1、广东省惠州市惠城区广东省惠州市惠城区 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，满分个小题，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的）分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的） 1. 下列关于 x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. ax2+bx+c=0 B. x2 -2=（x+3）2 C. x2 +3y 50 D. x2-1=0 2. 将一元二次方程 5x2 -1=4x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 5、-1、4 B. 5、4、-1 C. 5、-4、-1
2、 D. 5、-1、-4 3. 若关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A. k1 B. k1且k0 C. k1 D. k1或k=0 4. 学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场） 共进行了 28场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有 x个班级参加比赛根据题意列出方程正确的是（ ） A. x228 B. 12x（x1）28 C. 12x228 D. x（x1）28 5. 不论 x、y为什么实数，代数式 x2+y2+2x-4y+9 的值（ ） A. 总不小于 4 B. 总不小于 9 C. 可任何实数 D. 可能为负数 6. 对
3、于抛物线 y（x1）23，下列说法错误是（ ） A. 抛物线开口向上 B 当 x1时，y0 C. 抛物线与 x轴有两个交点 D. 当 x1 时，y有最小值3 7. 已知点1231,2,2,AyByCy在抛物线2(1)yxn 上，则下列结论正确的是（ ） A. 312yyy B. 321yyy C. 123yyy D. 213yyy 8. 定义运算“”为：ab=2200abbabb，如：1（2）=1 （2）2=4则函数 y=2x的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数2()yxh（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 1x3时，其对应的函数值 y的最小值为1，则 h的值为
4、（ ） A. 2 或 4 B. 0 或 4 C. 2 或 3 D. 0 或 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线22:()nCyxnn（n为正整数） ，若1C和nC的顶点的连线平行于直线10yx，则该条抛物线对应的n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11. 关于x的一元二次方程2230mxxmm有一个根为零，那m的值等于_ 12. 若抛物线 y(a3)x22有最低点，那么 a的取值范围是_ 13. 二次函数 ya（xm）2n的图象如图，则一次函数
5、ymxn的图象不经过第_象限 14. 一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感如果不及时控制，第三轮将又有_人被传染. 15. 设 a，b 是方程 x2x20220的两个不相等的实数根，则 a22ab 的值为_ 16. 如图，抛物线21:0()Lyaxbxc a与x轴只有一个公共点()1,0A，与y轴交于点0,2B，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L，则图中两个阴影部分的面积和为_ 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(1)ya xb与2(2)1ya xb 交于点 A过点 A 作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点 B、C(点 B 在点 A左侧，点 C在点
6、A右侧)，则线段 BC的长为_ 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分请写出解答步骤）分请写出解答步骤） 18. 用适当方法解方程：x27x60 19. 已知一元二次方程220 xmxm的一个根是12求m的值和方程的另一个根 20. 把二次函数 y=a(x-h)2+k图象先向左平移 2 个单位， 再向上平移 4个单位， 得到二次函数 y=12(x+1)2-1的图象. （1）试确定 a，h，k 的值； （2）指出二次函数 y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标. 三、解答题（二） （本大题三、解答题（二） （
7、本大题 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21. 如图，抛物线 y（x1）24的图象与 x 轴交于的 A、B两点，与 y 轴交于点 D，抛物线的顶点为 C （1）求ABD的面积； （2）求ABC的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，当ABP的面积为 4时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （4）点 P 是抛物线上一动点，当ABP的面积为 8时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （5）点 P 是抛物线上一动点，当ABP的面积为 10时，求所有符合条件的点 P 的坐标 22. 如图，在边长为 12cm的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB边向
