1、2021 年年吉林省长春市南关区吉林省长春市南关区二校联考中考数学一模试卷二校联考中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列各数中，比3.5 小的数是（ ） A4 B C4 D 2在过去的五年里，我国脱贫攻坚成为读秒战役，平均每三秒，就有一人跨过贫困线，在 1400 多个日夜里，约有 55640000 人摆脱贫困55640000 这个数用科学记数法表示为（ ） A55.64106 B5.564106 C5.564106 D5.564107 3如图是由 6 个同样的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三图中
2、（ ） A主视图和俯视图相同 B主视图和左视图相同 C俯视图和左视图相同 D三个视图都相同 4不等式 3x+2x+6 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 5某商品原价为 a 元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（ ） A先打 3 折，再降 5 元 B先打 7 折，再降 5 元 C先降 5 元，再打 3 折 D先降 5 元，再打 7 折 6将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若147，则2 的大小为（ ） A127 B133 C137 D143 7某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 AB 绕点 O 旋转到 AB的位置，已知 AO4 米，若栏杆的旋转角
3、AOA，则栏杆点 A 升高的高度为（ ） A4tan 米 B4cos 米 C米 D4sin 米 8如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 均在第一象限，点 B 的坐标为（1，2），ABy 轴，ABC90，AB3，BC4，点 P 在折线 ABBC 上，连结 OP，点 Q 在线段 OP 上，且 OQ2PQ，反比例函数 y（x0）的图象经过点 Q当点 P 在折线 ABBC 上运动时，k 的取值范围（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9化简： 10分解因式：a2x24a2 11关于 x 的一元二次方程 2x
4、23x+m0 有两个相等的实数根，则实数 m 12如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 一半的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N；作直线 MN 与边 AB 相交于点 D，连结 CD，若DCA16，则B 的大小为 13如图，五边形 ABCDE 的顶点 B，C、D、E 在O 上，顶点 A 在O 外，且 ABAE若A100，则CBA+CDE 14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+mx 交 x 轴正半轴于点 A，点 B 是 y 轴负半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 C 恰好落在抛物线上，过点 C 作 x 轴的点
5、 D，连结 OC、AD若点 C 的模坐标为2，则四边形 OCDA 的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）该同学的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 （2）请写出此题的正确解答过程 16一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率 17习近平总书记说：“读书可以让人保
6、持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为提高学生的数学学习兴趣，现决定购买中国传统数学著作九章算术和孙子算经两种书已知购买 1 本九章算术和 2 本孙子算经需 105 元，购买 2 本九章算术与购买 3 本孙子算经的价格相同，求这两种书的单价 18图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图 （1）在图中以 AB 为边画 ABCD，使其面积为 8，点 C、D 均在格点上 （2）在图中以 AB 为边画 ABEF，使 tanE2，点 E、F 均在格点上 19如图，在A
7、BCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，AEAF，EFAC （1）求证：ABCD 是菱形 （2）若 BD4，tanAFE，则 AC 203 月 14 日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了 50 名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50 名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值） 信息二：第三组的成绩（单位：分）为 74 71 73 74 79 76 77
