1、2021-2022 学年广东省学年广东省深圳市罗湖区深圳市罗湖区二校二校联考八年级上期中数学试卷联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1. 下列实数2，13，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个 4之间一个 0）中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. （4，3） B. （4，3） C. （4，3） D. （4，3） 3. 下列说法能确定台风中心的准确位置的是（ ） A. 西太平洋 B. 北纬 28 度，东经 135度 C.
2、 距离台湾 300海里 D. 台湾与冲绳之间 4. 下列表示 y与 x之间的关系的图象中，y不是 x 的函数的是（ ） A. B. C D. 5. 将点 A（3，2）向左平移 4个单位长度得点A，则点A坐标是（ ） A. （3，2） B. （7，2） C. （3，2） D. （1，2） 6. 下列各式中正确的是（ ） A. 255 B. 2222aa C. 1116442 D. 29 26232 7. 一次函数 y3x+6 的图象与 x轴的交点坐标是（ ） A. （2，0） B. （6，0） C. （3，0） D. （0，6） 8. 九章算术卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲
3、得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱 50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 x，y，则可列方程组为（ ） A. 15022503xyyx B. 15022503xyyx C. 2502503xyxx D. 2502503xyxy 9. 在下列叙述中：正比例函数 y2x的图象经过二、四象限；一次函数 y2x3中，y 随 x 的增大而减小；函数 y3x+1 中，当 x1时，函数值为 y2；一次函数 yx+1 的自变量 x的取值范围
4、是全体实数正确的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A坐标（0，3） ，点 B 坐标（4，0）OAB 的平分线交 x 轴于点 C，点 P、Q 分别为线段 AC、线段 AO 上的动点，则 OP+PQ的最小值值为（ ） A. 2 B. 65 C. 95 D. 125 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，满分小题，满分 15 分）分） 11. 已知13xy是方程2axy的解，则 a的值为_ 12. 已知点 P 在第四象限，该点到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 1，则点 P的坐标为_ 13. 若224
5、ymxm是关于x的正比例函数，则常数m_ 14. 如图， 长方形ABCD中，3cmAB，9cmAD， 将此长方形折叠， 使点 B 与点 D 重合， 折痕为EF，则ABE的面积是_ 15. 甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在AB、两地之间） 甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回C地，甲车到达B地后立即以原来速度返回A地，两车距C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是_小时 三、解答题（共三、解答题（共 7 题，满分题，满分 55 分
6、）分） 16. （1）解方程组：425xyxy （2）解方程组：328453xyxy； （3）先化简，再求值：2(3)(3)6xx，其中 x21 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（0，1） 、B（2，0） 、C（4，3） （1）若点 C1与点 C关于 y 轴对称，则点 C1的坐标为 （2）在平面直角坐标系中画出ABC，并画出ABC关于 x 轴对称图形A1B1C1，则A1B1C1的面积是 18. 如图，在 ABC中，D是 BC上的一点，AC4，CD3，AD5，AB45 (1)求证：C90 ； (2)求 BD的长 19. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，把这个两位数
7、的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大 27，请利用二元一次方程组求这个两位数 20. 某通讯公司推出，两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间 x（分）与费用 y（元）之间的函数关系如图所示 （1）有月租的收费方式是 （填“”或“”） ，月租费是 元 （2）分别写出，两种收费方式中 y与自变量 x之间函数表达式 ； （3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？ （4）如果某用户一个月通讯时间是 350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠 21. 某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给
