1、宁远县宁远县 2021 年八年级年八年级上上期中质量监测数学试卷期中质量监测数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 下列各式是分式的是（ ） A. 13x B. 2a C. 3xy D. 11xx 2. 等腰三角形两边长分别为 8和 14，则这个三角形的周长为（ ） A. 22 B. 30 或 22 C. 36 D. 30或 36 3. 若分式1xx值为 0，则 x的值为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 0 4. 新冠病毒由蛋白质外壳和单链核酸组成，直径大约在 60140纳米（1纳米0.0000001厘米）某冠状病毒的直径约 0.0000135厘米数据“0.0000135”用科学记数法表示
2、为（ ） A. 1.35106 B. 13.5106 C. 1.35105 D. 0.135104 5. 下列说法正确是（ ） A. 命题一定是正确的 B. 定理都是真命题 C. 不正确的判断就不是命题 D. 基本事实不一定是真命题 6. 与分式abab 相等的是（ ） A. abab B. abab C. abab D. abab 7. 下列条件中，不能判定直线 CD 是线段 AB(C，D不在线段 AB 上)的垂直平分线的是（ ） A. CA=CB，DA=DB B. CA=CB，CDAB C. CA=DA，CB=DB D. CA=CB，CD平分 AB 8. 计算（1）023正确的是（ ） A
3、. 18 B. 78 C. 6 D. 7 9. AD是ABC中 BC 边上的中线，且 AB6，AC8，则三角形中线 AD的取值范围是（ ） A. 6AD8 B. 5AD12 C. 1AD7 D. 1AD6 10. 下列方程不是分式方程的是（ ） A. 32x B. 3325xx C. 153xx D. 214211xxx 11. 根据下列己知条件，能画出唯一的ABCV的是（ ） A. 3cmAB，7cmBC ，4cmAC B. 3cmAB，7cmBC ，40C C. 30A ，3cmAB，100B D. 30A ，100B ，50C 12. 计算6333aaa结果是（ ） A. 93aa B.
4、 1 C. 1 D. 2 二、填空题二、填空题 13. 计算：1xxx_ 14. 已知ABC的三边长 a、b、c，化简|abc|bac|的结果是_ 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则其底角为_度 16. 若关于 x的分式方程1xaax有增根，则 a_ 17. 如图为 6个边长相等的正方形的组合图形，则1+2+3_ 18 如图，已知ABC 中，CD 平分ACB交 AB 于 D，又 DEBC，交 AC 于 E，若 DE4cm，AE5cm，则 AC等于 _ 19. 计算113xx的结果是_ 20. 如图，已知每个小方格的边长为 1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一
5、个格点 C，使ABC是等腰三角形，这样的格点 C 有_个。 三、解答题三、解答题 21. 计算： (1)2332aa； (2)22112aaaaa. 22. 先化简，再求值： （131x ）22441xxx，其中 x3 23. 如图，在ABC 中，ABAC，BDCF，BECD （1）求证：BDECFD； （2）若A70 ，求EDF的度数 24. 解分式方程： （1）131xxxx （2）241042xx 25. 甲、乙两单位为爱心基金捐款，其中甲单位捐款 4800元，乙单位捐款 6000元已知乙单位捐款人数比甲单位多 50人，且两单位人均捐款数相等，问这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？
6、 26. 如图，已知ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点 D为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC上以 2厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，同时点 Q在线段 CA 上由 C点向 A点运动当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动设运动时间为 t （1）当点 P 运动 t秒时 CP 的长度为 （用含 t的代数式表示） ； （2）若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1秒后，BPD与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？ 27. 如图，点 O是等边三角形 ABC 内一点，A
7、OB=110 ，BOC=将BOC绕点 C按顺时针方向旋转60 得到ADC，连接 OD （1）求证：COD是等边三角形； （2）当 =150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD是以 OD为底边的等腰三角形？ 宁远县宁远县 2021 年八年级年八年级上上期中质量监测数学试卷期中质量监测数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 下列各式是分式的是（ ） A. 13x B. 2a C. 3xy D. 11xx 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义作答，一般地，如果 A，B表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式 【详解】解：A、是单项式，故本
8、选项不符合题意； B、是单项式，故本选项不符合题意； C、是单项式，故本选项不符合题意； D、是分式，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握一般地，如果 A，B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子AB 叫做分式是解题的关键 2. 等腰三角形的两边长分别为 8 和 14，则这个三角形的周长为（ ） A. 22 B. 30 或 22 C. 36 D. 30 或 36 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论当 8为腰或底，计算求解即可 【详解】解：当 8为腰时，等腰三角形的周长为：8+8+14=30； 当 8为底时，等腰三角形的周长为：8+14+14=36； 故