8、 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的 50 名学生竞赛成绩的中位数是 分； （3）若该校共有 1500 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 80 分的约为 人 21已知 A，B 两地之间有一条长 240 千米的公路甲车从 A 地出发匀速开往 B 地，甲车出发半小时后，乙车从 A 地出发沿同一路线匀速追赶甲车， 两车相遇后， 乙车原路原速返回 A 地 两车之间的距离 y （千米）与甲车行驶吋间 x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： （1）甲车的速度是 千米/时，乙车
9、的速度是 千米/时，m （2）求乙车返回过程中，y 与 x 之间的函数关系式 （3）当甲、乙两车相距 160 千米时，直接写出甲车的行驶时间 22【教材呈现】华师版九年级上朋数学教材第 77 页的部分内容： 如图 1，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB，AC 的中点，可以猜想：DEBC 且 DEBC 请根据教材内容，结合图 1，写出证明过程 【结论应用】 如图 2，在ABC 中 AD 垂直于ABC 的平分线 BE 于点 E，且交 BC 边于点 D，点 F 为 AC 的中点若AB5，BC9，求 EF 的长 【拓展廷仲】 如图 3，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC3，D 为 AC
10、中点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转一定的角度 （0360），得到线段 AD1，连结 CD1，取 CD1的中点 E，连结 BE则BEC 面积的最大值为 23如图，在 RtABC 中，ACB90，AB25，AC15，点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度向 A 运动，同时，点 Q 从 C 出发，以每秒 1 个单位的速度向 B 运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动连结 PQ，在射线 PB 上截取 PNPQ，以 PN、PQ 为边作PQMN设运动时间为 t 秒（t0） （1）BC 的长为 （2）当PQMN 为正方形时，求 t 的值 （3）当PQMN 与ABC 的重叠部分为轴对称图形
11、时，求 PQ 的长 （4）作点 C 关于直线 PQ 的对称点 C，当点 C、Q、C不共线，且CQC等于ABC 内角的 2 倍时，直接写出 t 的值 24在平面直角坐标系中，函数 yx2+mxm+2（xm）的图象记为 G （1）当 m4 时 求此函数的最大值 若点 A （a， y1） 、 B （a+， y2） 都在图象 G 上， 且 y1y2， 则 a 的取值范围为 （2）已知 M（5，0）、N（5，5）、P（5，5）、Q（5，0），若过图象 G 的最高点且垂直于 y 轴的直线将矩形 MNPQ 的面积分成 1：4 的两个部分，求 m 的值 （3）若 C（+1，0），过点 C 作 CDx 轴，将图
12、象 G 在直线 CD 上及直线 CD 左侧部分的图象记为M1，将 M1沿直线 CD 翻折后得到的图象记为 M2，M1和 M2组成图象记为 M若图象 M 上有且只有 4 个点到 x 轴的距离为 1，直接写出 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列各数中，比3.5 小的数是（ ） A4 B C4 D 【分析】根据有理数的大小关系解决此题 解：根据有理数的大小关系，得43.54 故选：A 2在过去的五年里，我国脱贫攻坚成为读秒战役，平均每三秒，就有一人跨过贫困线，在 1400 多个日夜里，约有
13、 55640000 人摆脱贫困55640000 这个数用科学记数法表示为（ ） A55.64106 B5.564106 C5.564106 D5.564107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：556400005.564107 故选：D 3如图是由 6 个同样的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三图中（ ） A主视图和俯视图相同 B主视图和左视图相同 C俯视图和左视图相同 D三个
14、视图都相同 【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图 解：主视图和左视图相同，均有三列，小正方形的个数分别为 1、2、1； 俯视图也有三列，但小正方形的个数为 1、3、1 故选：B 4不等式 3x+2x+6 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】依次移项、合并同类项、系数化为 1 可得不等式的解集，从而得出答案 解：移项，得：3xx62， 合并同类项，得：2x4， 系数化为 1，得：x2， 故选：A 5某商品原价为 a 元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（ ） A先打 3 折，再降 5