8、予奖励现要购买甲、 乙两种奖品， 已知 1件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40 元， 2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70元 （1）求甲、乙两种奖品单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60件，且甲种奖品不少于 20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用 22. 如图，直线 l1：ykx+1 与 x 轴交于点 D，直线 l2：yx+b与 x轴交于点 A，且经过定点 B（1，5） ，直线 l1与 l2交于点 C（2，m） （1）填空：k ；b ；m ； （2）在 x轴上是否存在一点 E，使BCE 的周长最短？若存在，请求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由 （3）
9、 若动点 P 在射线 DC上从点 D 开始以每秒 1个单位的速度运动， 连接 AP， 设点 P 的运动时间为 t秒 是否存在 t的值，使ACP和ADP的面积比为 1：3？若存在，直接写出 t的值；若不存在，请说明理由 2021-2022 学年广东省学年广东省深圳市罗湖区深圳市罗湖区二校二校联考八年级上期中数学试卷联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1. 下列实数2，13，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个 4之间一个 0）中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答
10、案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根先化简，然后再根据无理数的概念“无限不循环小数”可直接进行排除选项 【详解】解：342,82 ， 无理数的有：2，7，共两个； 故选 B 【点睛】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握无理数、立方根及算术平方根是解题的关键 2. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. （4，3） B. （4，3） C. （4，3） D. （4，3） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面直角坐标系中象限中坐标符号特征“第一象限的坐标符号为 （+， +） ， 第二象限为 （-， +） ，第三象限为（-，-） ，第四象限为（+，-）”，由此问题可求解
11、【详解】解：由题意得：属于第二象限的点是（4，3） ； 故选 D 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中象限的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中象限的坐标特征是解题的关键 3. 下列说法能确定台风中心的准确位置的是（ ） A. 西太平洋 B. 北纬 28 度，东经 135度 C. 距离台湾 300海里 D. 台湾与冲绳之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据用坐标表示位置可直接进行排除选项 【详解】解：A、该选项的范围太大，所以不能确定台风中心的准确位置，故不符合题意； B、该选项是地理位置的坐标表示，所以能确定台风中心的准确位置，故符合题意； C、距离台湾 300海里，所指范围太大，不能确定台
12、风位置，故不符合题意； D、台湾与冲绳之间范围太大，也不能确定台风位置，故不符合题意； 故选 B 【点睛】本题主要考查用坐标表示地理位置，熟练掌握利用坐标表示位置是解题的关键 4. 下列表示 y与 x之间的关系的图象中，y不是 x 的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x和 y，并且对于 x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数；由此问题可求解 【详解】解：由题意得：选项 A、B、D 都是函数，而选项 C 不符合函数的概念，
13、故选 C 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键 5. 将点 A（3，2）向左平移 4个单位长度得点A，则点A的坐标是（ ） A. （3，2） B. （7，2） C. （3，2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”可直接进行求解 【详解】解：由将点 A（3，2）向左平移 4个单位长度得点A，可得点A的坐标是（1，2） ； 故选 D 【点睛】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键 6. 下列各式中正确的是（ ） A. 255 B. 2222aa C. 1116442 D. 29 26232 【答案】D
14、 【解析】 【分析】根据算术平方根及二次根式的除法运算可直接进行排除选项 【详解】解：A、255，原计算中不符书写规范，故不符合题意； B、2224aa，原计算错误，故不符合题意； C、1164265，原计算错误，故不符合题意； D、29 26263232 2 ，正确，故符合题意； 故选 D 【点睛】本题主要考查算术平方根及二次根式的除法运算，熟练掌握算术平方根及二次根式的除法运算是解题的关键 7. 一次函数 y3x+6 的图象与 x轴的交点坐标是（ ） A. （2，0） B. （6，0） C. （3，0） D. （0，6） 【答案】A 【解析】 【分析】令 y=0直接进行求解即可 【详解】解
15、：令 y=0，则有-3x+6=0，解得：x=2， 一次函数 y3x+6图象与 x 轴的交点坐标是（2，0） ； 故选 A 【点睛】本题主要考查一次函数与 x 轴交点问题，熟练掌握求解一次函数与 x 轴交点问题是解题的关键 8. 九章算术卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱 50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 x，y，则可列方程组为（ ） A. 15022503xyyx B.
