3） 某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场， 已知AB300米，A60，广场入口 P 在 AB 上，且 BP2AP根据规划，过点 P 铺设两条夹角为 120的

11、笔直小路PM、PN（即MPN120），点 M、N 分别在边 AD、BC 上（包含端点）PAM 区域拟建为健身广场，PBN 区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪已知建健身广场每平方米需 0.8 万元，建儿童乐园每平方米需 0.2 万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号） 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1的算术平方根是（ ） A B C D 【分析】利用算术平方根的定义求解即可 解：， 的算术的平方根是 故选

12、：D 2如图，这是一个由 2 个大小不一样的圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示 解：从上面看可得两个同心圆 故选：B 3如图，直线 AC 和直线 BD 相交于点 O，OE 平分BOC若1+280，则3 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到BOC 的度数，再根据角平分线即可得出3 的度数 解：12，1+280， 1240， BOC140， 又OE 平分BOC， 3140270 故选：D 4 如图， 点 A 是 y 关于 x 的函数图象上一点， 当点 A 沿图

13、象运动， 横坐标增加 4 时， 相应的纵坐标 （ ） A减少 1 B减少 2 C增加 1 D减少 3 【分析】由函数图象可知 A 点坐标，再将 A 点横坐标增加 4，找出此时对应点的坐标，比较 A 点前后的纵坐标即可 解：由函数图象可知 A 点坐标为（2，4），当 A 点横坐标增加 4 时，对应点坐标为（2，1）， 纵坐标增加 143，即减少 3 故选：D 5计算的结果是（ ） A4m2n6 Bm2n4 Cm2n4 Dm5n4 【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案 解：原式m2n6n2 m2n4 故选：C 6如图，在等腰ABC 中，ABBC4，ABC45，F

14、是高 AD 和高 BE 的交点，则线段 DF 的长度为（ ） A2 B2 C42 D 【分析】根据已知的条件可证明BDFADC，即可推出 DFCD 解决问题 解：ADBC， ADB90， ABC45， ABDDAB， BDAD， CAD+AFE90，CAD+C90，AFEBFD， AFEC， AFEBFD， CBFD， 在BDF 和ADC 中， ， BDFADC（AAS）， DFCD， ABBC4， BD， DFCD4， 故选：C 7如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的点 A 和点 C 分别落在 x 轴和 y 轴正半轴上，AO4，直线 l：y3x+2 经过点 C， 将直线 l 向下平移

15、 m 个单位， 设直线可将矩形 OABC 的面积平分， 则 m 的值为 （ ） A7 B6 C4 D8 【分析】首先连接 AC、BO，交于点 D，当 y3x+2 经过 D 点时，该直线可将矩形 OABC 的面积平分，然后计算出过 D 且平行直线 y3x+2 的直线解析式，从而可得直线 y3x+2 要向下平移 6 个单位，进而可得答案 解：连接 AC、BO，交于点 D， 在直线 y3x+2 中， 当 x0 时，y2， C 点坐标为（0，2）， 又OA4， B（4，2）， 当 y3x+2 经过 D 点时，该直线可将矩形 OABC 的面积平分； AC，BO 是矩形 OABC 的对角线， ODBD，

16、O（0，0），B（4，2）， D（2，1）， 将直线 l 向下平移 m 个单位， 则平移后直线的解析式为 y3x+2m， D（2，1）， 132+2m， 解得 m7， 故选：A 8如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且OCD90若 E 是 BC 边的中点，BD10，AC6，则 OE 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 【分析】根据平行四边形的性质得出 OA3，OB5，进而利用勾股定理得出 AB 的长，利用三角形中位线得出 OE 即可 解：四边形 ABCD 是平行四边形，BD10，AC6， OA3，OB5，ABDC， OCD90， BAO90， AB， E 是 BC

17、 边的中点，OAOC， 2OEAB， OE2， 故选：B 9如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC4，BD 为O 的直径，则O 的半径为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】连接 OA，由等腰三角形的性质得出CABC，证明AOB 为等边三角形，由等边三角形的性质得出 OAAB4，则可得出答案 解：连接 OA， ABAC， CABC， BAC120， C30， BOA2C60， OAOB， AOB 为等边三角形， OAAB4， 则O 的半径为 4 故选：A 10抛物线 yx2+bx+2 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2t0（t 为实数）在1x4 的范围内

