1、第第 28 章章 锐角三角函数锐角三角函数 专项训练专项训练 专训专训 1 “化斜为直化斜为直”构造直角三角形的方法构造直角三角形的方法 名师点金： 锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解 无直角、无等角的三角形作高 1如图，在ABC 中，已知 BC1 3，B60 ，C45 ，求 AB 的长 (第 1 题) 有直角、无三角形的图形延长某些边 2如图，在四边形 ABCD 中，AB2，CD1，A60 ，DB90 ，求四边形ABCD 的面积 (第 2 题) 有三角函数值不能直接利用时
2、作垂线 3如图，在ABC 中，点 D 为 AB 的中点，DCAC，sin BCD13，求 tan A 的值 (第 3 题) 求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形 4如图，在ABC 中，ABAC5，BC8.若BPC12BAC，求 tan BPC 的值 (第 4 题) 专训专训 2 巧用构造法求几种特殊角的三角函数值巧用构造法求几种特殊角的三角函数值 名师点金： 对于 30 、45 、60 角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像 15 、22.5 、67.5 等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形
3、结合思想进行巧算2-1-c-n-j-y 巧构造 15 与 30 角的关系的图形计算 15 角的三角函数值 1求 sin 15 ，cos 15 ，tan 15 的值 巧构造 22.5 与 45 角的关系的图形计算 22.5 角的三角函数值 2求 tan 22.5 的值 巧用折叠法求 67.5 角的三角函数值 3小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，求出 67.5 角的正切值 (第 3 题) 巧用含 36 角的等腰三角形中的相似关系求
4、 18 、72 角的三角函数值 4求 sin 18 ，cos 72 的值 巧用 75 与 30 角的关系构图求 75 角的三角函数值 5求 sin 75 ，cos 75 ，tan 75 的值 专训专训 3 应用三角函数解实际问题的四种常见问题应用三角函数解实际问题的四种常见问题 名师点金： 在运用解直角三角形的知识解决实际问题时， 要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，
5、坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键 定位问题 1某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景如图，游轮出发点 A 与望海楼 B 的距离为300 m，在 A 处测得望海楼 B 位于 A 的北偏东 30 方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C， 在 C 处测得望海楼 B 位于 C 的北偏东 60 方向， 求此时游轮与望海楼之间的距离 BC.( 3取1.73，结果保留整数) (第 1 题) 坡坝问题 2如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡角BAE45 ，坝高 BE20 米汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处，使新的背水坡 BF 的坡角F30 ，求
6、 AF 的长度 .(结果精确到 1 米，参考数据： 21.414， 31.732) (第 2 题) 测距问题 3一条东西走向的高速公路上有两个加油站 A，B，在 A 的北偏东 45 方向上还有一个加油站 C，C 到高速公路的最短距离是 30 千米，B，C 间的距离是 60 千米，想要经过 C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口 P 到 B，C 的距离相等，请求出交叉口 P 到加油站A 的距离(结果保留根号) 测高问题 4如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD4 米，坡角DCE30 ，小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60 ， 在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B
7、的仰角为 45 ， 其中点 A，C，E 在同一直线上 (1)求斜坡 CD 的高度 DE； (2)求大楼 AB 的高度(结果保留根号) (第 4 题) 专训专训 4 利用三角函数解判断说理问题利用三角函数解判断说理问题 名师点金： 利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题 航行路线问题 1如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向上该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时再测得该岛在北偏东 30 的方向上，已