9、选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是会分类讨论，避免漏解 3. 若分式1xx值为 0，则 x的值为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分式的值为零，即分子为零，且分母不为零 【详解】解：分式1xx值为 0，则 1x =0，且0 x 即=1x， 故选：B 【点睛】本题考查分式的值为零，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 4. 新冠病毒由蛋白质外壳和单链核酸组成，直径大约在 60140纳米（1纳米0.0000001厘米）某冠状病毒的直径约 0.0000135厘米数据“0.0000135”用科学记数法表示为（ ） A. 1.35106 B. 1
10、3.5106 C. 1.35105 D. 0.135104 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n 为整数，据此判断即可 【详解】50.00001351.35 10 故选 C 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定，确定 a 与 n的值是解题的关键 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定是正确的 B. 定理都是真命题 C. 不正确的判断就不是命题 D. 基本事实不一定是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的
11、定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得 【详解】A、命题有真命题和假命题，此项说法错误； B、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确； C、不正确的判断是假命题，此项说法错误； D、基本事实是真命题，此项说法错误； 故选：B 【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键 6. 与分式abab 相等的是（ ） A. abab B. abab C. abab D. abab 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时乘-1 即可 【详解】解：abababababab ， 故选 B 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是灵活运用分式的基本性质
12、解决问题，属于基础题，中考常考题型 7. 下列条件中，不能判定直线 CD 是线段 AB(C，D不在线段 AB 上)的垂直平分线的是（ ） A CA=CB，DA=DB B. CA=CB，CDAB C. CA=DA，CB=DB D. CA=CB，CD平分 AB 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的概念逐个判断即可 【详解】解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直线 CD 是线段 AB(C，D不在线段 AB上)的垂直平分线，不符合题意； B、CA=CB，CDAB，可以判定直线 CD是线段 AB(C，D 不在线段 AB 上)的垂直平分线，不符合题意； C、CA=DA，CB=DB，不能判定直
13、线 CD是线段 AB(C，D 不在线段 AB 上)的垂直平分线，符合题意； D、CA=CB，CD平分 AB，可以判定直线 CD 是线段 AB(C，D不在线段 AB 上)的垂直平分线，不符合题意 故选：C 【点睛】此题考查了垂直平分线的概念，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的概念 8. 计算（1）023正确的是（ ） A. 18 B. 78 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据负指数幂运算法则 a-p=1pa（a0，p 为正整数） ，零指数幂运算法则：a0=1（a0）进行计算即可得出答案 【详解】解：原式=311711288 故选：B 【点睛】本题主要考查了负指数幂及零指数幂，熟
14、练应用负指数幂和零指数幂的运算法则进行计算是解决本题的关键 9. AD是ABC中 BC 边上的中线，且 AB6，AC8，则三角形中线 AD的取值范围是（ ） A. 6AD8 B. 5AD12 C. 1AD7 D. 1AD6 【答案】C 【解析】 【分析】利用倍长中线法，构造全等三角形，把 AD转化到三角形中，应用三边关系列不等式计算 【详解】解：如图，延长 AD 到点 E，使 EDAD，连接 CE， BDCD，CDEBDA，DEAD， CDEBDA（SAS） ， CEAB6， 在 ACE 中，ACCEAE，ACCEAE， 682AD，862AD， 1AD7， 故选 C 【点睛】 三角形中， 若
15、已知两边长度分别为 a、 b （ab） ， 则第三边上的中线x的长度满足：-22a babx 10. 下列方程不是分式方程的是（ ） A. 32x B. 3325xx C. 153xx D. 214211xxx 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断 【详解】解：A、方程分母中含有未知数 x，分式方程，故本选项不符合题意； B、方程分母中不含有未知数 x，不是分式方程，故本选项符合题意； C、方程分母中含有未知数 x，是分式方程，故本选项不符合题意； D、方程分母中含有未知数 x，是分式方程，故本选项不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了
16、分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母） 11. 根据下列己知条件，能画出唯一的ABCV的是（ ） A 3cmAB，7cmBC ，4cmAC B. 3cmAB，7cmBC ，40C C. 30A ，3cmAB，100B D. 30A ，100B ，50C 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个三角形全等的三个判定定理逐项判断即可完成 【详解】A、此三条线段不能围成一个三角形，故不能画出； B、已知两边的长和其中 AB 边的对角，根据全等三角形的判定方法是不能画出三角形； C、已知两个角和这
17、两个角的夹边，根据 ASA 判定定理可以画出三角形； D、 已知三个角， 根据两个三角形全等的判定方法， 可心画出这个三角形， 但画出的这样的三角形有无数个，故不合题意； 故唯一可以画出三角形的只有选项 C符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握三个判定定理是关键 12. 计算6333aaa的结果是（ ） A. 93aa B. 1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将分式转化为分母相同的分式，然后相加约分即可得出答案 【详解】解：原式6363313333aaaaaaa ， 故选：C 【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是最