16、 15022503xyyx C. 2502503xyxx D. 2502503xyxy 【答案】A 【解析】 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱 50”，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，此题得解 【详解】解：依题意，得：15022503xyyx， 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 9. 在下列叙述中：正比例函数 y2x的图象经过二、四象限；一次函数 y2x3中，y 随 x 的增大而减小；函数 y3x+1 中，当 x1时，函数值为 y2；一次函数
17、 yx+1 的自变量 x的取值范围是全体实数正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质及自变量的取值范围可直接进行求解 【详解】解：由正比例函数 y=2x 可知 k=20，则有该函数图象经过第一、三象限，故错误；由一次函数 y=2x-3 可知 k=20，则有 y随 x 的增大而增大，故错误；把 x=-1 代入函数 y=3x+1中可得 y=3（-1）+1=-2，故正确；一次函数 y=x+1 的自变量 x 的取值范围是全体实数，故正确； 综上所述：正确的个数是 2个； 故选 B 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练
18、掌握一次函数的图象与性质是解题的关键 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A坐标（0，3） ，点 B 坐标（4，0）OAB 的平分线交 x 轴于点 C，点 P、Q 分别为线段 AC、线段 AO 上的动点，则 OP+PQ的最小值值为（ ） A. 2 B. 65 C. 95 D. 125 【答案】D 【解析】 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，连接 OD，PD，QD，由题意易得 OC=CD，进而可得 OP=PD，要使OP+PQ 为最小，即为 QD为最小，然后可转化为点到直线垂线段最短进行求解 【详解】解：过点 C作 CDAB 于点 D，连接 OD，PD，QD，如图所示： OAB的平分
19、线交 x轴于点 C，AOB=90 ， OC=CD， AC=AC， AOCADC（HL） ， AC垂直平分线段 OD，AD=AO， OP=PD， OP+PQ=PD+PQ， 所以当点 Q、P、D三点共线时为最小，即为 QD， 当 QDOA 时，QD 的值最小，如图所示： 点 A坐标（0，3） ，点 B坐标（4，0） ， 3,4OAADOB，22043 05AB ， 由AQD与AOB 共有一个角为OAB，则可设3 ,4 ,5AQx QDx ADx， 53x ，即35x ， 125QD ， OP+PQ的最小值为125； 故选 D 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、角平分线的性质定理及轴对称的性
20、质，熟练掌握一次函数与几何的综合、角平分线的性质定理及轴对称的性质是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，满分小题，满分 15 分）分） 11. 已知13xy是方程2axy的解，则 a的值为_ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将 x=1，y=3 代入方程2axy，即可求得 a的值 【详解】解：根据题意，将 x=1，y=3 代入方程2axy， 得：32a ， 解得：a=-1， 故答案为：-1 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解 12. 已知点 P 在第四象限，该点到 x
21、轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 1，则点 P的坐标为_ 【答案】 （1，3） 【解析】 【分析】 根据点 P 在第四象限,所以 P 点横坐标在 x轴的正半轴上,纵坐标在 y轴的负半轴上,由 P 点到 x轴的距离为 3,到 y轴的距离为 1,即可推出 P 点的横、纵坐标. 【详解】解:Q点 P 在第四象限， P 点的横坐标在 x 轴的正半轴上,纵坐标在 y轴的负半轴上, QP 点到 x 轴的距离为 3,到 y轴的距离为 1, P 点的坐标为(1,-3). 故答案：(1,-3). 【点睛】 本题主要考查点的坐标的性质等知识点,关键在于数量掌握关于第四象限的点的横、 纵坐标的性质. 13. 若2