8、点 B以每秒钟 1cm的速度移动，点 Q 从点 B开始沿 BC边向点 C 以每秒钟 2cm的速度移动若 P、Q分别从 A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过几秒后，BPQ是直角三角形？ (2)经过几秒BPQ的面积等于 103cm2？ 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50元 （1）连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过 8 元，若每千克涨价 1元，日销售量将
9、减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价多少元？ 四、解答题（三） （本大题四、解答题（三） （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24. 如图，ABC 中，ABAC3 3，BAC120 ，D 为边 BC 上任意一点，DEAB 于 E，DFAC 于F， （E，F分别在边 AB，AC上） （1）BC 的长为 ，ABCSV （2）若AEDFS四边形13 38求 BD的长； （3）连 AD、EF，当 D点在 BC边上运动时，ADEF的值是否变化？如果变化，直接写出变化范围；如果不变，直接写出它的值 25. 如图 1,已知直线
10、ya 与抛物线214yx交于 A、B两点(A在 B 的左侧),交 y轴于点 C (1)若 AB4,求 a的值 (2)若抛物线上存在点 D(不与 A、B重合),使12CDAB,求 a取值范围 (3)如图 2,直线 ykx2与抛物线交于点 E、F,点 P 是抛物线上的动点,延长 PE、PF分别交直线 y2于 M、N两点,MN交 y轴于 Q 点,求 QMQN 的值 图 1 图 2 广东省惠州市惠城区广东省惠州市惠城区 2021-2022 学年九年级上期中数学试题学年九年级上期中数学试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，满分个小题，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个正
11、确的）分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的） 1. 下列关于 x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. ax2+bx+c=0 B. x2 -2=（x+3）2 C. x2 +3y 50 D. x2-1=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断 【详解】A、当 a=0时，该方程不是关于 x 的一元二次方程，故本选项错误； B、方程整理后不含有二次项，故本选项错误； C、该方程中含有 2 个未知数，且未知数的最高次数是 2，它属于二元二次方程，故本选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确 故选 D 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未
12、知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程， 一般形式是 ax2+bx+c=0 （且 a0） 特别要注意 a0 的条件 这是在做题过程中容易忽视的知识点 2. 将一元二次方程 5x2 -1=4x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. 5、-1、4 B. 5、4、-1 C. 5、-4、-1 D. 5、-1、-4 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c分别叫二次项系数，一次
13、项系数，常数项 【详解】5x2-1=4x 化成一元二次方程一般形式是 5x2-4x-1=0， 它的二次项系数是 5，一次项系数是-4，常数项是-1 故选 C 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式 3. 若关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A. k1 B. k1 且 k0 C. k1 D. k1 或 k=0 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得 k0 且=（2）24k（1）0，解得 k1 且 k0故选 B 考点：根的判别式 4. 学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（
14、每两个队之间比赛一场） 共进行了 28场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有 x个班级参加比赛根据题意列出方程正确是（ ） A. x228 B. 12x（x1）28 C. 12x228 D. x（x1）28 【答案】B 【解析】 【分析】 设这次有 x队参加比赛， 由于赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场） ， 则此次比赛的总场数为：12x（x1）场根据题意可知：此次比赛的总场数28 场，依此等量关系列出方程 【详解】解：设这次有 x队参加比赛，则此次比赛的总场数为：12x（x1）场， 根据题意列出方程得：12x（x1）28， 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程
15、，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以 2 5. 不论 x、y为什么实数，代数式 x2+y2+2x-4y+9 的值（ ） A. 总不小于 4 B. 总不小于 9 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 【答案】A 【解析】 【分析】要把代数式 x2+y2+2x-4y+9 进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可 【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4， （x+1）20， （y-2）20， （x+1）2+（y-2）2+44， x2+y2+
