1、4.1 第1课时 数列的概念及通项公式 新课程标准解读 核心素养 通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数. 数学抽象、数学运算 知识点一 数列的概念 1定义:按照确定的 排列的一列数称为数列 2项:数列中的 叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项,常用符号 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项,用 表示第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项,用 表示其中第 1 项也叫做 3记法:数列的一般形式是 a1,a2,an,简记为an 顺序 每一个数 a1 a2 an 首项 【新知初探】 知识点二 数列
2、的分类 1按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 的数列 无穷数列 的数列 2按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第 2 项起, 每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起, 每一项都 它的前一项的数列 常数列 各项 的数列 项数有限 项数无限 大于 小于 都相等 知识点三 数列的通项公式 如果数列an的第 n 项与它的 之间的对应关系可以用 来表示,那么这个 叫做这个数列的通项公式 序号 n 一个式子 式子 名师点津 1数列中的数是按一定顺序排列的因此,如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同,那么它们就是不同的数列例如,数列 4,5,6,7,8,9,10与数列 10,9,8,
3、7,6,5,4 是不同的数列 2在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现例如:1,1,1,1,1,;2,2,2,. 3并非所有的数列都能写出它的通项公式例如, 的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141,它没有通项公式 4如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式 题型一 由数列的前几项求通项公式 例 1 (1)数列35,12,511,37,的一个通项公式是_; (2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式: 124,135,146,157,; 3,7,15,31,; 2,6,2,6,. 【题型探究】
4、(1)解析 数列可写为:35,48,511,614, 分子满足:312,422,532,642, 分母满足:5312,8322,11332, 14342,故通项公式为 ann23n2. 答案 ann23n2 (2)解 均是分式且分子均为 1,分母均是两因数的积,第一个因数是项数加上 1,第二个因数比第一个因数大 2, an1n1n3. 正负相间,且负号在奇数项,故可用(1)n来表示符号,各项的绝对值恰是 2 的整数次幂减 1,an(1)n(2n11) 为摆动数列,一般求两数的平均数2624, 而 242,642,中间符号用(1)n来表示 an4(1)n 2 或 an 2,n是奇数,6,n是偶数
5、. 规律方法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系; (2)若 n 和 n1 项正负交错,那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控; (3)熟悉一些常见数列的通项公式; (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳 跟踪训练 写出下列数列的一个通项公式: (1)0,3,8,15,24,; (2)1,3,5,7,9,; (3)112,223,334,445,; (4)1,11,111,1
6、111,. 解:(1)观察数列中的数,可以看到 011,341,891, 15161,24251,所以它的一个通项公式是 ann21. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为 an(1)n1(2n1) (3)此数列的整数部分 1,2,3,4,恰好是序号 n,分数部分与序号 n 的关系为nn1,故所求的数列的一个通项公式为 annnn1n22nn1. (4)原数列的各项可变为199,1999,19999,199 999,易知数列 9,99,999,9 999,的一个通项公式为 an10n1.所以原数列的一个通项公式为
7、 an19(10n1). 题型二 判断数列中项的问题 例 2 已知数列an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的 2 倍 (1)求这个数列的第 4 项与第 25 项; (2)253 和 153 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项? 解 (1)由题设条件,知 an n2n. a4 42410,a25 2522555. (2)假设 253 是这个数列中的项,则 253 n2n,解得 n121. 253 是这个数列的第 121 项 假设 153 是这个数列中的项,则 153 n2n,解得 n7214, 这与 n 是正整数矛盾,153 不是这个数列中的项 规律方法 已知数列an的通项公式,判断某
8、一个数是否是数列an中的项,即令通项公式等于该数,解关于 n 的方程,若解得 n 为正整数 k,则该数为数列an的第 k 项,若关于 n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列an中的项 跟踪训练 数列 1,12,21,13,22,31,14,23,32,41,则89是该数列的( ) A第 127 项 B第 128 项 C第 129 项 D第 130 项 解析:把该数列的第一项 1 写成11,再将该数列分组,第一组一项:11;第二组两项:12,21; 第三组三项:13,22,31; 第四组四项:14,23,32,41; 容易发现:每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加 1,且每组的
9、分子从 1 开始逐一增加,因此89应位于第十六组中第八位 由 12158128,得89是该数列的第 128 项. 答案:B 题型三 数列增减性的判断 例 3 已知数列an的通项公式为 an22n9,画出它的图象,并判断增减性 解 图象如图所示,该数列在1,2,3,4上是递减的,在5,6,上也是递减的 方法一:图象法 规律方法 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势,从而可判断数列的增减性 方法二:作差(商)法 例 4 已知数列an的通项公式 annn21,试判断该数列的增减性 解 an1ann1n121nn21 1n2nn121n21n12254n121n21
10、. 因为 nN*,且 n1, 所以 n1232,n12294,n12294. 故n12254945410, 所以 an1an0,即 an1an.故该数列为递减数列 规律方法 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法,将 an1an与 0 进行比较; (2)作商法, 将an1an与 1 进行比较(在作商时, 要注意 an0) 跟踪训练 1已知数列an的通项公式为 an2n1,作出该数列的图象并判断该数列的增减性 解:分别取 n1,2,3,得到点(1,1),(2,3),(3,5), 描点作出图象 如图, 它的图象是直线 y2x1 上的一些等间隔的点 由图象可知该数列为递增数列 2写出数列 1,24,37,410,513,的通项公式,并判断它的增减性 解:该数列的通项公式为 ann3n2, an1ann13(n1)2n3n22(3n1)(3n2). nN*,(3n1)(3n2)0,an1an0, an10 可知 an1an,所以数列an是递增数列 答案:A 5已知数列 2, 5,2 2, 11,则 2 5是该数列的第_项 解析:a1 2,a2 5,a3 8,a4 11, an 3n1. 由 3n12 5得 3n120,解得 n7, 2 5是该数列的第 7 项 答案:7