22、24ymxm是关于x的正比例函数，则常数m_ 【答案】2 【解析】 【分析】依据正比例函数的定义求解即可 【详解】解：224ymxm是关于x的正比例函数， 20m，240m ， 解得：2m 故答案为：2 【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如ykx（k 是常数，k0）的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数 14. 如图， 长方形ABCD中，3cmAB，9cmAD， 将此长方形折叠， 使点 B 与点 D 重合， 折痕为EF，则ABE的面积是_ 【答案】26cm 【解析】 【分析】首先翻折方法得到 ED=BE， 再设出未知数，分别表示出线段 AE， ED，BE 的长度，然后在 R
23、tABE中利用勾股定理求出 AE的长度，进而求出 AE的长度，就可以利用面积公式求得ABE的面积 【详解】解：长方形折叠，使点 B与点 D重合， ED=BE，A90， 设 AE=xcm，则 ED=BE=(9x)cm， 在 RtABE 中， 222ABAEBE， 2223(9)xx， 解得：x=4， ABE的面积为：3 412=6(2cm)， 故答案为26cm 【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，勾股定理的运用；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，找准折叠前后相等的角和边 15. 甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶（C在AB、两地之间） 甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向B地继
24、续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达B地后立即以提高后的速度返回C地，甲车到达B地后立即以原来速度返回A地，两车距C地的距离之和y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是_小时 【答案】3411 【解析】 【分析】由图象知，t=0 时，甲车在 A 地，乙车在 C 地，此时两车到 C 地的距离和为 80 千米，于是 AC 的距离为 80 千米，2 小时甲追上乙，因此速度差为：80 2=40千米/小时，设乙车原来速度为 x千米/小时，则后来的速度为 2x 千米/小时，甲的速度为（x+40）千米/小时，相遇后，又行驶 1 小时，两车到 C
25、 的距离和达到最大 460千米，说明乙车已到 B地，而甲未到，此时，乙车距 C 地的距离为 4x 千米，甲距 C 地的距离为 3（x+40）-80，可以列出方程，解出乙车原速度，进而求出乙后来速度，和甲的速度，最后求出乙到 B地，甲距 B地的距离，当乙返回时，可求出相遇时间，再加上甲原来的 3小时即可得到答案 【详解】解：由图象可知：A、C 之间的距离为 80千米， 两车的速度差为：80 2=40（千米/小时） ， 设乙车原速度为 x千米/小时，则乙车后来速度为 2x千米/小时，甲的速度为（x+40）千米/小时，由题意得： 3（x+40）-80+2x+2x=460， 解得：x=60， 即：乙车
26、原速度为 60千米/小时，则乙车后来速度为 120千米/小时，甲的速度为 100 千米/小时， 乙车到 B 地时，甲车距 B地的距离为：120-100=20千米， 乙车返回与甲相遇时间为：20 （120+100）=111（小时） ， 因此甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是 3+111=3411（小时） 故答案为：3411 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握行程问题中速度、时间、路程的关系以及追及、相遇问题的数量关系是解决问题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 7 题，满分题，满分 55 分）分） 16. （1）解方程组：425xyxy （2）解方程组：328453xyxy； （3）
27、先化简，再求值：2(3)(3)6xx，其中 x21 【答案】 （1）31xy ； （2）21xy； （3）2266x ，64 2 【解析】 【分析】 （1）根据加减消元法可直接进行求解； （2）根据加减消元法可直接进行求解； （3）先去括号，然后化简，最后代值求解即可 【详解】解： （1）425xyxy +得：39x ，解得：3x ， 把3x 代入得：1y ， 原方程组的解为31xy ； （2）328453xyxy， 5+2 得：2346x，解得：2x， 把2x代入得：3 228y ，解得：1y ， 原方程组的解为21xy； （3）原式=22236266xx ， 把 x21代入得：222166
28、232 26664 2 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解及二次根式的运算，熟练掌握二元一次方程组的求解及二次根式的运算是解题的关键 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（0，1） 、B（2，0） 、C（4，3） （1）若点 C1与点 C关于 y 轴对称，则点 C1的坐标为 （2）在平面直角坐标系中画出ABC，并画出ABC关于 x 轴对称的图形A1B1C1，则A1B1C1的面积是 【答案】 （1） （-4，3） ； （2）图见详解，4 【解析】 【分析】 （1）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，由此可求解； （2）先标出点 A、B、C关