18、简公分母 二、填空题二、填空题 13. 计算：1xxx_ 【答案】3x 【解析】 【分析】根据分式的乘法和除法运算，将除法转化为乘法运算，进而根据同底数幂的乘法进行计算即可 【详解】1xxx3xxxx 故答案为：3x 【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，同底数幂的乘法运算，将除法转化为乘法运算是解题的关键 14. 已知ABC的三边长 a、b、c，化简|abc|bac|的结果是_ 【答案】22bc#-2c+2b 【解析】 【分析】根据三角形三边关系以及绝对值的意义化简即可 【详解】解：ABCQ的三边长分别是a、b、c， abc ，bac， 0a b c ，0bac ， |()22abcbacab
19、cbacabcbacbc ； 故答案为：22bc 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的意义，熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则其底角为_度 【答案】67.5或22.5 【解析】 【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可 【详解】解：如图 1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，45ABM， 又BM是 AC边上的高， 90AMB， 904545A ， 1(18045 )67.52C 如图 2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，45DEN， EN是 DF边上的
20、高 90N， 904545EDN， 122.52FEDN 故答案为67.5或22.5 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，涉及了三角形内角和和外角和的性质，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案 16. 若关于 x的分式方程1xaax有增根，则 a_ 【答案】1 【解析】 【分析】去分母，化分式方程为整式方程(1)xaa x,分式方程产生增根,将1x 代入整式方程即可求得a的值 【详解】Q分式方程1xaax有增根， 1x 去分母，得： (1)xaa x 10a 解得1a 故答案为：1 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，掌握解分式方程是解题的关键 17. 如图为
21、 6个边长相等的正方形的组合图形，则1+2+3_ 【答案】135 【解析】 【分析】观察图形可知1 与3互余，利用这一关系可解此题 【详解】解：观察图形可知： BCDEACBBEDACBE Q ABCBDE(SAS)， 1DBE， 又DBE390 ， 1390 1+2+3=90+45=135， 故答案为：135 【点睛】本题考查了全等图形、直角三角形的两个锐角互余等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 18. 如图，已知ABC 中，CD 平分ACB交 AB于 D，又 DEBC，交 AC 于 E，若 DE4cm，AE5cm，则 AC等于 _ 【答案】9cm 【解析】 【分析】首先根据角平分
22、线的性质得出ACDDCB，进而利用平行线的性质得出EDCECD，即可得出 DEEC进而求出即可 【详解】解：CD平分ACB交 AB于 D， ACDDCB， DEBC， EDCDCB， EDCECD， DEEC4cm， AE5cm， ACAEEC549（cm） 故填：9cm 【点睛】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键 19. 计算113xx的结果是_ 【答案】23x 【解析】 【分析】先通分，再相加即可求得结果 【详解】解：1131333xxxx 23x， 故答案为：23x 【点睛】此题考察分式的加法，先通分化为同分母分式再相加即可
23、 20. 如图，已知每个小方格的边长为 1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C，使ABC是等腰三角形，这样的格点 C 有_个。 【答案】8 【解析】 【分析】分别以 A、B 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可（A、B、C 共线除外） ；此外加上在 AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案. 【详解】解：以 A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可， （A、B、C 共线除外） ；以 B点为圆心，AB为半径作圆，在B上的格点为 C 点；在 AB 的垂直平分线上有两个格点故使ABC是等腰三角形的格点C有 8个 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形
24、，利用数形结合解决问题 三、解答题三、解答题 21. 计算： (1)2332aa； (2)22112aaaaa. 【答案】 （1）136a； （2）12aa. 【解析】 【分析】（1）根据异分母分式加法法则计算； （2）根据分式的除法法则和因式分解计算 【详解】（1）2332aa=49 66aa=136a； （2）22112aaaaa=1121aaaa aa=12aa 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的除法法则、分式的约分和通分法则是解题的关键 22. 先化简，再求值： （131x ）22441xxx，其中 x3 【答案】12xx，45 【解析】 【分析】先将括号内的通分计算，再进
25、行除法运算，同时进行因式分解，化简原式后，代入数值即可解答 【详解】解： （131x ）22441xxx =22(1)(1)1(2)xxxxx =12xx， 将 x3代入，则原式 3 132 45 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握分式的化简步骤是解答的关键 23. 如图，在ABC 中，ABAC，BDCF，BECD （1）求证：BDECFD； （2）若A70 ，求EDF的度数 【答案】 （1）见解析； （2）55 【解析】 【分析】 （1）先由等腰三角形的性质得BC，再由 SAS证明三角形全等即可； （2） 先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得BC55