8、知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由 (第 1 题) 工程规划问题 2A，B 两市相距 150 千米，分别从 A，B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心、45 千米为半径的圆，tan 1.627，tan 1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接 A，B 两市的高速公路问连接 A，B 两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由 (第 2 题) 拦截问题 3如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的 B 处沿南偏西 60 方向前进实施拦截，红方行驶 1
9、 000 米到达 C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45 方向前进了相同的距离，刚好在 D 处成功拦截蓝方，求拦截点 D 处到公路的距离(结果不取近似值) (第 3 题) 台风影响问题 4如图所示，在某海滨城市 O 附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东 20 方向 200 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向北偏西 65 的 PQ 方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域， 当前半径为 60 km， 且圆的半径以 10 km/h 的速度不断扩大 (1)当台风中心移动 4 h 时， 受台风侵袭的圆形区域半径增大到_km； 当台风中心移动
10、 t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到_km. (2)当台风中心移动到与城市 O 距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据： 21.41， 31.73) (第 4 题) 专训专训 5 三角函数在学科内的综合应用三角函数在学科内的综合应用 名师点金： 1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标 2 三角函数与方程的综合应用： 主要是与一元二次方程之间的联系， 利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解 3三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定
11、理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解 4三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数 三角函数与一次函数的综合应用 1如图，直线 ykx1 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点，tanOCB12. (1)求点 B 的坐标和 k 的值； (2)若点 A(x， y)是直线 ykx1 上的一个动点(且在第一象限内)， 在点 A 的运动过程中，试写出AOB 的面积 S 与 x 的函数关系式 (第 1 题) 三角函数与二次函数的综合应用 2如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3，0
12、)，D(3，4)，E(0，4) 点 A 在 DE 上， 以 A 为顶点的抛物线过点 C， 且对称轴直线 x1 交 x 轴于点 B， 连接 EC，AC，点 P，Q 为动点，设运动时间为 t 秒 (1)求点 A 的坐标及抛物线对应的函数解析式； (第 2 题) (2)如图，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动，同时，点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动当 t 为何值时，PCQ 为直角三角形？ 三角函数与反比例函数的综合应用 3如图，反比例函数 ykx(x0)的图象经过线段 OA 的端
13、点 A，O 为原点，作 ABx 轴于点 B，点 B 的坐标为(2，0)，tan AOB32. (1)求 k 的值； (2)将线段 AB 沿 x 轴正方向平移到线段 DC 的位置， 反比例函数 ykx(x0)的图象恰好经过 DC 的中点 E，求直线 AE 对应的函数解析式； (3)若直线 AE 与 x 轴交于点 M， 与 y 轴交于点 N， 请你探索线段 AN 与线段 ME 的大小关系，写出你的结论，并说明理由 (第 3 题) 三角函数与方程的综合应用 4在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c.已知 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2(c4)x4c80 的两个根，且 9c25a