16、2x-4y+94 故选 A 【点睛】主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的范围要求掌握完全平方公式，并会熟练运用 6. 对于抛物线 y（x1）23，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当 x1 时，y0 C. 抛物线与 x轴有两个交点 D. 当 x1 时，y有最小值3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行逐一求解判断即可得到答案 【详解】解：二次函数的解析式为213yx， 二次函数开口向上，故 A选项不符合题意； 当2x时22132y 不满足1x ，0y ，故 B选项符合题意； 令0y ，则2130 x 解得13x
17、或13x ，故 C选项不符合题意； 当1x 时，二次函数有最小值-3，故 D选项不符合题意； 故选 B 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 7. 已知点1231,2,2,AyByCy在抛物线2(1)yxn 上，则下列结论正确的是（ ） A. 312yyy B. 321yyy C. 123yyy D. 213yyy 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可 【详解】解：2(1)yxn 该函数的对称轴为 x=-1 当 x-1，y随 x的增大而增大；当 x-1，y随 x的增大而减小；且距 x=-1距离越远，y越小 -112 y1y2 |-
18、1-(-2)|=1|-1-1|=2 y3y1 312yyy 故选 A 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系以及函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键 8. 定义运算“”为：ab=2200abbabb，如：1（2）=1 （2）2=4则函数 y=2x的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义运算“” 为: ab=2200abbabb，可得 y=2x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象. 【详解】解:y=2x=222020 xxxx， 当 x0时,图象是 y=22x对称轴右侧的部分; 当 x0时,图象是 y
19、=22x对称轴左侧的部分， 所以 C选项是正确的. 【点睛】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“”为: ab=2200abbabb 得出分段函数是解题关键. 9. 已知二次函数2()yxh（h 为常数） ，当自变量 x的值满足 1x3时，其对应的函数值 y的最小值为1，则 h的值为（ ） A. 2 或 4 B. 0 或 4 C. 2 或 3 D. 0 或 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为：x=h和13x的位置关系，分三种情况讨论即可求解 【详解】解：函数的对称轴为：x=h， 当3h时，x=3时，函数取得最小值 1，即2(3)1h， 解得 h=4 或 h=2（舍去） ；
20、当1h时，x=1时，函数取得最小值 1，即2(1)1h， 解得 h=0 或 h=2（舍去） ； 当13h时，x=h 时，函数取得最小值 1，不成立， 综上，h=4或 h=0， 故选：B 【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键 10. 如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线22:()nCyxnn（n为正整数） ，若1C和nC的顶点的连线平行于直线10yx，则该条抛物线对应的n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将 x=1 代入抛物线解析式，得到 C1的顶点坐标为（1,1） ，设直线1CnC的解析式为10y
21、x+b，将点 C1的坐标（1,1）代入求出直线1CnC的解析式为10yx-9，再将 Cn的顶点坐标为（n，2n）代入，求出 n的值即可 【详解】解：当 x=1时，抛物线 C1的顶点坐标为（1,1） 1C和nC的顶点的连线平行于直线10yx， 设直线1CnC的解析式为10yx+b，将点 C1的坐标（1,1）代入，得 10+b=1， 解得 b=-9， 直线1CnC的解析式为10yx-9， 将抛物线 Cn的顶点坐标为（n，2n）代入，得2109nn， 解得 n=1 或 n=9 故选：B 【点睛】 此题考查抛物线上点的坐标特征， 抛物线顶点坐标的确定， 两条直线平行的关系， 确定直线直线1CnC的解析
22、式是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11. 关于x的一元二次方程2230mxxmm有一个根为零，那m的值等于_ 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x=0 代入已知方程列出关于系数 m的新方程，通过解方程即可求得 m的值 【详解】关于 x的方程 mx2+x+m2+3m=0 是一元二次方程， m0. 根据题意,知 x=0满足关于 x 的一元二次方程 mx2+x+m2+3m=0， 则 m2+3m=0,即 m(m+3)=0， 解得,m=0(不合题意,舍去)，或 m=3. 故答案为-3. 【
23、点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义. 12. 若抛物线 y(a3)x22有最低点，那么 a的取值范围是_ 【答案】a3 【解析】 【详解】原点是抛物线 y=（a-3）x2-2 的最低点， a-30， 即 a3 故答案是：a3 13. 二次函数 ya（xm）2n的图象如图，则一次函数 ymxn的图象不经过第_象限 【答案】二#2 【解析】 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出 m 与 n 的正负，即可作出判断 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n） ，且在第四象限， m0，n0，即 m0，n0， 则一次函