15、 元 B先打 7 折，再降 5 元 C先降 5 元，再打 3 折 D先降 5 元，再打 7 折 【分析】根据题意确定出代数式表示的意义即可 解：（a5）元，表达该商品出售价格的是先打 7 折，再降 5 元 故选：B 6将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若147，则2 的大小为（ ） A127 B133 C137 D143 【分析】过点 E 作 EFAC，由平行线的性质可得CEF147，BDEF，从而可得2+DEF180，结合条件可求得DEF 的度数，即可求解 解：过点 E 作 EFAC，如图所示： ACEF，ACBD， CEF147，BDEF， 2+DEF180， CED90， DEF9
16、0CEF43， 2180DEF137 故选：C 7某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 AB 绕点 O 旋转到 AB的位置，已知 AO4 米，若栏杆的旋转角AOA，则栏杆点 A 升高的高度为（ ） A4tan 米 B4cos 米 C米 D4sin 米 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行计算即可 解：过点 A作 AMAB，垂足为 M， 在 RtAOM 中， sin， AMAOsin4sin（米） 故选：D 8如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 均在第一象限，点 B 的坐标为（1，2），ABy 轴，ABC90，AB3，BC4，点 P 在折线 ABBC 上，连结 OP，点
17、 Q 在线段 OP 上，且 OQ2PQ，反比例函数 y（x0）的图象经过点 Q当点 P 在折线 ABBC 上运动时，k 的取值范围（ ） A B C D 【分析】由题意可知 A（1，5），C（5，2），求得 P 经过点 A、B、C 时的 Q 的坐标，代入解析式即可求得 k 的值，根据图象即可求得 k 的取值范围 解：由题意可知 A（1，5），C（5，2）， OQ2PQ， 当 P 与 A 重合时，Q（，）， 反比例函数 y（x0）的图象经过点 Q 此时 k； 当 P 与 B 重合时，Q（，）， 反比例函数 y（x0）的图象经过点 Q 此时 k； 当 P 与 C 重合时，Q（，）， 反比例函数 y
18、（x0）的图象经过点 Q 此时 k， 当点 P 在折线 ABBC 上运动时，k 的取值范围是k， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9化简： 2 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案 解：原式242 故答案为：2 10分解因式：a2x24a2 a2（x+2）（x2） 【分析】直接提取公因式 a2，再利用平方差公式分解因式得出答案 解：原式a2（x24） a2（x+2）（x2） 故答案为：a2（x+2）（x2） 11关于 x 的一元二次方程 2x23x+m0 有两个相等的实数根，则实数 m
19、 【分析】直接利用根的判别式得出 b24ac98m0，即可得出答案 解：关于 x 的一元二次方程 2x23x+m0 有两个相等的实数根， b24ac98m0， 解得：m 故答案为： 12如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 一半的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N；作直线 MN 与边 AB 相交于点 D，连结 CD，若DCA16，则B 的大小为 37 【分析】根据作图过程可得 MN 是边 BC 的垂直平分线，可得 DCDB，再根据直角三角形两个锐角互余和外角性质可得B 的大小 解：BAC90，DCA16， ADC901
20、674， 由作图过程可知：MN 是边 BC 的垂直平分线， DCDB， BDCB7437 故答案为：37 13如图，五边形 ABCDE 的顶点 B，C、D、E 在O 上，顶点 A 在O 外，且 ABAE若A100，则CBA+CDE 220 【分析】连接 BE，根据等腰三角形的性质得到ABEAEB（180A）40，根据圆内接四边形的性质即可得到答案 解：连接 BE， ABAEA100， ABEAEB（180A）40， CDE+CBE180， CBA+CDECDE+CBE+ABE180+40220， 故答案为：220 14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+mx 交 x 轴正半轴于点 A，点
21、 B 是 y 轴负半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 C 恰好落在抛物线上，过点 C 作 x 轴的点 D，连结 OC、AD若点 C 的模坐标为2，则四边形 OCDA 的面积为 16 【分析】利用中心对称的性质得到 A（2，0），则把 A（2，0）代入 yx2+mx 求出 m 得到抛物线解析式为 yx2+x，计算当 x2 时的函数值得到 C（2，4），接着求出抛物线的对称轴为直线 x1，从而得到 D 点坐标，然后根据梯形的面积公式计算四边形 OCDA 的面积 解：点 A 与点 B 关于点 C 对称， 而点 C 的横坐标为2， A（2，0）， 把 A（2，0）代入 yx2+mx 得2+2m0
22、，解得 m1， 抛物线解析式为 yx2+x， 当 x2 时，yx2+x224，则 C（2，4）， 抛物线的对称轴为直线 x1， D（4，4）， CD4（2）6， 四边形 OCDA 的面积（2+6）416 故答案为 16 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （1） 该同学的解答过程是从第 一 步开始出错的， 其错误原因是 根据分式的基本性质的分子分母应同时乘以（x+4） （2）请写出此题的正确解答过程 【分析】（1）根据分式的基本性质进行分析判断； （2）先将原式进