29、于 x 轴对称的点，然后连线即可，最后利用割补法求解面积 【详解】解： （1）由题意得：点 C1与点 C关于 y轴对称，则点 C1的坐标为（-4，3） ； 故答案为（-4，3） ； （2）如图所示： 1 1 1111432 124234222A B CS V； 故答案为 4 【点睛】本题主要考查图形与坐标及轴对称，熟练掌握图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键 18. 如图，在ABC 中，D是 BC上的一点，AC4，CD3，AD5，AB45 (1)求证：C90 ； (2)求 BD的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）5 【解析】 【分析】 （1）由 AC4，CD3，AD5，根据勾股定理的逆定
30、理进行证明即可得； （2）根据勾股定理求得 BC的长，结合 CD长即可求得 BD 长 【详解】解： （1）AC2CD2423225，AD25225， AC2CD2AD2， ACD是直角三角形，且C90 ； （2）在 RtABC 中，C90 ， BC22224 54ABAC8， BDBCCD835 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键 19. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大 27，请利用二元一次方程组求这个两位数 【答案】这个两位数为 36 【解析】 【分析】设这个两位数的个位数
31、为 x，则十位数为 y，然后根据题意可直接列方程组进行求解 【详解】解：设这个两位数的个位数为 x，则十位数为 y，由题意得： 9101027xyxyyx， 解得：63xy， 这个两位数为 36 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程的应用是解题的关键 20. 某通讯公司推出，两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间 x（分）与费用 y（元）之间的函数关系如图所示 （1）有月租的收费方式是 （填“”或“”） ，月租费是 元 （2）分别写出，两种收费方式中 y与自变量 x之间的函数表达式 ； （3）当通讯时间是多少分钟时，两种
32、收费方式的费用一样？ （4）如果某用户一个月通讯时间是 350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠 【答案】 （1），30； （2）10.130yx=+，20.2yx； （3）当通讯时间是 300分钟时，两种收费方式的费用一样； （4）选择有月租的收费方式更经济实惠 【解析】 【分析】 （1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式是有月租的，哪种方式没有，有多少； （2）设有月租的函数解析式为130ykx，无月租的函数解析式为2yax，由图象可分别把点 0,30 , 500,80 , 500,100代入求值即可； （3）由题意可联立有月租的函数解析式和无月租的函数解析式进行求解
33、即可； （4）分别求出当 x=350 时，两种收费方式的费用，进而问题可求解 【详解】解： （1）由图象可得：有月租费的收费方式是，月租费是 30元； 故答案为，30； （2）由图象可得：点 0,30 , 500,80 , 500,100， 有月租函数解析式为130ykx，无月租的函数解析式为2yax，代入得： 5003080500100ka，解得：0.10.2ka， 两种收费方式的解析式分别为10.130yx=+，20.2yx， 故答案为10.130yx=+，20.2yx； （3）由题意得： 0.20.130 xx，解得：300 x， 当通讯时间是 300 分钟时，两种收费方式的费用一样；
34、（4）由（2）可得： 当 x=350 时，有月租的收费为10.1 3503065y ，无月租的收费为20.235070y ， 7065， 选择有月租的收费方式更经济实惠 【点睛】本题主要考查一次函数应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键 21. 某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励现要购买甲、 乙两种奖品， 已知 1件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40 元， 2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70元 （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60件，且甲种奖品不少于 20件，应如何购买才能使总费用最少