24、数 ymx+n 经过一、三、四象限，不经过第二象限 故答案为：二 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键 14. 一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感如果不及时控制，第三轮将又有_人被传染. 【答案】448 【解析】 【详解】试题解析：设一个患者一次传染给 x 人，由题意，得 x（x+1）+x+1=64， 解得：x1=7，x2=-9（舍去） ， 第三轮被传染的人数是：64 7=448 人 15. 设 a，b 是方程 x2x20220的两个不相等的实数根，则 a22ab 的值为_ 【答案】2021 【解析】 【分析】
25、 由一元二次方程的解及根与系数的关系， 可得出 a2+a2022、 a+b1， 将其代入 a2+2a+ba2+a+（a+b）中，即可求出结论 【详解】解：a，b 是方程 x2+x20220的两个不相等的实数根， a2+a2022，a+b1， a2+2a+ba2+a+（a+b）202212021 故答案为：2021 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解及根与系数的关系，找出 a2+a2022、a+b1是解题的关键 16. 如图，抛物线21:0()Lyaxbxc a与x轴只有一个公共点()1,0A，与y轴交于点0,2B，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单
26、位长度得抛物线2L，则图中两个阴影部分的面积和为_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可推出 OB2，OA1，ADOC2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可 【详解】解：如图所示， 过抛物线 L2的顶点 D作 CD/x 轴，与 y 轴交于点 C， 则四边形 OCDA是矩形， 抛物线 L1：yax2bxc（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y轴交于点 B（0，2） ， OB2，OA1， 将抛物线 L1向下平移两个单位长度得抛物线 L2，则 ADOC2， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等
27、于矩形 OCDA的面积， S阴影部分S矩形OCDAOAAD122 故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线与 x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(1)ya xb与2(2)1ya xb 交于点 A过点 A 作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点 B、C(点 B 在点 A左侧，点 C在点 A右侧)，则线段 BC的长为_ 【答案】6 【解析】 【分析】设抛物线 ya（x+1）2+b 的对称轴与线段 BC交于点 E，抛物线 ya（x2）2+b+1的对称轴与线段 B
28、C交于点 F，由抛物线的对称性可得 BC2（AE+AF） ，即可求出结论 【详解】解：设抛物线 ya（x+1）2+b的对称轴与线段 BC交于点 E，抛物线 ya（x2）2+b+1 的对称轴与线段 BC交于点 F，如图所示 由抛物线的对称性，可知：BEAE，CFAF， 抛物线 ya（x+1）2+b对称轴为直线 x1，抛物线 ya（x2）2+b+1的对称轴为直线 x2， BCBE+AE+AF+CF2（AE+AF）22（1）6 故答案为：6 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 个小题，每小题个小题，
29、每小题 6 分，共分，共 18 分请写出解答步骤）分请写出解答步骤） 18. 用适当方法解方程：x27x60 【答案】x16，x21 【解析】 【分析】因式分解法求解可得 【详解】解： （1）因式分解可得： （x6） （x1）0， x60 或 x10， 解得：x16，x21； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 19. 已知一元二次方程220 xmxm的一个根是12求m的值和方程的另一个根 【答案】1m，方程的另一个根为 1 【解析】 【分析】先根据一元二次方程 2x2-mx-m=0 的一个
30、根是 x=-12，求出 m的值，再根据根与系数的关系：x1x2=ca，x1+x2=-ba，列出方程求解即可 【详解】解：将 x=-12代入220 xmxm， 即：2 (-12) -m(-12)-m=0， 解得：m=1， 设方程的另一个根为 x2， 则（-12）x2=-12， 解得：x2=1， m的值是 1，这个方程的另一个根是 1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系：x1x2=ca，x1+x2=-ba，列出方程是本题的关键 20. 把二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移 2个单位， 再向上平移 4个单位， 得到二次函数 y=12(x+1)2-1的图
31、象. （1）试确定 a，h，k 的值； （2）指出二次函数 y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标. 【答案】 （1）1,1,52ahk （2）开口向下，对称轴是 x=1 的直线，顶点（1，-5） 【解析】 【详解】试题分析： （1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数 y=12 (x+1)2-1 先向右平移 2个单位，再向下平移 4 个单位得到二次函数 y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论； （2） ，直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可. 试题分析： （1）二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移 2个单