23、行通分，然后再计算 解：（1）该同学解答过程第一步开始出现错误， 其错误原因是根据分式的基本性质的分子分母应同时乘以（x+4）， 故答案为：一；根据分式的基本性质的分子分母应同时乘以（x+4）； （2）原式 16一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率 【分析】列表得出所有等可能的情况数，再找出两次摸出的小球所标字母相同的情况数，即可求出其概率 解：列表得： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B
24、 （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由列表可知可能出现的结果共 9 种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有 3 种， 所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率 17习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为提高学生的数学学习兴趣，现决定购买中国传统数学著作九章算术和孙子算经两种书已知购买 1 本九章算术和 2 本孙子算经需 105 元，购买 2 本九章算术与购买 3 本孙子算经的价格相同，求这两种书的单价 【分析】根据“购买 1 本九章算术和 2 本孙子算经需 105 元，购买 2 本九章算术与购买
25、3本孙子算经的价格相同”，可得到两个等量关系，列出方程组求解即可 解：设九章算术的单价为 x 元，孙子算经的单价为 y 元， 由题意可得， 解得， 九章算术的单价为 45 元，孙子算经的单价为 30 元 18图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图 （1）在图中以 AB 为边画 ABCD，使其面积为 8，点 C、D 均在格点上 （2）在图中以 AB 为边画 ABEF，使 tanE2，点 E、F 均在格点上 【分析】（1）作出底为 2，高为 4 的平行四边形 ABCD 即可
26、（2）根据要求作出图形即可 解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD 即为所求 （2）如图 2 中，四边形 ABEF 即为所求 19如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，AEAF，EFAC （1）求证：ABCD 是菱形 （2）若 BD4，tanAFE，则 AC 【分析】（1）由等腰三角形的性质得BACDAC，再由平行四边形的性质得 BCAD，则BCADAC，证出BACBCA，得 ABCB，即可得出结论； （2）由菱形的性质得 ACBD，OAOC，OBODBD2，再证 EFBD，得ADOAFE，因此 tanADO，求出 OAOD，即可求解 【
27、解答】（1）证明：AEAF，EFAC， BACDAC， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD， BCADAC， BACBCA， ABCB， ABCD 是菱形； （2）解：由（1）得：ABCD 是菱形， ACBD，OAOC，OBODBD2， EFAC， EFBD， ADOAFE， tanADOtanAFE， OAOD， AC2OA， 故答案为： 203 月 14 日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了 50 名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50 名
28、学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值） 信息二：第三组的成绩（单位：分）为 74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是 76 分，抽取的 50 名学生竞赛成绩的中位数是 78 分； （3）若该校共有 1500 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 80 分的约为 720 人 【分析】（1）计算出第 2 组 6070 组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的意义，分别求出第 3
29、组的众数，样本中位数； （3）样本估计总体，样本中 80 分以上的占，因此估计总体 1500 人的是 80 分以上的人数 解：（1）5041220410（人）， 补全频数分布直方图如图所示： （2）第 3 组数据出现次数最多的是 76，共出现 3 次，因此众数是 76， 抽取的 50 人的成绩从小到大排列处在第 25、26 位的两个数的平均数为78（分），因此中位数是 78， 故答案为：76，78； （3）1500720（人）， 故答案为：720 21已知 A，B 两地之间有一条长 240 千米的公路甲车从 A 地出发匀速开往 B 地，甲车出发半小时后，乙车从 A 地出发沿同一路线匀速追赶甲车