14、sin A. (1)试判断ABC 的形状； (2)ABC 的三边长分别是多少？ 5 已知关于 x 的方程 5x210 xcos 7cos 60 有两个相等的实数根， 求边长为 10 cm且两边所夹的锐角为 的菱形的面积 三角函数与圆的综合应用 6如图，AD 是ABC 的角平分线，以点 C 为圆心、CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且BCAE， (1)求证：点 F 是 AD 的中点； (2)求 cos AED 的值； (3)如果 BD10，求半径 CD 的长 (第 6 题) 7如图，AB 为O 的直径，直线 CD 切O 于点 D，AMCD 于点
15、M，BNCD 于 N. (1)求证：ADCABD； (2)求证：AD2AM AB； (3)若 AM185，sinABD35，求线段 BN 的长 (第 7 题) 三角函数与相似三角形的综合应用 8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 是边 AD 上一点，连接 FE 并延长交 BC 的延长线于点 G，连接 BF，BE，且 BEFG. (1)求证：BFBG； (2)若 tan BFG 3，SCGE6 3，求 AD 的长 (第 8 题) 专训专训 6 全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用 名师点金： 本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三
16、角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容其主要考点可概括为：2 个概念，1 个运算，2 个应用，2 个技巧 2 个概念 概念1：锐角三角函数 1如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC6，BC8，CDAB 于点 D，求BCD的三个三角函数值 (第 1 题) 概念2：解直角三角形 2如图，在 RtABC 中，ACB90 ，sinB35，D 是 BC 上一点，DEAB 于点 E，CDDE，ACCD9，求 BE，CE 的长 (第 2 题) 1 个运算特殊角的三角函数值与实数运算 3计算： (1)tan30 sin60 cos230 sin
17、245 tan45 ； (2)14tan245 1sin2303cos230 tan45cos60sin40cos50. 2 个应用 应用1：解直角三角形在学科内应用 4 如图， 在矩形ABCD 中， AB4， AD5， P 是射线 BC 上的一个动点， 过点 P 作 PEAP，交射线 DC 于点 E，射线 AE 交射线 BC 于点 F，设 BPa. (1)当点 P 在线段 BC 上时(点 P 与点 B，C 都不重合)，试用含 a 的代数式表示 CE 的长； (2)当 a3 时，连接 DF，试判断四边形 APFD 的形状，并说明理由； (3)当 tanPAE12时，求 a 的值 (第 4 题)
18、 应用2：解直角三角形的实际应用 5如图，自来水厂 A 和村庄 B 在小河 l 的两侧，现要在 A，B 间铺设一条输水管道为了搞好工程预算，需测算出 A，B 间的距离一小船在点 P 处测得 A 在正北方向，B 位于南偏东 24.5 方向，前行 1 200 m，到达点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49 方向，B 位于南偏西 41 方向 (1)线段 BQ 与 PQ 是否相等？请说明理由 (2)求 A，B 间的距离(参考数据 cos41 0.75) (第 5 题) 6.如图，为了测量山顶铁塔 AE 的高，小明在 27 m 高的楼 CD 底部 D 测得塔顶 A 的仰角为 45 ，在楼顶 C 测得塔顶
19、 A 的仰角为 3652.已知山高 BE 为 56 m，楼的底部 D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高 AE.(参考数据：sin 36520.60，tan 36520.75) (第 6 题) 2 个技巧 技巧1：“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧 7如图，在ABC 中，A30 ，tan B32，AC2 3，求 AB 的长 (第 7 题) 技巧2：“割补法”构造直角三角形求解的技巧 8如图所示，已知四边形 ABCD，ABC120 ，ADAB，CDBC，AB30 3，BC50 3，求四边形 ABCD 的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解) (第 8 题) 答案答案 专训1 1解：如图
20、，过点 A 作 ADBC，垂足为点 D. 设 BDx，在 RtABD 中，ADBDtan Bx tan 60 3x. 在 RtACD 中，C45 ， CAD90 C45 ， CCAD，CDAD 3x. BC1 3， 3xx1 3， 解得 x1，即 BD1. 在 RtABD 中，cos BBDAB， ABBDcos B1cos 602. (第 1 题) (第 2 题) 2解：如图，延长 BC，AD 交于点 E. A60 ，B90 ，E30 . 在 RtABE 中，BEABtan E2tan 302 3， 在 RtCDE 中，EC2CD2， DEEC cos 30 232 3. S四边形ABCDS