32、位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数y=12 (x+1)2-1， 可以看作是将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位， 再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k， 而将二次函数 y=12 (x+1)2-1 先向右平移 2个单位，再向下平移 4 个单位得到二次函数为：y=12 (x-1)2-5， a=12，b=1，k=-5； （2）二次函数 y=12 (x-1)2-5， 开口向上，对称轴为 x=1，顶点坐标为（1，-5）. 三、解答题（二） （本大题三、解答题（二） （本大题 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21. 如图，抛物线
33、y（x1）24的图象与 x 轴交于的 A、B两点，与 y 轴交于点 D，抛物线的顶点为 C （1）求ABD的面积； （2）求ABC的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，当ABP的面积为 4时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （4）点 P 是抛物线上一动点，当ABP的面积为 8时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （5）点 P 是抛物线上一动点，当ABP的面积为 10时，求所有符合条件的点 P 的坐标 【答案】 （1）6； （2）8； （3）P（1+2，2）或 P（12，2）或（1+6，2）或（16，2） ；（4）P（1+22，4）或 P（122，4）或（1，4） ； （5）P（4，5）或
34、 P（2，5） 【解析】 【分析】 （1）求得 A、B、D点的坐标即可求得ABD的面积； （2）求得 A、B、C点的坐标即可求得ABD 的面积； （3）设点 P的坐标为（x0，y0） ，由ABP的面积为 4 得到12AB|y0|4，从而求得 y0 2，即（x01）24 2，求得 x 的值后即可求得点 P的坐标； （4）设点 P的坐标为（x0，y0） ，由ABP的面积为 8 得到12AB|y0|8，从而求得 y0 4，即（x01）24 4，求得 x 的值后即可求得点 P的坐标； （5）设点 P的坐标为（x0，y0） ，由ABP的面积为 10 得到12AB|y0|5，从而求得 y0 5，即（x01
35、）24 5，求得 x 的值后即可求得点 P的坐标； 【详解】解： （1）令 y0， 即（x1）240， 解得 x3或 x1， 知 A（1，0） ，B（3，0） ， 即 AB4， 令 x0 得：y3， 知：D（0，3） ， 故 SABD12ABOD12 4 36； （2）由 y（x1）24知顶点 C 的坐标为（1，4） ， 故 SABC12 4 48； （3）设点 P的坐标为（x0，y0） ， 又由ABP 的面积为 4， 知12AB|y0|4， 即12 4 |y0|4， 即|y0|2， 即 y0 2， 即（x01）24 2 解得 x1+2或 x12或 x1+6或 x16 即 P（1+2，2）或
36、P（12，2）或（1+6，2）或（16，2） ； （4）由ABP的面积为 8， 知12AB|y0|8， 即12 4 |y0|8， 即|y0|4， 即 y0 4， 即（x01）24 4 解得 x1+22或 x122或 x1 即 P（1+22，4）或 P（122，4）或（1，4） ； （5）由ABP的面积为 10， 知12AB|y0|10， 即12 4 |y0|10， 即|y0|5， 即 y0 5， 即（x01）24 5 解得 x2或 x4 即 P（4，5）或 P（2，5） ； 【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标，后三个题目解题方法几乎一致，只是数据不同
37、，难度中等偏上 22. 如图，在边长为 12cm的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB边向点 B以每秒钟 1cm的速度移动，点 Q 从点 B开始沿 BC边向点 C 以每秒钟 2cm的速度移动若 P、Q分别从 A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过几秒后，BPQ是直角三角形？ (2)经过几秒BPQ的面积等于 103cm2？ 【答案】 （1）6 秒或125秒时，BPQ是直角三角形； （2）经过 2 秒BPQ的面积等于 103cm2 【解析】 【分析】 （1）先分别表示出 BP，BQ的值，当BQP 和BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以
38、求出结论； （2）作 QDAB 于 D，由勾股定理可以表示出 DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可 【详解】 （1）设经过 x秒后，BPQ是直角三角形， ABC是等边三角形， AB=BC=12cm，A=B=C=60 ， 当PQB=90 时， BPQ=30 ， BP=2BQ BP=12x，BQ=2x， 12x=2 2x， 解得 x=125， 当QPB=90 时， PQB=30 ， BQ=2PB， 2x=2（12x） ， 解得 x=6 答：6 秒或125秒时，BPQ是直角三角形； （2）作 QDAB 于 D， QDB=90 ， DQB=30 ， DB=12BQ=x， 在 RtDBQ中，由勾股
39、定理，得 DQ=3x， (12) 32xx=103， 解得 x1=10，x2=2， x=10时，2x12，故舍去， x=2 答：经过 2 秒BPQ的面积等于 103cm2 【点睛】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30 的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50元 （1）连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定