30、， 两车相遇后， 乙车原路原速返回 A 地 两车之间的距离 y （千米）与甲车行驶吋间 x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： （1）甲车的速度是 60 千米/时，乙车的速度是 80 千米/时，m 3.5 （2）求乙车返回过程中，y 与 x 之间的函数关系式 （3）当甲、乙两车相距 160 千米时，直接写出甲车的行驶时间 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据 2 小时时两车相遇可以计算出乙车的速度，然后根据乙车原路原速返回 A 地，可以写出 m 的值； （2）根据（1）中的结果，可以写出当 xm 时对应的 y 的值，从而可以求出乙车返回过程中，y
31、 与 x 之间的函数关系式； （3）将 y160 代入（2）中的函数解析式，求出相应的 x 的值，也就是当甲、乙两车相距 160 千米时，甲车的行驶时间 解：（1）由图象可得， 甲车的速度为：300.560（千米/时）， 乙车的速度为：602（20.5）80（千米/时）， m2+（20.5）2+1.53.5， 故答案为：60，80，3.5； （2）当 x3.5 时，y1.5（60+80）210， 设乙车返回过程中，y 与 x 之间的函数关系式是 ykx+b， 点（2，0），（3.5，210）在该函数图象上， ， 解得， 即乙车返回过程中，y 与 x 之间的函数关系式是 y140 x280（2x
32、3.5）； （3）当 y160 时，160140 x280， 解得 x， 答：当甲、乙两车相距 160 千米时，甲车的行驶时间是小时 22【教材呈现】华师版九年级上朋数学教材第 77 页的部分内容： 如图 1，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB，AC 的中点，可以猜想：DEBC 且 DEBC 请根据教材内容，结合图 1，写出证明过程 【结论应用】 如图 2，在ABC 中 AD 垂直于ABC 的平分线 BE 于点 E，且交 BC 边于点 D，点 F 为 AC 的中点若AB5，BC9，求 EF 的长 【拓展廷仲】 如图 3，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC3，D 为 AC 中点，将
33、 AD 绕点 A 逆时针旋转一定的角度 （0360），得到线段 AD1，连结 CD1，取 CD1的中点 E，连结 BE则BEC 面积的最大值为 + 【分析】【教材呈现】如图 1 中，作 CTAD 交 DE 的延长线于点 T利用全等三角形的性质证明四边形 DBCT 是平行四边形，再利用平行四边形的性质，解决问题即可 【结论应用】证明 AEDE，再利用三角形中位线定理，解决问题即可 【拓展廷仲】如图 3 中，连接 DE，过点 D 作 DHBC 于 H求出 DH，DE，推出点 E 在以 D 为圆心，为半径的圆上运动，可得点 E 到直线 BC 的最大距离DE+DH+1，由此即可解决问题 解：【教材呈现
34、】如图 1 中，作 CTAD 交 DE 的延长线于点 T AECT， 在AED 和CET 中， ， AEDCET（ASA）， ADCT，DEET， ADBD， BDCT， BDCT， 四边形 BDTC 是平行四边形， DTBC，DTBC， DEDT， DEBC，DEBC 【结论应用】如图 2 中， BEAD， BEABED90， BE 平分ABE， ABEDBE， ABE+BAE90，DBE+BDE90， BAEBDE， BABD， AEDE， AFFC， EFCD， ABBD5，BC9， CDBCBD954， EFCD2 【拓展廷仲】如图 3 中，连接 DE，过点 D 作 DHBC 于 H
35、在 RtABC 中，AB2，BC3， AC， ADDC， ADAC， DHAB，ADDC， BHHC， DHAB1， ADDC，ED1EC， DEAD1， 点 E 在以 D 为圆心，为半径的圆上运动， 点 E 到直线 BC 的最大距离DE+DH+1， BCE 的面积的最大值3（+1）+ 故答案为：+ 23如图，在 RtABC 中，ACB90，AB25，AC15，点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度向 A 运动，同时，点 Q 从 C 出发，以每秒 1 个单位的速度向 B 运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动连结 PQ，在射线 PB 上截取 PNPQ，以 PN、PQ 为边作P
36、QMN设运动时间为 t 秒（t0） （1）BC 的长为 20 （2）当PQMN 为正方形时，求 t 的值 （3）当PQMN 与ABC 的重叠部分为轴对称图形时，求 PQ 的长 （4）作点 C 关于直线 PQ 的对称点 C，当点 C、Q、C不共线，且CQC等于ABC 内角的 2 倍时，直接写出 t 的值 【分析】（1）在 RtABC 中，由勾股定理可直接求得结果； （2）由四边形 PQMN 是正方形得BPQ90，在 RtPBQ 中利用B 的三角函数关系列方程即可求出此时 t 的值； （3）PQMN 与ABC 的重叠部分为轴对称图形分两种情况，一是PQMN 与ABC 的重叠部分是等腰三角形，过点
37、P 作 PDBC 于点 D；二是PQMN 与ABC 的重叠部分的等腰梯形，过点 Q 作 QGAB于点 G，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求出相应的 t 值及 PQ 的长； （4）点 C、Q、C不共线，则CQC不能等于C 的二倍，当CQC2A 时，可证明BPQ90，由（2）即可得到此时 t 的值；当CQC2ABC，则可证明 PQPB，由（3）即可得到此时t 的值 解：（1）在 RtABC 中， ACB90，AB25，AC15， BC20， BC 的长为 20， 故答案为：20 （2）如图 1，四边形 PQMN 是正方形， BPQ90， cosB， BPBQ， BP2t，CQt， 2t（20t