21、RtABESRtECD12AB BE12CD ED1222 3121 33 32. 点拨：本题看似是四边形问题，但注意到B90 ，A60 ，不难想到延长 BC，AD交于点 E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决 3解：如图，过点 B 作 BECD，交 CD 的延长线于点 E. 点 D 是 AB 的中点，ADDB. 又ACDBED90 ，ADCBDE， ACDBED，CDDE，ACBE. 在 RtCBE 中，sin BCEBEBC13，BC3BE. CE BC2BE22 2BE， CD12CE 2BE 2AC. tan ACDAC2ACAC 2. 方法点拨：构造直角三角形，把
22、所要求的量与已知量建立关系是解题的关键 (第 3 题) (第 4 题) 4解：如图，过点 A 作 AEBC 于点 E， ABAC5， BE12BC1284，BAE12BAC. BPC12BAC，BPCBAE. 在 RtBAE 中，由勾股定理得 AE AB2BE2 52423， tan BPCtan BAEBEAE43. 专训2 1解：如图，在 RtABC 中，BAC30 ，C90 ，延长 CA 到 D，使 ADAB，则D15 ，设 BCa，则 AB2a，AC 3a，AD2a，CD(2 3)a.www-2-1-cnjy-com 在 RtBCD 中，BDBC2CD2a2（74 3）a2( 6 2)
23、a. sin 15 sin DBCBDa（ 6 2）a6 24； cos 15 cos DCDBD（2 3）a（ 6 2）a6 24； tan 15 tan DBCCDa（2 3）a2 3. (第 1 题) (第 2 题) 2解：如图，在 RtABC 中，C90 ，ACBC，延长 CA 到 D，使 DAAB，则D22.5 ，设 ACBCa，则 AB 2a，AD 2a，DC( 21)a， tan 22.5 tan DBCCDa（ 21）a 21. 3 解： 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 E 处， ABBE，AEBEAB45 ，还原后，再沿过点 E
24、 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F处， AEEF，EAFEFA45 222.5 ， FAB67.5 . 设 ABx，则 AEEF 2x， tan FABtan 67.5 FBAB2xxx 21. 4解：如图，作ABC，使BAC36 ，ABAC，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D点， 过点 A 作 AEBC 于 E 点， 设 BCa， 则 BDADa， 易得ABCBCD， ABBCBCCD，ABaaABa， 即 AB2a ABa20，AB512a(负根舍去)， sin 18 sin BAEBEAB514， cos 72 cos ABEBEAB514. (第 4 题) (第 5
25、 题) 5解：方法 1：利用第 1 题的图形求解易知CBD75 ， sin75 CDBD（2 3）a（ 6 2）a6 24， cos75 BCBDa（ 6 2）a6 24， tan75 CDBC（2 3）aa2 3. 方法 2：如图，作ABD，使ADB90 ，DAB30 ，延长 BD 到 C，使 DCDA，过 B 作 BEAC 于 E， 则BAE75 ， 设 ADDCa， 则 AC 2a， BD33a， AB2 33a，BCBDCD331 a.则 CEBEBC sin 45 63 26a， AEACCE3 2 66a，sin 75 sin BAEBEAB3 2 66a2 33a6 24， co
26、s 75 cos BAEAEAB6 24， tan 75 tan BAEBEAE2 3. 专训3 (第 1 题) 1解：根据题意可知 AB300 m. 如图所示， 过点 B 作 BDAC， 交 AC 的延长线于点 D.在 RtADB 中， 因为BAD30 ，所以 BD12AB12300150(m) 在 RtCDB 中， 因为 sinDCBBDBC， 所以 BCBDsinDCB150sin 603003173(m) 答：此时游轮与望海楼之间的距离 BC 约为 173 m. 点拨：本题也可过 C 作 CDAB 于 D，由已知得 BCAC，则 AD12AB150 m，所以在 RtACD 中，ACAD
27、cos 3015032173(m)所以 BCAC173 m. 2解：在 RtABE 中，BEA90 ，BAE45 ，BE20 米， AE20 米 在 RtBEF 中，BEF90 ，F30 ，BE20 米， EFBEtan 30203320 3(米) AFEFAE20 320201.7322014.6415(米) AF 的长度约是 15 米 3解：分两种情况： (1)如图，在 RtBDC 中，CD30 千米，BC60 千米 sin BCDBC12，B30 . PBPC，BCPB30 . 在 RtCDP 中，CPDBBCP60 ， DPCDtan CPD30tan 6010 3(千米) 在 RtA