26、 ， 则BEDBDE180 B125 ，再由全等三角形的性质得BEDCDF，即可解决问题 【详解】 （1）证明：ABAC， BC， 在BDE与CFD 中， BD=CFB= CBE=CD， BDECFD（SAS） ； （2）解：A70 ， BC12（180 70 ）55 ， BEDBDE180 B125 ， BDECFD， BEDCDF， CDFBDE125 EDF180 125 55 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键 24. 解分式方程： （1）131xxxx （2）241042xx 【答案】 （1）x=-3； （
27、2）该方程无解 【解析】 【分析】 （1）去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后，验根即可； （2）去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后，验根即可 【详解】解： （1）去分母得：(1)(1)(3)x xxx， 去括号得：2223xxxx， 移项合并同类项得：3x ， 经检验3x 是该方程的根， 所以原方程的解为 x=-3； （2）去分母得：420 x， 解得：2x， 经检验2x是该方程的增根，即该方程无解 【点睛】 本题考查解分式方程解分式方程其实就是去分母将分式方程化为整式方程后求解， 注意要验根 25. 甲、乙两单位为爱心基金捐款，其中甲单位捐款 4800元，乙单位捐款 6000
28、元已知乙单位捐款人数比甲单位多 50人，且两单位人均捐款数相等，问这两单位共有多少人捐款？人均捐款额多少？ 【答案】450人；24元 【解析】 【分析】设甲单位捐款人数为 x 人，由题意列出分式方程并解出分式方程后可以得到问题解答 【详解】解：设甲单位捐款人数为 x 人，则乙单位捐款人数为50 x人 由题意可得：48006000050 xx 解方程得：200 x 经检验，x=200 是原方程的解且符合实际情况， 所以甲单位捐款人数为 200 人， 从而乙单位捐款人数为 250 人，人均捐款额为480024200元 答：这两单位有 450 人捐款，人均捐款额为 24元. 【点睛】本题考查分式方程
29、的应用，设定合适的未知数并根据题目的数量关系列出方程求解是解题关键 26. 如图，已知ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点 D为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC上以 2厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，同时点 Q在线段 CA 上由 C点向 A点运动当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动设运动时间为 t （1）当点 P 运动 t秒时 CP 的长度为 （用含 t的代数式表示） ； （2）若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1秒后，BPD与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点 Q运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与
30、CQP全等？ 【答案】 （1）62t cm； （2）全等，理由见解析； （3）83厘米/秒 【解析】 【分析】 （1）先表示出 BP，根据 PC=BC-BP，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据 SAS判定两个三角形全等 （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度 时间公式，先求得点 P 运动的时间，再求得点 Q的运动速度 【详解】 （1）BP=2t，则 PC=BC-BP=6-2t； 故答案为：(6-2t)cm （2）当 t=1 时，BP=CQ=2 1=2厘米， AB=8厘米，点 D为 AB的中点， BD=4厘米 又PC=BC-BP，BC
31、=6 厘米， PC=6-2=4 厘米， PC=BD， 又AB=AC， B=C， 在BPD和CQP 中， BDPCBCBPCQ ， BPDCQP（SAS） ； vPvQ， BPCQ， 又BPDCPQ，B=C， BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm， 点 P，点 Q 运动的时间322PBt (秒)， VQ=48332CQt（厘米/秒） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要运用了路程=速度 时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质 27. 如图，点 O是等边三角形 ABC 内一点，AOB=110 ，BOC=将BOC绕点 C按顺时针方向旋转60 得到ADC，连接 OD （1）求
32、证：COD是等边三角形； （2）当 =150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD是以 OD为底边的等腰三角形？ 【答案】 （1）证明见解析； （2）AOD 是直角三角形，理由见解析； （3）125 【解析】 【分析】 （1）根据图形旋转的性质，得 OC=DC，OCD=60，进而即可得到结论； （2）由等边三角形的性质得ODC=60，结合ADC=BOC=150，即可得到结论； （3）由题意得AOD=-60，结合周角的定义，列出关于 的方程，即可求解 【详解】 （1）将BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60得到ADC， OC=DC，OCD=60， COD 是等边三角形； （2）AOD 是直角三角形，理由如下： COD 是等边三角形， ODC=60， ADC=BOC=150， ADO=ADC-CDO=150-60=90， AOD 是直角三角形； （3） AOD是以 OD为底边的等腰三角形， ADO=AOD=ADC-60=-60， 110+（60+AOD）=360， 110+（60+-60）=360， =125， 当 =125时，AOD是以 OD为底边的等腰三角形 【点睛】 本题主要考查旋转的性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形和等腰三角形的性质定理，是解题的关键
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