40、采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过 8 元，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】 （1）20%； （2）每千克应涨价 5 元 【解析】 【分析】 （1）设每次下降的百分率为 x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率； （2）设涨价 y元（0y8） ，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解 【详解】解： （1）设每次下降的百分率为 x 根据题意得：50（1x）232 解得：x10.2，x21.8（不合题意舍去） 答：每次下降 20% （2）设涨价 y元（0y8） 6000（10+y） （5
41、0020y） 解得：y15，y210（不合题意舍去） 答：每千克应涨价 5 元 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可 四、解答题（三） （本大题四、解答题（三） （本大题 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24. 如图，ABC 中，ABAC3 3，BAC120 ，D 为边 BC 上任意一点，DEAB 于 E，DFAC 于F， （E，F分别在边 AB，AC上） （1）BC 的长为 ，ABCSV （2）若AEDFS四边形13 38求 BD的长； （3）连 AD、EF，当 D点在 BC边上运动时，ADEF的值
42、是否变化？如果变化，直接写出变化范围；如果不变，直接写出它的值 【答案】 （1）9；27 34； （2）4或 5； （3）2 33 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的三线合一的性质，再根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半，然后表示出 BC即可； （2）设 DFx，然后解直角三角形表示出 BE、DF、CF，根据三角形的面积和差，整理即可得解； （3）连接 AD，EF,取 AD的中点 O，连接 OE、OF 【详解】 （1）证明：过点 A作 AMBC，垂足点 M， ABC是等腰三角形， EDBFDC30 ，BM=CM， AM12AB， AM3 32， 由勾股定理得，BM92，
43、BC2BM9； 113 327 392224ABCSAMBCV； （2）解：设 DE=x，则 BD2x， ABC是等腰三角形，DEAB于 E，DFAC于 F， EDBFDC30 ， DE12BD，DF12CD， BD2x，DF12 (92x)； BE3x，FC 32(92x)； BDES+CDFSABCSVAEDFS四边形； 232x+1212 (92x) 32(92x)27 3413 38； 解得：12,x 25,2x BD2x4或 5； （3）解：取 AD的中点 O，连接 OE、OF； 在 RtAED中， OE12AD， 在 RtAFD中， OF12AD， EOF2EDF， EF3OE，
44、又OE12AD， ADEF2 33 【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，读懂题目信息理清求解的思路是解题的关键。 25. 如图 1,已知直线 ya 与抛物线214yx交于 A、B两点(A在 B 的左侧),交 y轴于点 C (1)若 AB4,求 a的值 (2)若抛物线上存在点 D(不与 A、B重合),使12CDAB,求 a的取值范围 (3)如图 2,直线 ykx2与抛物线交于点 E、F,点 P 是抛物线上的动点,延长 PE、PF分别交直线 y2于 M、N两点,MN交 y轴于 Q 点,求 QMQN 的值 图 1 图 2 【答案】 （1）1a ； （2）4a
45、； （3）8 【解析】 【分析】 （1）将两个函数解析式联立，解一元二次方程求得 A、B 的横坐标，进而表示出 AB，即可解答； （2）由（1）可得 CD=12AB=2 a，设 D( 4,)m m ，过点 D作 DHy轴于点 H，利用勾股定理可知222DHCHCD，进而得到()(4)0ma ma，得到40m a ，根据函数图象可知0m ，即可求得 a的取值范围； （3） 设E （2111,4xx） ， F （2221,4xx） ， P （21,4nn） ， 分别表示EP和FP的解析式， 当2y 时， 求得118Mnxxnx，228Nnxxnx，联立214yx和 ykx2，得到21204xkx，
46、利用一元二次方程根与系数的关系得到12124 ,8xxk x x ，代入MNQM QNxx gg即可解答. 【详解】 （1）联立214yxya， 214xa，解得：122,2xa xa 44BAABxxa 1a （2）由（1）知 AB=4 a， CD=12AB=2 a 设 D( 4,)m m 过点 D作 DHy轴于点 H，则222DHCHCD 22( 4)()4mama ()(4)0ma ma 又ma 40m a 4ma 又0m 40a 4a （3）设 E（2111,4xx） ，F（2221,4xx） ，P（21,4nn） EP 解析式为ytxb 将 P，E代入可得：1111()44ynx xnx 当2y 时，可求118Mnxxnx， 同理可求 FP 的解析式为2211()44ynx xnx 228Nnxxnx 又联立2142yxykx得：21204xkx 12124 ,8xxk x x 21212122121212888 ()64()MNnxnxn x xn xxQM QNxxnxnxnn xxx x ggg 2288464848nnknnkg 【点睛】本题为二次函数与一次函数综合题，难度大，主要考查二次函数与一次函数交点问题，还涉及了一元二次方程和勾股定理等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的性质和相关知识点是解题关键.
浙公网安备33030202001339号