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    中考数学一轮复习基础考点一遍过 第14课时 二次函数的综合应用(含答案)

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    中考数学一轮复习基础考点一遍过 第14课时 二次函数的综合应用(含答案)

    1、第三单元第三单元 函数函数 第第 14 课时课时 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 点对点课时内考点巩固60 分钟 1. (2019 陕西黑白卷)已知抛物线 C1: yax24xc 与 x 轴交于 M(4, 0)和 N 两点, 且抛物线过点 A(2,4) (1)求抛物线 C1的表达式; (2)抛物线 C2与抛物线 C1关于直线 xm(m2)对称,点 M 的对应点为 P,若AMP 是等腰三角形,求 m 的值及抛物线 C2的表达式 第 1 题图 2. 如图,抛物线 L:yax2bxc 与 x 轴交于 A(2,0)、B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,2) (1)求抛物线 L 的表达式;

    2、 (2)如何平移抛物线 L, 使平移后的抛物线 L经过点 A, 且在抛物线 L上有一点 M, 使CBM 是以CBM为直角的等腰直角三角形 第 2 题图 3. 已知抛物线 L: yax252xc 经过点 A(0, 2)、 B(5, 2), 且与 x 轴交于 C、 D 两点(点 C 在点 D 左侧) (1)求点 C、D 的坐标; (2)判断ABC 的形状; (3)把抛物线 L 向左或向右平移,使平移后的抛物线 L与 x 轴的一个交点为 E,是否存在以 A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出抛物线 L的表达式;若不存在,请说明理由 4. (2018 西安铁一中模拟)二次函数 yax

    3、2bxc(a0)的图象顶点为 A(5,4),与 x 轴交于点 B(2,0) (1)求二次函数的表达式; (2)将原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转 180 ,得到的新抛物线与 x 轴的一个交点为点 C,若新抛物线上存在一点 D,使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是以 AB 为边的菱形,求新抛物线的表达式 5. (2019 陕西黑马卷)如图,已知抛物线 L:yax2bx4 与 x 轴交于 A(1,0),B(4,0)两点,与 y轴交于点 C. (1)求抛物线 L 的表达式; (2)若抛物线 L 关于原点对称的抛物线为 L,求抛物线 L的表达式; (3)在抛物线 L上是否存在一点 P,使得 SAB

    4、C2SABP,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 第 5 题图 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 C1:yx2沿 x 轴翻折,再平移得到抛物线 C2,恰好经过点A(3,0)、B(1,0),抛物线 C2与 y 轴交于点 C,抛物线 C1与抛物线 C2的对称轴交于点 D. (1)求抛物线 C2的表达式; (2)在抛物线 C2的对称轴上是否存在一点 M, 使得以 M、 O、 D 为顶点的三角形与BOD 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 参考答案参考答案 第第 14 课时课时 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 点对面跨板块考点迁移 1. 解:(1)抛物

    5、线 C1:yax24xc 过点 M(4,0)和点 A(2,4), 16a16c04a8c4,解得a1c0, 抛物线 C1的表达式为 yx24x; (2)令 x24x0,解得 x10,x24, 点 N 的坐标为(0,0) 易得抛物线 C1的对称轴为直线 x2,且点 A(2,4)为抛物线 C1的顶点 若AMP 是等腰三角形, 分为以下三种情况:如解图,设点 P 的坐标为(x,0), 当 AMAP1时, 点 M 与点 P1关于直线 x2 对称, 直线 xm 与抛物线 C1的对称轴 x2 重合, m2,此时不符合题意,故舍去; 当 MP2AP2时, 有(x4)2(x2)216, 解得 x1, P2(1

    6、,0), m41232. 顶点 A 关于直线 x32对称的点为 A1(1,4) , 抛物线 C2的表达式为 y(x1)24; 当 MP3AM,MP4AM 时, 有(x4)22242, 解得 x4 2 5, P3(42 5,0),P4(42 5,0), m4 5, 顶点 A 关于直线 x4 5,x4 5的对称点分别为 A2(62 5,4),A3(62 5,4), 抛物线 C2的表达式为 y(x62 5)24 或 y(x62 5)24. 综上所述,当AMP 是等腰三角形时,m 的值为32,4 5或4 5,此时抛物线 C2的表达式分别为 y(x1)24 或 y(x62 5)24 或 y(x62 5)

    7、24. 第 1 题解图 2. 解:(1)设抛物线 L 的表达式为 ya(x2)(x4), 代入 C(0,2)得8a2, 解得 a14, 抛物线 L 的表达式为 y14(x2)(x4)14x212x2; (2)如解图,过点 M 作 MDx 轴,垂足为点 D. 第 2 题解图 CBM 是以CBM 为直角的等腰直角三角形, BCOMBD, MDBO4,BDOC2, 若点 M 在第一象限,则 M1(6,4); 若点 M 在第四象限,则 M2(2,4) 设平移后的抛物线 L表达式为 y14()xh2k. 把 A(2,0)及点 M 坐标分别代入得14()2h2k014()6h2k4或14()2h2k014