38、）， t （3）如图 2，PQPB， PQMN 与ABC 的重叠部分是等腰三角形， PQMN 与ABC 的重叠部分为轴对称图形， 作 PDBC 于点 D，则PDB90， cosB， BDPB， BDBQ， （20t）2t， t， PQBP2t2； 如图 3，MN 交 BC 于点 F，BQPBPQ， MNPQ， BFNBQP，BNFBPQ， BFNBNF， BQBP，BFBN， BQBFBNBP， QFPN， PQMN 与ABC 的重叠部分为轴对称图形， 2t20t， t， BQBP2t2； 作 QGAB 于点 G，则BGQPGQ90， sinB，cosB， GQBQ8，BGBQ， PG， PQ
39、， 综上所述，PQ 的长为或 （4）延长 PQ 到点 E， 如图 4，CQC2A，则ACQC， QC与 QC 关于直线 PQ 对称， BQPCQECQECQC， BQPA， BQP+BA+B90， BPQ90， 由（1）得 t； 如图 5，CQC2ABC，则ABCCQC， BQPCQECQC， ABCBQP， PQPB， 则（2）得 t， 综上所述，t或 t 24在平面直角坐标系中，函数 yx2+mxm+2（xm）的图象记为 G （1）当 m4 时 求此函数的最大值 若点 A（a，y1）、B（a+，y2）都在图象 G 上，且 y1y2，则 a 的取值范围为 a （2）已知 M（5，0）、N（5
40、，5）、P（5，5）、Q（5，0），若过图象 G 的最高点且垂直于 y 轴的直线将矩形 MNPQ 的面积分成 1：4 的两个部分，求 m 的值 （3）若 C（+1，0），过点 C 作 CDx 轴，将图象 G 在直线 CD 上及直线 CD 左侧部分的图象记为M1，将 M1沿直线 CD 翻折后得到的图象记为 M2，M1和 M2组成图象记为 M若图象 M 上有且只有 4 个点到 x 轴的距离为 1，直接写出 m 的取值范围 【分析】（1）当 m4 时，yx2+4x2，将该函数解析式配成顶点式，可知图象 G 的最高点为抛物线 yx2+4x2 的顶点，可求出它的最大值； 由二次函数的性质可知，开口向下的
41、抛物线，距离对称轴越近的点对应的函数值越大，还应在 x4 的范围内，根据这些条件列不等式组可以求出 a 的取值范围； （2）根据矩形 MNPQ 的特点，先确定直线 y1 或直线 y4 将矩形 MNPQ 的面积分成 1：4 两个部分，所以过图象 G 的最高点且垂直于 y 轴的直线与直线 y1 或直线 y4 重合时， 才能将矩形 MNPQ 的面积分成 1：4 两个部分，根据这一条件列方程求出 m 的值； （3）设抛物线 yx2+mxm+2 沿直线 CD 翻折后得到的抛物线的对称轴为直线 xn，将 n 用含 m 的代数式表示，得到翻折后的抛物线的解析式，先确定图象 M 的最高点一定在 x 轴的上方，
42、再探究图象 M的最高点需要满足的条件，列不等式组求出 m 的取值范围即可 解：（1）如图 1，当 m4 时，yx2+4x2（x4）， yx2+4x2（x2）2+2， 抛物线 yx2+4x2 的对称轴为直线 x2， 24， 图象 G 的最高点为抛物线 yx2+4x2 的顶点， 当 x2 时，y最大2 如图 2，当 a2 时，y1y2， ， 解得a2； 当 a2 时，y1y2，且 A、B 都在图象 G 上， ， 解得 2a， 综上所述，a 的取值范围是a， 故答案为：a （2）矩形 MNPQ 的四个顶点分别为 M（5，0）、N（5，5）、P（5，5）、Q（5，0）， 直线 y1 或直线 y4 将矩
43、形 MNPQ 的面积分成 1：4 的两个部分， 如图 3，当 xm 时，ym2+m2m+2m+2， 当 m0 时，则 mm， 图象 G 的最高点为（m，m+2）， m+24 或m+21， 解得 m2 或 m1（不符合题意，舍去）； 如图 4，yx2+mxm+2（xm）2+m2m+2， 抛物线 yx2+mxm+2 的顶点坐标为（m，m2m+2）， 当 m0 时，则 mm， 图象 G 的最高点为抛物线 yx2+mxm+2 的顶点， m2m+21 或m2m+24， 由m2m+21 整理得 m24m+40， 解得 m1m22； 由m2m+24 整理得 m24m80， 解得 m12+2，m222（不符合
44、题意，舍去）， 综上所述，m 的值为2 或 2 或 2+2 （3）设抛物线 yx2+mxm+2 沿直线 CD 翻折后得到的抛物线的对称轴为直线 xn， （n+m）m+1， 解得 n2， 翻折后得到的抛物线的解析式为 y（x2）2+m2m+2， 即 yx2+4x+m2m2， 当 xm+1 时，y（m+12）2+m2m+2m2m+1， yx2+mxm+2（xm）2+m2m+2（xm）2+（m2）2+1， 且 ym2m+1（m）2+， 图象 M 的最高点一定在 x 轴的上方， 如图 5，当 mm+1 时，则 m， 图象 M 上有且只有 4 个点到 x 轴的距离为 1， ， 解得 m1m22； 或， 解得 m； 如图 6，当 mm+1 时，则 m， 图象 M 上有且只有 4 个点到 x 轴的距离为 1， ， 解得 m1m22（不符合题意，舍去）； 或m+21，解得 m1， 综上所述，m 的取值范围 m1 或 m2 或 m
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