1、专题专题 0909 分类讨论思想分类讨论思想 专题概述：专题概述： 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法， 培养用数学思想方法解决问题的意识 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中
2、提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 名词诠名词诠释：释： 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则： （1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论应逐级进行
3、正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏 运用举例：运用举例： 一分类讨论在数轴中的运用 1已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 【点睛】从题目中寻找关键的解题信息， “数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题 【详解】解：设甲数为 x，乙数为 y 由题意得：|x|3|y|， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若 x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，y0，故 y+x8，
4、即 y+3y8，则 4y8，所以 y2，x6， 若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，则4y8，所以 y2，x6； （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若 x、y 在原点左侧，即 x0，y0，则2y8，所以 y4，x12， 若 x、y 在原点右侧，即 x0，y0，则 2y8，所以 y4，x12 二分类讨论思想在绝对值中的运用 2已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 2 倍，两数在数轴上对应两点之间的距离为 6，这两数的积为 72，8 【点睛】根据绝对值的定义和正负数的意义，利用分类讨论的思想：同在原点的右侧，设乙为 x，则甲为 2x，由题意可得 2xx6，可得甲数和乙数；若同在原
5、点的左侧，设乙为 x，则甲为 2x，x2x6，可得甲数和乙数；在原点的两侧，设乙为 x，则甲为2x，由题意可得 x+2x6，可得甲数和乙数；若原点的两侧，设乙为x，则甲为 2x，x+2x6，可得甲数和乙数再写出即可求解 【详解】解：同在原点的右侧，设乙为 x，则甲为 2x，由题意可得 2xx6， 解得 x6， 2x12， xy61272； 若同在原点的左侧，设乙为 x，则甲为 2x，由题意可得 x2x6， 解得 x6， 2x12， xy（6）（12）72； 在原点的两侧，设乙为 x，则甲为2x，由题意可得 x+2x6， 解得 x2， 2x4， xy2（4）8； 若原点的两侧，设乙为x，则甲为
6、2x，由题意可得 x2x6， 解得 x2， 2x4， xy248； 故这两数的积为 72，8 故答案为：72，8 三分类讨论思想在有理数混合运算中的运用 3 （1）若 a216，|b|3，且 ab0，求 a+b 的值； （2）已知 a、b 互为相反数且 a0，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 5，求 m2（1）+20152016（a+b）cd 的值 【点睛】 （1）根据 a216，|b|3，且 ab0，可以得到 a、b 的值，从而可以求得 a+b 的值； （2）根据 a、b 互为相反数且 a0，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 5，可以得到 a+b、cd、m2的值，从而可以求得所求式子的值 【
7、详解】解： （1）a216，|b|3， a4，b3， 又ab0， a4，b3 或 a4，b3， 当 a4，b3 时，a+b4+（3）1， 当 a4，b3 时，a+b（4）+31； （2）a、b 互为相反数且 a0，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 5， a+b0，cd1，m225， m2（1）+20152016（a+b）cd 25+1+20152016 0 1 25+1+01 25 四分类讨论思想在实际中应用 4某商店 5 月 1 日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用 168 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的 8 折优惠；方案二：若
8、不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的 9.5 折优惠已知小敏不是该商店的会员 （1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为 120 元时，实际应支付多少元？ （2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？ （3）购买商品的价格 1120 时，采用方案一更合算 【点睛】 （1）根据实际支付费用商品价格折扣率即可算出结果； （2）假设她购买商品的价格为 x 元时，两个方案所付金额相同，根据两种方案所付金额相同即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设她购买商品的价格为 y 元时，采用方案一更合算，根据方案一所付金额小于方案为所付金额即可得
9、出关于 y 的一元一次不等式，解之即可得出结论 【详解】解： （1）1209.510=114（元） 答：实际应支付 114 元 （2）设她购买商品的价格为 x 元时，两个方案所付金额相同， 根据题意得：168+810 x=9.510 x， 解得：x1120 答：她购买商品的价格为 1120 元时，两个方案所付金额相同 （3）设她购买商品的价格为 y 元时，采用方案一更合算， 根据题意得：168+810y9.510y， 解得：y1120 故答案为：1120 五分类讨论思想在动点函数图象中的运用 5如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BC
10、CDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（s） ，BPQ 的面积为 y（cm2） ，则 y 关于 x 的函数图象是（ ） AB CD 【点睛】首先根据正方形的边长与动点 P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动点 P 可以在 BC边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论：0 x1；1x2；2x3；分别求出 y 关于x 的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解 【详解】解：由题意可得 BQx 0 x1 时，P 点在 BC 边上，BP3x， 则BP
11、Q 的面积=12BPBQ， 解 y=123xx=32x2；故 A 选项错误； 1x2 时，P 点在 CD 边上， 则BPQ 的面积=12BQBC， 解 y=12x3=32x；故 B 选项错误； 2x3 时，P 点在 AD 边上，AP93x， 则BPQ 的面积=12APBQ， 解 y=12 （93x） x=92x32x2；故 D 选项错误 故选：C 六分类讨论思想在抛物线与 x 轴交点问题中的运用 6已知 m 为实数，如果函数 y2mx2+（m+2）x+1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，那么 m 的值为 0 或2 【点睛】分类讨论：当 2m0 时，即 m0，函数为一次函数，其图象与 x 轴有
12、且只有一个交点；当 2m0，即 m0 时，函数为二次函数，根据抛物线与 x 轴的交点问题，当（m+2）242m0 时，抛物线与 x 轴有且只有一个交点，然后解关于 m 的一元二次方程 【详解】解：当 2m0 时，即 m0，函数解析式变形为 y2x+1，此函数为一次函数，其图象与 x 轴有且只有一个交点； 当 2m0，即 m0 时，函数图象为抛物线，当（m+2）242m0 时，抛物线与 x 轴有且只有一个交点，解得 m2， 所以当 m0 或 2 时，函数 y2mx2+（m+2）x+1 的图象与 x 轴有且只有一个交点 故答案为 0 或 2 7已知关于 x 的二次函数 y（m+6）x2+2（m1）
13、x+m+1 的图象与 x 轴总有交点，求 m 的取值范围 【点睛】因为题中条件要求该函数为关于 x 的二次函数，所以只用根据二次函数与 x 轴交点的个数的判定，即 b24ac 与 0 的等量关系即可 【详解】解：关于 x 的二次函数 y（m+6）x2+2（m1）x+m+1 的图象与 x 轴总有交点， 所以 4（m1）24（m+6） （m+1）0， 解得 59， 又因为该函数是关于 x 的二次函数， 所以 m+60，所以 m6， 所以 m 的取值范围是： 59且 6 七分类讨论思想在几何中的运用七分类讨论思想在几何中的运用 8如果三角形的两条边长分别为 23cm 和 10cm，第三边与其中一边的长相等，那么该三角形的周长为 56cm 【点睛】题目给出等腰三角形有两条边长分别为 23cm 和 10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【详解】解：当腰为 23cm 时，周长23+23+1056cm； 当腰长为 10cm 时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为 23cm，这个三角形的周长是 56cm 故答案为：56cm
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