28、DC 中，A 45 ， ADDC30 千米 APADDP(3010 3)千米 (第 3 题) (2)如图，同理可求得 DP10 3千米，AD30 千米 APADDP(3010 3)千米 故交叉口 P 到加油站 A 的距离为(30 10 3)千米 点拨： 本题运用了分类讨论思想， 针对 P 点位置分两种情况讨论， 即 P 可能在线段 AB 上，也可能在 BA 的延长线上 4解：(1)在 RtDCE 中，DC4 米，DCE30 ，DEC90， DE12DC2 米； (第 4 题) (2)如图，过点 D 作 DFAB，交 AB 于点 F， 则BFD90 ，BDF45 ， DBF45 ，即BFD 为等
29、腰直角三角形， 设 BFDFx 米， 四边形 DEAF 为矩形， AFDE2 米，即 AB(x2)米， 在 RtABC 中，ABC30 ， BCABcos 30 x2322x433（2x4）3(米)， DCE30 ，ACB60 ， DCB90 ， 在 RtBCD 中，BD 2BF 2x 米，DC4 米， 根据勾股定理得：2x2（2x4）2316， 解得：x44 3或 x44 3(舍去)， 则大楼 AB 的高度为(64 3)米 专训4 1解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险理由如下： 如图，过点 C 作 CDAM 于点 D. 依题意，知 AB24306012(海里)， CAB90 60 3
30、0 ，CBD90 30 60 . 在 RtDBC 中，tan CBDtan 60 CDBD， BD33CD.在 RtADC 中，tan CADtan 30 CDAD， AD 3CD. 又ADABBD， 3CD1233CD，解得 CD6 3海里 6 39， 若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险 技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型该货船有无触礁危险取决于岛 C 到航线 AB 的距离与 9 海里的大小关系， 因此解决本题的关键在于求岛 C到航线 AB 的距离 (第 1 题) (第 2 题) 2解： 不会穿过风景区理由如下：如图，过 C 作 CDAB 于点 D，根据题
31、意得：ACD，BCD，则在 RtACD 中，ADCD tan ，在 RtBCD 中，BDCD tan . ADDBAB，CD tan CD tan AB， CDABtan tan 1501.6271.373150350(千米) 5045，连接 A，B 两市的高速公路不会穿过风景区 3解：如图，过 B 作 AB 的垂线，过 C 作 AB 的平行线，两线交于点 E；过 C 作 AB 的垂线，过 D 作 AB 的平行线，两线交于点 F，则EF90 ，拦截点 D 处到公路的距离DABECF. 在 RtBCE 中，E90 ，CBE60 ， BCE30 ，BE12BC121 000500(米)； 在 Rt
32、CDF 中，F90 ，DCF45，CD1 000 米， CF22CD500 2(米) DABECF(500500 2)米， 即拦截点 D 处到公路的距离是(500500 2)米 (第 3 题) (第 4 题) 4解：(1)100；(6010t) (2)不会，理由如下：过点 O 作 OHPQ 于点 H，如图在 RtPOH 中，OHP90 ，OPH65 20 45 ，OP200 km， OHPHOP sin OPH200sin 45 100 2141(km) 设经过 x h 时，台风中心从 P 移动到 H，台风中心移动速度为 20 km/h， 则 20 x100 2，x5 2. 此时，受台风侵袭的
33、圆形区域半径应为 60105 2130.5(km) 台风中心在整个移动过程中与城市 O 的最近距离 OH141 km， 而台风中心从 P 移动到 H时受侵袭的圆形区域半径约为 130.5 km，130.5 km141 km，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市 O 不会受到台风侵袭 专训5 1解：(1)把 x0 代入 ykx1，得 y1，点 C 的坐标是(0，1)，OC1. 在 RtOBC 中，tan OCBOBOC12，OB12. 点 B 的坐标是12，0 . 把 B12，0 的坐标代入 ykx1，得12k10.解得 k2. (2)由(1)知直线 AB 对应的函数关系式为 y2x
34、1， 所以AOB 的面积 S 与 x 的函数关系式是 S12OB y1212(2x1)12x14. 2解：(1)抛物线的对称轴为直线 x1，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点 A 在 DE 上， 点 A 坐标为(1，4)， 设抛物线对应的函数解析式为 ya(x1)24， 把 C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得 a(31)240，解得 a1. 故抛物线对应的函数解析式为 y(x1)24，即 yx22x3. (2)依题意有 OC3，OE4， CE OC2OE2 32425， 当QPC90 时，cos QCPPCCQOCCE， 3t2t35
