1、2020-2021 学年度九年级上册数学期中考试卷学年度九年级上册数学期中考试卷 考试范围：一元二次方程-垂径定理；考试时间：90 分钟 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列方程是一元二次方程的是（ ） A21xy B2230 xx C213xx D56xy 3下列命题中不正确的是（ ） A圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 B圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 C图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等 D平分弦的直径一定垂直于这条弦 4如图，将 ABC
2、绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AED，若 AB=4，AC=3，BC=2，则 BE 的长为（ ） A5 B4 C3 D2 5如图，CD是Oe的直径，弦ABCD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ） AAEBE BADBD COEDE DACBC 6由二次函数22(3)1yx，可知（ ） A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 x=-3 C其最小值为 1 D当 x2）半径为 4，函数yx的图像被P 截得的弦 AB 的长为4 3，则 a 的值是_ 三、解答题一（每小题三、解答题一（每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18解方程：210 xx ； 19 ABC 在平面直角
3、坐标系中的位置如图所示，其中每 个小正方形的边长为 1 个单位长度按要求作图： 画出 ABC 关于原点 O 的中心对称图形 A1B1C1； 画出将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AB2C2， A1B1C1中顶点 A1坐标为_ 20汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司 2016 年盈利 1500 万元，到 2018 年盈利2160 万元，且从 2016 年到 2018 年，每年盈利的年增长率相同. （1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2019 年盈利多少万元？ 21如图点 O 是等边ABCV内一点，110 ,AOBBOC，ACD=B
4、CO，OC=CD， （1）试说明：CODV是等边三角形； （2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由； （3）当BOC为多少度时，AOD是等腰三角形 22已知关于x的方程22210 xxk 有实数根 (1)求k的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x、2x，且211212xxxxxx，试求 k 的值 23如图，CD 为圆 O 的直径，CDAB，垂足为 F，AOBC，垂足为 E，连接 AC （1）求B 的度数 （2）若4 3CE ，求圆 O 的半径 24某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元
5、，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时，月销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 25如图，抛物线顶点 P（1，4） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于点 A，B （1）求抛物线的解析式 （2）Q 是抛物线上除点 P 外一点， BCQ 与 BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标 （3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作
6、直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E是否存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1D 2B 3D 4B 5C 6C 7B 8D 9C 10B 114 12 （3，2） 1335 14-3 1532 161x3 . 1742 2 18121515,22xx ； 【详解】 解： （1）210 xx ， 111abc， 22414 1 ( 1)5bac ， 241522bbacxa ， 121515,22xx ； 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程求根公式，准确进行计算 19 （
7、1，2） 【详解】 解：如图， ABC 与 A1B1C1关于原点 O 的中心对称； 如图， AB2C2是由 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 得到的三角形； 由图可得， A1B1C1中顶点 A1坐标为（1，2） 20 （1）20%； （2）2592 万元 解： （1）设平均年增长率为x， 根据题意得：21500 12160 x， 整理得：211.44x， 开方得：11.2x， 解得：0.220%x 或2.2x（舍去） ， 则平均年增长率为20%； （2）根据题意得：21601 20%2592（万元） ， 则 2019 年盈利 2592 万元 21(1)见解析；(2) AOD 是直角三角形，理
8、由见解析；(3) 110 或 125 或 140 时， AOD 是等腰三角形. 【详解】 (1)ACD=BCO ACD+ACO=BCO+ACO=60 又CO=CD COD 是等边三角形； (2)COD 是等边三角形 CO=CD 又ACD=BCO，AC=BC ACDBCO（SAS） ADC=BOC=150， COD 是等边三角形， ADC=BOC=150， COD 是等边三角形， CDO=60 ， ADO=ADCCDO=90 ， AOD 是直角三角形； (3)COD 是等边三角形， CDO=COD=60 ， ADO=60,AOD=36060110=190， 当AOD=ADO 时, AOD 是等腰
