1、第第 26 章章 反比例函数反比例函数 专项训练专项训练 专训专训 1 用反比用反比例函数系数例函数系数 k 的几何意义解与面积相关问题的几何意义解与面积相关问题 名师点金：反比例函数的比例系数 k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数 k 的几何意义解决问题 反比例函数的比例系数 k 与面积的关系 1如图，点 P 在反比例函数 y3x(x0)的图象上，横坐标为 3，过点 P 分别向 x 轴，y轴作垂线，垂足分别为 M，N，则矩形 OMPN 的面积为( ) A1 B2 C
2、3 D4 (第 1 题) (第 2 题) 2如图，P 是反比例函数 ykx的图象上一点，过点 P 分别向 x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为 6，则这个反比例函数的解析式为( ) Ay6x By6x Cy3x Dy3x 3如图，A，C 是函数 y1x的图象上任意两点，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 B，过点C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 RtAOB 的面积为 S1，RtCOD 的面积为 S2，则( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1和 S2的大小关系不能确定 (第 3 题) (第 4 题) 4 如图， 正比例函数 yx 与反比例函数 y1x的图象相交于 A
3、， B 两点， BCx 轴于点 C，则ABC 的面积为( ) A1 B2 C3 D4 5如图，函数 yx 与函数 y4x的图象相交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作 y轴的垂线，垂足分别为点 C，D，则四边形 ACBD 的面积为( ) A2 B4 C6 D8 (第 5 题) (第 6 题) 6如图，RtAOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上，双曲线 ykx经过斜边 OA 的中点 C，与另一直角边交于点 D.若 SOCD9，则 SOBD_ 已知面积求反比例函数解析式 题型1：已知三角形面积求解析式 7如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A(2，0)，与反比例
4、函数在第一象限内的图象交于点 B(2，n)，连接 BO，若 SAOB4. (1)求该反比例函数的解析式和直线 AB 对应的函数解析式； (2)若直线 AB 与 y 轴的交点为 C，求OCB 的面积 (第 7 题) 题型2：已知四边形面积求解析式 8如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数 yx(k1)的图象与函数 ykx在第二象限的图象的交点，B，D 两点在坐标轴上，且矩形 ABOD 的面积为 3. (1)求两函数的解析式； (2)求两函数图象的交点 A，C 的坐标； (3)若点 P 是 y 轴上一动点，且 SAPC5，求点 P 的坐标 (第 8 题) 已知反比例函数解析式求图形的面积 题型1
5、：利用解析式求面积 9如图，已知反比例函数 yk1x与一次函数 yk2xb 的图象交于 A(1，8)，B(4，m) (1)求 k1，k2，b 的值； (2)求AOB 的面积； (3)若 M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数 yk1x的图象上的两点，且 x1x2，y1y2，指出点M，N 各位于哪个象限，并简要说明理由 (第 9 题) 题型2：利用对称性求面积 10如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为 y6x， y6x.现用四根钢条固定这四条曲线， 这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积 25 元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共
6、花多少钱？21cnjy (第 10 题) 题型3：利用点的坐标及面积公式求面积 11如图，直线 yk1xb 与反比例函数 yk2x(x0)的图象相交于点 A，B，与 x 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为(2，4)，点 B 的横坐标为4. (1)试确定反比例函数的解析式； (2)求AOC 的面积 (第 11 题) 专训专训 2 巧用根的判别式解图象的公共点问题巧用根的判别式解图象的公共点问题 名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ， 用判别式来辅助计算 判别式大于 0， 则有两个公共点； 判别式等于 0， 则有一个公共点；判别式小于 0，则没有公共点
7、 无公共点(0) 1关于 x 的反比例函数 ya4x的图象如图，A，P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称在PAB 中，PBy 轴，ABx 轴，PB 与 AB 相交于点 B.若PAB 的面积大于 12，则关于 x 的方程(a1)x2x140 的根的情况是_ (第 1 题) 2 若反比例函数 ykx与一次函数 yx2 的图象没有公共点， 则 k 的取值范围是_ 有唯一公共点(0) 3如图，将直线 yx 沿 x 轴负方向平移 4 个单位后，恰好与双曲线 ymx(x0)有唯一公共点 A，并交双曲线 ynx(x0)于 B 点，若 y 轴平分AOB 的面积，求 n 的值 (第 3 题) 有两个公共点(