18、有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A1t5 Bt1 C5t10 D1t10 【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出 b2，则可把关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根转化为抛物线 yx22x+2t（t 为实数）在1x4 的范围与 x轴有交点（如图），结合图象和判别式的意义得到（2）24（2t）0 且 x4 时，y0，即 168+2t0，然后求出两不等式的公共部分即可 解：抛物线 yx2+bx+2 的对称轴为直线 x1， 1，解得 b2， 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2t0 变形为 x22x+2t0， 把关于 x 的一元二次方程 x2+b

19、x+2t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根转化为抛物线 yx22x+2t（t 为实数）在1x4 的范围与 x 轴有交点（如图）， （2）24（2t）0 且 x4 时，y0，即 168+2t0， 解得 1t10 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11在，3.14，3，中，无理数有 2 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数 解：3.14 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有，

20、共 2 个 故答案为：2 12如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 的长分别为 2 【分析】连接 OC、OB，证出BOC 是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可 解：如图所示，连接 OC、OB 多边形 ABCDEF 是正六边形， BOC60， OAOB， BOC 是等边三角形， OBM60， OMOBsinOBM42， 故答案为：2 13如图，点 A，B 为反比例函数 y在第一象限上的两点，ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，若 B 点的横坐标是 A 点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为 k2，则 k 的值为 【分析】根据反比例函数图象上

21、点的坐标特征，设 B（t，），则可表示出 A（2t，），由三角形中位线定理，EMODt，ENOC，然后根据三角形面积公式得到关于 k 的方程，解此方程即可 解：设 B（t，）， ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，B 点的横坐标是 A 点横坐标的一半， A（2t，）， 根据三角形中位线定理，EMODt，ENOC， 阴影部分的面积EMBE+k2， +tk2 解得，k， 故答案为 14如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC9，M 为 BC 上一点，连接 MA，将线段 MA 绕点 M 顺时针 90得到线段 MN，连接 CN、DN，则 CN+DN 的最小值为 【分析】在 BC 上取一点 H，使得

22、 BHBA，连接 AH，HN证明HTC45，推出点 N 的运动轨迹是射线 HN，设射线 HN 交 CD 的延长线于 T，作点 D 关于 NH 的对称点 J，连接 CJ 交 HT 于 O，连接OD当点 N 与 O 重合时，OC+ODOC+OJCJ，此时 CN+DN 的值最小 解：在 BC 上取一点 H，使得 BHBA，连接 AH，HN ABH，AMN 都是等腰直角三角形， AHAB，ANAM，BAHMAN45， ，BAMHAN， BAMHAN， AHNB90， AHB45， NHC45， 点 N 的运动轨迹是射线 HN，设射线 HN 交 CD 的延长线于 T，作点 D 关于 NH 的对称点 J，

23、连接 CJ交 HT 于 O，连接 OD 当点 N 与 O 重合时，OC+ODOC+OJCJ，此时 CN+DN 的值最小， ABCD4，BH4，BC9， CHCT5，DTTJ1， CTHHTJ45， CTJ90， CJ， 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15计算：（1）2021+2cos30 【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可 解：（1）2021+2cos30 14+22 5+2 5+ 16计算：（） 【分析】先算括号内的减法，同时把除法变

24、成乘法，最后算乘法即可 解：原式 17如图，在ABC 中，ABAC，A40，请利用尺规作图法在边 AC 上求作一点 D，使DBC35（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ABC70，然后作ABC 的平分线交 AC 于D 解：如图，点 D 为所作 18如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M、N 分别在 AB、AD 上，且 BMDN，MGAD，NFAB，点 G、F 分别在 CD、BC 上，MG 与 NF 相交于点 E 求证：MENE 【分析】 先证四边形 AMEN 是平行四边形， 由菱形的性质可得 ABAD， 可得 AMAN， 可证四边形 AMEN是菱形，可得

25、 MENE 【解答】证明：MGAD，NFAB， 四边形 AMEN 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ABAD， BMDN， ABBMADDN， AMAN， 四边形 AMEN 是菱形， MENE 19教育部日前发出通知，进一步加强中小学生睡眠管理工作，为保证中小学生享有充足的睡眠时间，必须切实减轻学生课业负担某中学为调查本校学生平均每天做作业所用时间的情况， 随机调查了 50 名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题 （1）所调查学生平均每天做作业所用时间的中位数是 3 小时，并补全条形统计图； （2）求所调查学生平均每天做作业所用时间的平均数；