35、，解得 t1511； 当PQC90 时，cos QCPCQPCOCCE， 2t3t35，解得 t913.当 t1511或 t913时，PCQ 为直角三角形 3解：(1)先求出 A 点的坐标为(2，3)，k6. (2)易知点 E 纵坐标为32，由点 E 在反比例函数 y6x的图象上，求出点 E 的坐标为4，32，结合 A 点坐标为(2，3)，求出直线 AE 对应的函数解析式为 y34x92. (3)结论：ANME.理由：在解析式 y34x92中，令 y0 可得 x6，令 x0 可得 y92. 点 M(6，0)，N0，92. (第 3 题) 方法一：如图，延长 DA 交 y 轴于点 F，则 AFO
36、N，且 AF2，OF3， NFONOF32.根据勾股定理可得 AN52. CM642，EC32， 根据勾股定理可得 EM52， ANME. 方法二：如图，连接 OE，延长 DA 交 y 轴于点 F，则 AFON，且 AF2， SEOM12OM EC1263292，SAON12ON AF1292292，SEOMSAON. AN 和 ME 边上的高相等，ANME. 4解：(1)a，b 是关于 x 的方程 x2(c4)x4c80 的两个根，abc4，ab4c8. a2b2(ab)22ab (c4)22(4c8)c2. ABC 为直角三角形 又(ab)2(ab)24ab (c4)24(4c8) c28
37、c16， 不能确定(ab)2的值是否为 0，不能确定 a 是否等于 b，ABC 的形状为直角三角形 (2)ABC 是直角三角形，C90 ，sin Aac. 将其代入 9c25asin A， 得 9c25aac，9c225a2，3c5a. c53a.b c2a253a2a243a. 将 b43a，c53a 代入 abc4， 解得 a6.b4368，c53610， 即ABC 的三边长分别是 6，8，10. 5解：一元二次方程有两个相等的实数根， (10cos )220(7cos 6)0， 解得 cos 2(舍去)或 cos 35. 设在一内角为 的直角三角形中， 的邻边长为 3k(k0)， 斜边长
38、为 5k，则 的对边长为 （5k）2（3k）24k， sin 45， 则菱形一边上的高为 10sin 8 cm，S菱形10880 cm2. 6(1)证明：AD 是ABC 的角平分线， BADDAC. ADEBADB， DAECADCAE， 且BCAE， ADEDAE， EDEA. ED 为O 的直径，DFE90 ，EFAD，点 F 是 AD 的中点 (2)解：如图，连接 DM，则 DMAE.设 EF4k，DF3k， 则 ED EF2DF25k.12AD EF12AE DM， DMAD EFAE6k 4k5k245k， ME DE2DM275k，cos AEDMEDE725. (3)解：CAEB
39、，AEC 为公共角，AECBEA， ，AE2CE BE， (5k)252k (105k)k0，k2，CD52k5. (第 6 题) (第 7 题) 7(1)证明：如图，连接 OD，直线 CD 切O 于点 D，CDO90 ，AB 为O的直径，ADB90 ，122390 ，13，OBOD，34， ADCABD. (2)证明：AMCD，AMDADB90 ，14， ADMABD，AMADADAB，AD2AM AB. (3)解：sin ABD35，sin 135，AM185，AD6，AB10，BDAB2AD28，BNCD，BND90 ，DBNBDN1BDN90 ，DBN1，sin NBD35，DN245
40、，BNBD2DN2325. 8(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，DDCG90， 点 E 是 CD 的中点，DECE. DEFCEG，EDFECG，EFEG. 又BEFG，BE 是 FG 的中垂线，BFBG. (2)解：BFBG，BFGG，tan BFGtan G 3，设 CGx，则 CE 3x，SCGE32x26 3，解得 x2 3(负值舍去)， CG2 3，CE6，又易通过三角形相似得出 EC2BC CG，BC6 3，AD6 3. 专训6 1思路导引：求BCD 的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义由于BCD 是RtBCD 中的一个内角，根据定义，仅一边 BC 是已知的，此时有两条路可走
41、，一是设法求出BD 或 CD，二是把BCD 转化成A，显然走第二条路较方便，因为在 RtABC 中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案21cnjy 解：在 RtABC 中，ACB90 ， BCDACD90 . CDAB，ACDA90 ，BCDA. 在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB AC2BC210， sin BCDsin ABCAB45， cos BCDcos AACAB35， tan BCDtan ABCAC43. 2思路导引：由 sin BDEDBACAB35，可设 DECD3k，则 DB5k，求得 BC8k，AC6k，AB10k.再由 ACCD9，可列出以 k 为未知数