8、0) 4如图，已知一次函数 yx8 和反比例函数 ykx(k0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点 A，B.www-2-1-cnjy-com (1)求实数 k 的取值范围； (2)若AOB 的面积为 24，求 k 的值 (第 4 题) 有公共点(0) (第 5 题) 5在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)如图，若曲线 y3x(x0)与此正方形的边有交点，则 a 的取值范围是_2-1-c-n-j-y 6如图，过点 C(1，2)分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 yx6 于点 A，B，若反比例函数 ykx(x0)的图象与AB
9、C 有公共点，求 k 的取值范围 (第 6 题) 答案答案 专训1 1C 2.A 3.C 4.A 5D 点拨：由题意，易得出 SODBSAOC12|4|2.因为 OCOD，ACBD(易求得)， 所以 SAOCSODASODBSOBC2.所以四边形 ACBD 的面积为 SAOCSODASODBSOBC248.2 66 (第 7 题) 7解：(1)如图，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D. SAOB12OA BD122n4， n4.B(2，4) 反比例函数解析式为 y8x. 设直线 AB 对应的函数解析式为 ykxb，由题意得 2kb0，2kb4，解得k1，b2. 直线 AB 对应的函数解析式为
10、 yx2. (2)当 x0 时，y022，C(0，2) SOCBSAOBSAOC412222. 8解：(1)由图象知 k0，由已知条件得|k|3， k3. 反比例函数的解析式为 y3x， 一次函数的解析式为 yx2. (2)由y3x，yx2，解得x11，y13，x23，y21. 点 A，C 的坐标分别为(1，3)，(3，1) (3)设点 P 的坐标为(0，m)，直线 yx2 与 y 轴的交点为 M，则 M 的坐标为(0，2) SAPCSAMPSCMP12PM(|1|3|)5， PM52，即|m2|52.m92或 m12. 点 P 的坐标为0，92或0，12. 点拨：依据图象及已知条件求 k 的
11、值是解本题的关键，只有求出 k 的值，才能通过解方程组求 A，C 两点的坐标，然后才能解决第(3)问 9解：(1)把 A(1，8)的坐标代入 yk1x，得 k18. 把 B(4，m)的坐标代入 y8x，得 m2. 把 A(1，8)，B(4，2)的坐标代入 yk2xb， 可得 k22，b6. (2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 C， 当 y0 时，2x60，解得 x3.C(3，0) SAOBSAOCSBOC1238123215. (3)点 M 在第三象限，点 N 在第一象限 理由：M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数 y8x的图象上， 当 M(x1，y1)，N(x2，y2)在同一象
12、限时，x1y2. x1x2，y1y2， M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限 点 M 在第三象限，点 N 在第一象限 10解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形 ABCD 分成四个全等的小矩形因为点 A 为 y6x的图象上的一点，所以 S矩形AEOH6.所以 S矩形ABCD4624.所以总费用为 2524600(元) 答：所需钢条一共花 600 元 11解：(1)点 A(2，4)在反比例函数 yk2x的图象上， k28.反比例函数的解析式为 y8x. (2)B 点的横坐标为4，其纵坐标为 2.B(4，2) 点 A(2，4)，B(4，2)在直线 yk1xb 上， 42k1
13、b，24k1b，解得k11，b6. 直线 AB 对应的函数解析式为 yx6，与 x 轴的交点为 C(6，0)SAOC126412. 专训2 1没有实数根 2 k1 点拨： 反比例函数 ykx与一次函数 yx2 的图象没有公共点， ykx，yx2无解，即kxx2 无解整理得 x22xk0，44k0.解得 k1. 3 解： 直线 yx 沿 x 轴负方向平移 4 个单位后可得直线 yx4， 由题意可得yx4，ymx只有一组解 整理得 x24xm0. 424 (m)0，解得 m4. 反比例函数 ymx的解析式是 y4x. 将 m4 代入 x24xm0 中，解得 x1x22， A 点坐标为(2，2) 直
14、线yx沿x轴负方向平移4个单位后与双曲线ynx(x0)交于B点且y轴平分AOB的面积， B 点坐标为(2，6)6n2.n12. 4解：(1)一次函数与反比例函数的图象有两个公共点， yx8，ykx有两组解，整理得 x28xk0. 824k0，解得 k16.易知 k0，0k16. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 令一次函数 yx8 中 x0，得 y8，故 OC8. SCOB12OC x2，SCOA12OC x1. SAOBSCOBSCOA12OC (x2x1)24. 244(x2x1)(x2x1)236. (x1x2)24x1x236. 由(1)x28xk0 得，x1x28，x1x2k， 644k36.k7. 5. 3a 31 6解：当点 C(1，2)在反比例函数 ykx的图象上时，k2.由kxx6，得 x26xk0，当(6)24k0，即 k9 时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB 上 .因此反比例函数 ykx(x0)的图象与ABC 有公共点时，k 的取值范围是 2k9.
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