    8、()2h2k4, 解得h3k254或h2k0, 平移后的抛物线 L的表达式为 y14()x32254或 y14()x22, 抛物线 L 的表达式为 y14x212x214()x1294, 将抛物线 L 先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度或先向左平移 3 个单位长度,再向下平移94个单位长度,即可得到符合题意的抛物线 L. 3. 解:(1)将点 A(0,2)、B(5,2)代入 yax252xc, 得c225a252c2,解得a12c2. 抛物线 L 的表达式为 y12x252x2, 令 y0,即12x252x20, 解得 x11,x24. C(1,0),D(4,0); (2)

    9、A(0,2)、B(5,2)、C(1,0), AB5, AC 12(2)2 5, BC (51)2222 5, AB2AC2BC2, ABC 为直角三角形; (3)存在 设抛物线 L的表达式为 y12(xm)252(xm)2, 以 A、B、C、E 为顶点的四边形为平行四边形,且点 E 在 x 轴上, CEAB,CEAB5, C(1,0), 点 E 的坐标为(6,0)或(4,0), 当点 E 的坐标为(6,0)时,12(6m)252(6m)20, 解得 m12,m25. 此时抛物线 L的表达式为 y12x292x9 或 y12x2152x27; 当点 E 的坐标为(4,0)时,12(4m)252(

    10、4m)20, 解得 m15,m28. 此时抛物线 L的表达式为 y12x252x2 或 y12x2112x14. 4. 解:(1)顶点为 A(5,4), 二次函数表达式可写为 ya(x5)24. 将点 B(2,0)代入得 9a40. 解得 a49. 该二次函数的表达式为 y49(x5)2449x2409x649; (2)点 A(5,4),B(2,0), AB5, 以点 A、B、C、D 为顶点且以 AB 为边的四边形是菱形,分以下两种情况讨论: 当 CD 在 x 轴上方时, 点 C 在 x 轴上, ABAC5, 当点 C 在点 B 左侧时, 点 A 为原抛物线的顶点,由抛物线对称性可知,点 C

    11、为原抛物线与 x 轴的另一个交点,如解图, C(8,0), 此时,点 D 与点 A 关于 x 轴对称, D(5,4), 此时新抛物线的表达式为 y 49(x5)2449x2409x649; 当点 C 在点 B 右侧时,此时点 C 与点 B 重合,不合题意; 当 CD 在 x 轴下方时,BCAB5,分点 C 在点 B 的右侧和左侧两种情况,如解图,当点 C 在点 B的右侧时,点 C的坐标(3,0), 以 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形, D(0,4), 原抛物线绕坐标平面内某一点旋转 180 得到新抛物线, 设新抛物线表达式为 y49x2mxn, 点 C,D均在新抛物线上, 4993mn0

    12、n4, 解得m83n4, 新抛物线的表达式为 y49x283x4; 同理,当点 C 在点 B 的左侧时,点 C的坐标为(7,0),此时 D的坐标为(10,4), 此时新抛物线的表达式为 y49x2569x1969. 综上所述,新抛物线的表达式为 y49x2409x649或 y49x283x4 或 y49x2569x1969. 第 4 题解图 5. 解:(1)将点 A(1,0),B(4,0)代入 yax2bx4 中得, ab4016a4b40,解得a1b3, L:yx23x4; (2)点 A(1,0),B(4,0),C(0,4)关于原点对称的点坐标分别为(1,0),(4,0),(0,4), 设

    13、L的抛物线解析式为 ym(x1)(x4), 将点(0,4)代入得,m1, L:y(x1)(x4)x23x4; (3)存在 AB5, SABC12AB OC10, SABC2SABP, SABP5, 12AB |yP|5, |yp|2, yp 2, 将 yp2 代入 yx23x4 中得, x13 332,x23 332, 点 P 的坐标为(3 332,2)或(3 332,2); 将 yp2 代入 yx23x4 中得, x33 172,x43 172, 点 P 的坐标为(3 172,2)或(3 172,2) 综上所述,点 P 的坐标为(3 332,2),(3 332,2),(3 172,2),(3

    14、 172,2) 6. 解:(1)设抛物线 C2的表达式为 ya(x3)(x1), 由翻折及平移的性质可知抛物线 C1与抛物线 C2的开口大小相同,方向相反, 抛物线 C2的二次项系数为 1,即 a1, 抛物线 C2的表达式为 y(x3)(x1)x22x3; (2)存在如解图,设抛物线 C2的对称轴与 x 轴交于点 E. 第 6 题解图 抛物线 C2的对称轴为直线 x1, 点 E 的坐标为(1,0), 将 x1 代入 yx2,得 y1, D(1,1), OEDE1, OED 为等腰直角三角形, OD 2,EODEDO45 , DOB180 EOD135 , 在 RtEDB 中,DB EB2ED2 5, DOB135 ,EDO45 , 点 M 只能在点 D 下方 ODMBOD135 , 当MDODODOB时,MD221,解得 MD2, 点 M 的坐标为(1,3), 当MDODOBOD时,MD212,解得 MD1, 点 M 的坐标为(1,2) 综上所述,存在满足题意的点 M,点 M 的坐标为(1,3)或(1,2)


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