42、的方程，进而求出各边的长在RtBDE 中，由勾股定理求 BE 的长，过 C 作 CFAB 于点 F，再用勾股定理求出 CE 的长 解：sin B35，ACB90 ，DEAB， sin BDEDBACAB35. 设 DECD3k，则 DB5k， CB8k，AC6k，AB10k. ACCD9，6k3k9，k1， DE3，DB5，BE52324. 过点 C 作 CFAB 于点 F，如图，则 CFDE， DECFBEBFBDBC58，求得 CF245，BF325， EF125. 在 RtCEF 中，CE CF2EF21255. (第 2 题) 点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已
43、知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法 3解：(1)原式3332322222112341234. (2)原式1412112233221121144334213. 4 解： 设 CEy， (1)四边形 ABCD 是矩形， ABCD4， BCAD5， BBCDD90 . BPa， CEy， PC5a， DE4y， APPE， APE90 ， APBCPE90 ， APBBAP90 ，CPEBAP， ABPPCE，BPCEABPC， ya25a4，即 CEa25a4. (2)四边形 APFD 是菱形，理由如下：当 a3 时，y3253432，即 CE32，四边形 AB
44、CD 是矩形， ADBF，AEDFEC，ADCFDECE，CF3， 易求 PC2，PFPCCF5. PFAD，四边形 APFD 是平行四边形，在 RtAPB 中，AB4，BP3， B90 ，AP5PF， 四边形 APFD 是菱形 (3)根据 tan PAE12可得APPE2， 易得ABPPCE，BPCEABPCAPPE2，得ay45a2 或ay4a52，解得 a3，y1.5 或 a7，y3.5.a3 或 7. 5解：(1)相等理由如下： 由已知条件易知，QPB90 24.5 65.5 ，PQB90 41 49 ， PBQ180 65.5 49 65.5 . PBQBPQ.BQPQ. (2)由(
45、1)，得 BQPQ1 200 m. 由已知条件易知AQP90 49 41 . 在 RtAPQ 中，AQPQcos AQP1 2000.751 600(m) 又AQBAQPPQB90 ， 在 RtAQB 中， AB AQ2BQ2 1 60021 20022 000(m) A，B 间的距离约是 2 000 m. 点拨：证明线段相等常利用全等三角形的对应边相等或等角对等边；计算线段的长度常利用锐角三角函数或勾股定理 6解：如图，过点 C 作 CFAB 于点 F. (第 6 题) 设铁塔高 AEx m， 由题意得 EFBECD562729(m)， AFAEEF(x29)m. 在 RtAFC 中，ACF
46、3652，AF(x29)m， 则 CFAFtan 3652x290.7543x1163(m)， 在 RtABD 中，ADB45 ，AB(x56)m， 则 BDAB(x56)m， CFBD，x5643x1163， 解得 x52. 答：该铁塔的高 AE 约为 52 m. 7解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D. 在 RtACD 中，AC2 3，A30 ， CD12AC 3，ADAC cos 30 2 3323. 在 RtBCD 中，CDDBtan B32，DB2CD32 332， ABADDB325. (第 7 题) 方法总结：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角
47、的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，引辅助线的技巧是解此类题的关键 8解法 1：如图所示，过点 B 作 BEAD 交 DC 于点 E，过点 E 作 EFAB 交 AD 于点 F，则 BEAB，EFAD.四边形 ABEF 是矩形EFAB，AFBE.ABC120 ，CBE120 90 30 ，D180 120 60 . 在 RtBCE 中， BEBCcos CBE50 3cos 3050 332100， ECBC tan CBE50 3tan 30 50 33350. 在 RtDEF 中， DFEFtan DABtan 6030 3330.
48、 ADAFDFBEDF10030130. S四边形ABCDS梯形ABEDSBCE12(ADBE) AB12BC EC12(130100)30 31250 3504 700 3. (第 8 题) 解法 2：如图所示，延长 DA，CB 交于点 E， 则ABE180 ABC60 ，E90 ABE30 . 在 RtABE 中， AEAB tan 60 30 3 390， BEABcos 6030 31260 3. CEBEBC60 350 3110 3. 在 RtDCE 中，DCCE tan 30 110 333110. S四边形ABCDSDCESABE12DC CE12AB AE12110110 31230 3904 700 3.
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