26、 （3）若该校共有 1200 名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天做作业时间少于 3 小时的学生共有多少名？ 【分析】（1）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数做作业所用时间的中位数； 根据总人数是 50 人， 减去其他各项人数即可得出平均每天做作业时间为 4 小时的人数，即可补全条形统计图； （2）理由加权平均数公式计算即可； （3）根据以上调查结果即可估计该校全体学生每天做作业时间少于 3 小时的学生人数 解：（1）由题意可知，把 50

27、名同学生平均每天做作业时间从小到大排列，排在中间的两个数均为 3，所以所调查学生平均每天做作业所用时间的中位数是 3 小时； 被调查了 50 名同学平均每天做作业时为 4 小时的人数为：506121688（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：3； （2）1200432（人） 答：该校全体学生平均每天做作业时间少于 3 小时的学生约有 432 名 20如图，已知雕塑底座 AB 为 12.8 米，小军及其小组成员想利用所学知识测量塑像的高度 BE，测量方法如下：在地面上的点 C 处测得塑像顶端 E 的仰角为 60，从点 C 走到点 D，测得 CD7.2 米，从点 D测得塑像底端 B 的仰角为

28、45，已知点 A、B、E 在同一条垂直于地面的直线上，点 C、D、A 在一条直线上请你根据以上信息，求塑像的高度 BE（参考数据：1.41，1.73） 【分析】由等腰直角三角形的性质得出 ADAB12.8 米，解直角三角形求出 AE20tan6020（米），则可求出 BE 解：由题意得，在 RtABD 中，ADB45， ADAB12.8 米， CD7.2 米， ACAD+CD12.8+7.220（米）， 在 RtACE 中ACE60，AC20 米， AE20tan6020（米）， AB12.8 米， BEAEAB（2012.8）米， 1.73， BE1.732012.821.8 米 即塑像 B

29、E 的高度为 21.8 米 21某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称： 手账本） ， 已知档案袋 10 元/个， 手账本 15 元/本， 经了解， 厂家有两种优惠方案： 方案一，购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过 20 个时，每个都按九折优惠，超过 20 个时，超过部分每个按七折优惠；方案二，档案袋和手账本都按原价的八折优惠若该公司购买 x 个档案袋，10 本手账本 （1）请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用 y（元）与 x（个）之间的函数关系式；（2）若该公司决定购买档案袋 30 个，请你通过计算，在两种方案

30、中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种 【分析】 （1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用 y（元）与 x（个）之间的函数关系式； （2）将 x30 代入（1）中相应的函数解析式，求出两种方案下的花费情况，然后比较大小，即可得到选择哪个方案所花总费用较少 解：（1）由题意可得， 方案一：当 0 x20 时，y10 x0.9+15109x+150， 当 x20 时，y100.7（x20）+100.920+15107x+190， 即 y； 方案二：y（10 x+1510）0.88x+120； （2）当 x30 时， 方案一的花费为：730+19040

31、0（元）， 方案二的花费为：830+120360（元）， 400360， 在两种方案中，选择方案二 22为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校团委将举办文艺演出小明和小亮计划结伴参加该文艺演出小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目他们想通过做游戏来决定参加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，分别把转盘 A，B 分成 4 等份和 5 等份，并在每一份内标上数字游戏规则是：小明转动 A 转盘，同时小亮转动 B 转盘，当两个转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘 （

32、1）求 A 转盘停止后，指针指向奇数的概率； （2）请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？ 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与之积为奇数、偶数的情况数，再利用概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案 解：（1）因为 A 转盘被平均分成 4 等份，分别是 1，2，3，5， 所以指针指向奇数的概率； （2）根据题意画图如下： 共有 20 种等可能的情况数，其中两个转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数的有 9 种，数字之积为偶数的有 11 种， 则小明的想法参

33、加唱红歌节目的概率是，小亮的想法参加朗诵节目概率是， ， 这个游戏规则对小明、小亮双方不公平 23 如图， 在ABC 中， ABAC， 以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D， 过点 D 作O 的切线 DE 交 AB 于 E （1）求证：DEAB； （2）如果 tanB，O 的直径是 5，求 AE 的长 【分析】 （1） 连接 AD， OD， 根据圆周角定理得到 ADBC， 根据等腰三角形的性质得到BADODA，推出 ABOD，根据切线的性质即可得到结论； （2）设 ADk，BD2k，根据勾股定理得到 ABk，求得 AD，BD2，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论 【解答】（1）证明