35、？并求出最少费用 【答案】 （1）甲种奖品的单价为 20 元，乙种奖品的单价为 10 元； （2）当甲种奖品购买 20件，乙种奖品购买 40 件时，所需费用最小，最小费用为 800元 【解析】 【分析】 （1）设甲种奖品的单价为 x 元，乙种奖品的单价为 y 元，由题意可列方程组进行求解； （2）设购买甲种奖品 m件，则乙种奖品为（60-m）件，购买所需的总费用为 W，则由（1）可得2010 6010600Wmmm，然后根据一次函数的性质可求解 【详解】解： （1）设甲种奖品的单价为 x 元，乙种奖品的单价为 y 元，由题意得： 2402370 xyxy， 解得：2010 xy， 答：甲种奖品
36、的单价为 20元，乙种奖品的单价为 10元 （2）设购买甲种奖品 m20m件，则乙种奖品为（60-m）件，购买所需的总费用为 W，由（1）及题意得： 2010 6010600Wmmm， 100,20m， 当 m=20 时，购买所需的总费用最小，最小值为 800； 答：当甲种奖品购买 20 件，乙种奖品购买 40 件时，所需费用最小，最小费用为 800 元 【点睛】本题主要考查一次函数的应用及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的应用及二元一次方程组的应用是解题的关键 22. 如图，直线 l1：ykx+1 与 x 轴交于点 D，直线 l2：yx+b与 x轴交于点 A，且经过定点 B（1，5）
37、，直线 l1与 l2交于点 C（2，m） （1）填空：k ；b ；m ； （2）在 x轴上是否存在一点 E，使BCE 的周长最短？若存在，请求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由 （3） 若动点 P 在射线 DC上从点 D 开始以每秒 1个单位的速度运动， 连接 AP， 设点 P 的运动时间为 t秒 是否存在 t的值，使ACP和ADP的面积比为 1：3？若存在，直接写出 t的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）12，4，2； （2）存在，点 E 的坐标为8,07； （3）存在，3 5t 或3 52t 【解析】 【分析】 （1）先把点 B 的坐标代入求解 l2的解析式，进而可得 b 的值，
38、则有点 C 的坐标，然后再利用待定系数法求解即可； （2）作点 C关于 x轴的对称点C，连接BC交 x 轴于点 E，连接 EC，则此时BCE的周长最小，然后可求直线BC的解析式，进而问题可求解； （3）由题意可得：DPt，则可分，当点 P 在线段 DC上时，满足ACP和ADP 的面积比为 1：3，当点点 P在线段 DC外时，满足ACP 和ADP的面积比为 1：3，然后根据同底等高问题可进行求解 【详解】解： （1）直线 l2：yx+b与 x轴交于点 A，且经过定点 B（1，5） ， 51b ，解得：4b， 直线 l2：yx+4， 直线 l2：yx+4经过点 C（2，m） ， 242m ， 点
39、C（2，2） ， 把点 C（2，2）代入直线 l1：ykx+1 可得：221k， 解得：12k ， 故答案为12，4，2； （2）存在，理由如下： 作点 C关于 x 轴的对称点C，连接BC交 x 轴于点 E，连接 EC，如图所示： C（2，2） ，B（1，5） ， 2, 2C，222 1253 2BC ， 由轴对称的性质可得ECEC， 3 2BCECBECEBCECBEV， 要使BCE 的周长最小，则 B、E、C 三点共线，则设直线BC的解析式为yaxn， 225anan ，解得：7383an ， 直线BC的解析式为7833yx ， 当 y=0时，则有78033x ，解得：87x ， 当BCE
40、 的周长最小时，则点 E 的坐标为8,07； （3）存在，理由如下： 由题意可得：DPt，则可分， 当点 P 在线段 DC上时，满足ACP和ADP的面积比为 1：3， ACP和ADP的高相同，则有面积比转化为底之比， :3:1DP PC ，即3DPPC， 令 y=0时，则有1102x ，解得：2x， 2,0D ， C（2，2） ， 2222022 5DC ， 333 52 5442DPDC， 3 52t ； 当点 P 在线段 DC外时，满足ACP和ADP的面积比为 1：3，同理可得3DPPC， 32DPDC， 3 5DP ，即3 5t ； 综上所述：当ACP 和ADP的面积比为 1：3，3 5t 或3 52t 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合及轴对称的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合及轴对称的性质是解题的关键
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