9、三角形,即 190=60,解得 =125； 当AOD=DAO 时, AOD 是等腰三角形,即 2(190)+60=180,解得 =140； 当ADO=DAO 时, AOD 是等腰三角形,即 190+2(60)=180,解得 =110， 综上所述,BOC 的度数为 110 或 125 或 140 时， AOD 是等腰三角形. 22(1)1k ；(2)52k . 【分析】 (1)根据一元二次方程22210 xxk 有两个不相等的实数根得到224 210k ，求出k的取值范围即可； (2)根据根与系数的关系得出方程解答即可 【详解】 (1)解：原方程有实数根， 240bac，224 210k， 1k
10、 . (2)1x，2x是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： 122xx，1221xxk， 又211212xxxxxx， 22121212xxxxxx， 221212122xxx xxx， 2222 2121kk， 解之，得：152k ，252k 经检验，都符合原分式方程的根， 1k ， 52k 【点睛】 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出 k 的取值范围，此题难度不大 23 （1）60 ； （2）8 【详解】 解： （1）AOBCQ，AO过点O， CEBE， ABAC， CDABQ，CD过点O， AFBF， ACBC， ABB
11、CAC， ABCV为等边三角形， 60B， （2）AOBCQ， 90OEC， CDABQ， 90CFB， 又60B ， 9030BCDB ， 12OEOC， 设OCx，则12OEx， 4 3CE ，且222OECEOC， 2221()(4 3)2xx， 解得：8x （舍负） ， 8OC ， 即Oe的半径为 8 24 （1）y=-10 x2+130 x+2300(0 x10 且 x 为正整数)； （2）每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为2520 元； （3）每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2720 元 【详解】 解： （1）根据题意得
12、： y=（30+x-20） （230-10 x）=-10 x2+130 x+2300， 自变量 x 的取值范围是：0 x10 且 x 为正整数； 函数关系式为 y=-10 x2+130 x+2300(0 x10 且 x 为正整数)； （2）当 y=2520 时，得-10 x2+130 x+2300=2520， 解得 x1=2，x2=11（不合题意，舍去） ， 当 x=2 时，30+x=32（元） ， 答：每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元； （3）根据题意得： y=-10 x2+130 x+2300 =-10（x-6.5）2+2722.5， a=-100， 当 x=6
13、.5 时，y 有最大值为 2722.5， 0 x10 且 x 为正整数， 当 x=6 时，30+x=36，y=2720（元） ， 当 x=7 时，30+x=37，y=2720（元） ， 答：每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2720 元 25 （1）y=x2+2x+3； （2）Q（2，3） ；Q2（3172， 1+ 172） ，Q3（3+ 172，1172 ） ； （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，MN=92或2理由见解析. 【分析】 （1）设出抛物线顶点坐标，把 C 坐标代入求出即可； （2）由 BCQ 与 BCP 的面积相等
14、，得到 PQ 与 BC 平行，过 P 作作 PQBC，交抛物线于点 Q，如图1 所示； 设 G （1， 2） ， 可得 PG=GH=2， 过 H 作直线 Q2Q3BC， 交 x 轴于点 H， 分别求出 Q 的坐标即可； （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N作 NHy 轴，则有 MNF 与 NEH 都为等腰直角三角形，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，设直线MN解析式为 y=-x+b，与二次函数解析式联立，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数关系表示出 NF2，由 MNF 为等腰直角三
15、角形，得到 MN2=2NF2，若四边形 MNED 为正方形，得到 NE2=MN2，求出 b 的值，进而确定出 MN 的长，即为正方形边长 【详解】 （1）设 y=a（x1）2+4（a0） ， 把 C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即 a=1， 则抛物线解析式为 y=（x1）2+4=x2+2x+3； （2）由 B（3，0） ，C（0，3） ，得到直线 BC 解析式为 y=x+3， S OBC=S QBC， PQBC， 过 P 作 PQBC，交抛物线于点 Q，如图 1 所示， P（1，4） ，直线 PQ 解析式为 y=x+5， 联立得：， 解得：或，即 Q（2，3） ； 设 G（1，2）
16、 ，PG=GH=2， 过 H 作直线 Q2Q3BC，交 x 轴于点 H，则直线 Q2Q3解析式为 y=x+1， 联立得：， 解得：或， Q2（，） ，Q3（，） ； （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形， 如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N 作 NHy 轴，则有 MNF 与 NEH 都为等腰直角三角形， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，设直线 MN 解析式为 y=x+b， 联立得：， 消去 y 得：x23x+b3=0， NF2=|x1x2|2=（x1+x2）24x1x2=214b， MNF 为等腰直角三角形， MN2=2NF2=428b， NH2=（b3）2，NF2=（b3）2， 若四边形 MNED 为正方形，则有 NE2=MN2， 428b=（b26b+9） ， 整理得：b2+10b75=0， 解得：b=15 或 b=5， 正方形边长为 MN=， MN=9或 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键
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