34、：连接 AD，OD， AC 为O 的直径， ADBC， ABAC， BADCAD， OAOD， OADODA， BADODA， ABOD， DE 是O 的切线， ODDE， DEAB； （2）解：tanB， 设 ADk，BD2k， ABk， ABAC5， k， AD，BD2， SABDABDEADBD， DE2， AE1 24如图，已知抛物线 yax2+bx（a0）过点 B（1，3）和点 A（4，0），过点 B 作直线 BCx 轴，交 y轴于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，过点 P 作直线 BC 的垂线，垂足为 D连接 OB，是否存在点 P

35、，使得以 B，D，P 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出对应点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2） 先设出点 P 的坐标， 分点 P 在 B 的左侧和右侧两种情况讨论， 利用相似三角形的性质即可求出点 P的坐标 解：（1）把点 A，B 代入抛物线的解析式， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+4x； （2）若点 P 在点 B 的左侧，如下图， 设点 P（x，x2+4x）， 以 B，D，P 为顶点的三角形与BOC 相似， 或， 或， 解得 x0 或 x1 或 x， 当 x1 时，P 与 B 重合，故 x1 舍去， x0

36、或 x， 当 x0 时，y0，当 x时，y， 点 P 的坐标为（0，0）或（，）， 若点 P 在点 B 的右侧，如下图， 以 B，D，P 为顶点的三角形与BOC 相似， 或， 或， 解得 x1 或 x6 或 x， 当 x1 时，P 与 B 重合，故舍去， 当 x6 时，y12，当 x，y， P 的坐标为（6，12）或（，）， 综上，点 P 的坐标为（0，0）或（，）或（6，12）或（，） 25问题探究： （1） 如图 1， ABCD， AC 与 BD 交于点 E， 若ABE 的面积为 16， AE2CE， 则CDE 的面积为 4 ；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，连接 AC，BEAC 于

37、点 E，已知 BE3，求矩形 ABCD 面积的最小值； 问题解决： （3） 某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场， 已知AB300米，A60，广场入口 P 在 AB 上，且 BP2AP根据规划，过点 P 铺设两条夹角为 120的笔直小路PM、PN（即MPN120），点 M、N 分别在边 AD、BC 上（包含端点）PAM 区域拟建为健身广场，PBN 区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪已知建健身广场每平方米需 0.8 万元，建儿童乐园每平方米需 0.2 万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号） 【分析】（1）利用相似三

38、角形的性质求解即可 （2）如图 2 中，设 AEx，ECyS矩形ABCD2SABCBE3AC3（x+y），求出 x+y 的最小值，可得结论 （3） 如图 3 中， 延长 CB 到 T， 使得 BTBP， 连接 PT， 设 AMx 证明PAMNTP， 推出，可得 BN200，设总费用 W 万元，则 W0.8x10+0.2（200）20060 x+6000，求出 W 的最小值，可得结论 解：（1）如图 1 中， ABCD， ABECDE， （）24， SABE16， SCDE4 故答案为：4 （2）如图 2 中，设 AEx，ECy 四边形 ABCD 是矩形，BEAC， S矩形ABCD2SABCBE

39、3AC3（x+y）， x+y 的值最大时，矩形的面积最小， AEBBECABC90， ABE+CBE90，BCE+CBE90， ABEBCE， AEBBEC， ， BE2AEEC， xy9， （xy）20， x2+y22xy， x2+2xy+y24xy （x+y）24xy， （x+y）236， x+y6 （3）如图 3 中，延长 CB 到 T，使得 BTBP，连接 PT，设 AMx 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， A+ABC180， A60， ABC120， BPBT，PBT60， PBT 是等边三角形， PBBTPT， AB300米， PA100（米），PB200（米）， PTBT200（米）， APNAPM+MPNPBN+PNB，MPNPBN120， APMPNB， AT60， PAMNTP， ， ， BN200， 设总费用 W 万元， 则 W0.8x10+0.2 （200） 20060 x+6000， 60 x+2， 60 x+12000， W6000， 建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用 6000万元