1、2021-2022 学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 一元二次方程 x2x 的根是（ ） A. x10，x21 B. x10，x21 C. x1x20 D. x1x21 2. 已知ABC中，ABBC，若以点 B 为圆心，以 AB 为半径作圆，则点 C在（ ） A. 在B 上 B. 在B 外 C. 在B 内 D. 不能确定 3. 如果13aba，那么abb的值等于（ ） A. 53 B. 52 C. 43 D. 2 4. 用配方法解方程2450 xx时，原方程应变形为（ ） A. 221x B. 2411x
2、C. 229x D. 2421x 5. 若关于 x 的一元二次方程2x2xm0有一个解为1x，则 m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 6. 下列四组图形中，一定相似的图形是( ) A. 各有一个角是 30的两个等腰三角形 B. 有两边之比都等于 23 的两个三角形 C. 各有一个角是 120的两个等腰三角形 D. 各有一个角是直角的两个三角形 7. 下列关于圆的说法，正确的是（ ） A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 圆每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D. 过三点可以作一个圆 8. 如图，在VABC 中，DE/ /BC，
3、若 AD：DB3：2，DE6cm，则 BC长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 18cm 9. 如图，在 RtVABC 中，ACB90 ，A54 ，以 BC 为直径的O交 AB于点 DE 是O 上一点，且CECD，连接 OE过点 E作 EFOE，交 AC的延长线于点 F，则F 的度数为（ ） A. 92 B. 108 C. 112 D. 124 10. 如图，菱形 ABCD菱形 AEFG，菱形 AEFG 的顶点 G 在菱形 ABCD的 BC边上运动，GF 与 AB 相交于点 H，E60 ，若 CG3，AH7，则菱形 ABCD的边长为（ ） A. 9 B. 10 C.
4、93 D. 103 二、填空题二、填空题 11. 电影长津湖首映当日票房已经达到 2 亿元，2天后当日票房达到 4 亿元，设平均每天票房的增长率为 x，则可列方程为_ 12. 无锡地铁 4 号线一期工程（刘潭站至博览中心）将于 2021年下半年开通，在一幅比例尺为 1：200000的设计图纸上，测得地铁线路全长约 12.3cm，则地铁线路的实际长度约为_km 13. 若方（m4）x|m2|+3x+50是一元二次方程，则 m 的值等于_ 14. 已知圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 10cm，则这个圆锥的侧面积是_ 15. 如图，已知 PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点，线段 OP交
5、O于点 M若 PA3cm，则线段PB_，当APO_时，OMMP 16. 如图，ABCD中，C110 ，AB3，以 AB为直径O的交 BC 于点 E，则AE的长为_ 17. 如图， AB 为O 的直径， 弦 CDAB于点 F， OEAC 于点 E， 若 OE3， OB5， ， 则 AE的长度是_，CD 的长度是_ 18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB8，AD6，以 AB为边向右作等边VABE，F 为边 CD 上一点，DF2，连接 EF，则 EF的最小值为_ 三、解答题三、解答题 19. 解下列方程： （1）2x25x10； （2） （x2） （x+5）18； （3） （x1）24； （
6、4）x（x+2）2（x+2）2 20. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0 （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根 21. 如图，E是矩形 ABCD的边 CB 上的一点，AFDE 于点 F （1）求证：VEDCVDAF； （2）若 AB3，AD2，CE1，求线段 DF 的长度 22. 如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，VABC 的顶点 A、B、C均落在格点上 （1）VABC的面积为 ； （2）请在如图 1所示的网格中，用无刻度的直尺在 AC 上找出一点 M，使以 M 为圆心，MC 为半径的M与 AB相切，
7、并求出M的半径 r （3）已知在四边形 ABCD中，DC45 ，P是 CD 边上一点，且VADPVPCB在图 2 中用直尺和圆规作出所有满足条件的点 P （保留作图痕迹，不写作法） 23. 如图，点 A，B，C是半径为 2的O上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线交圆于点 D，过点 D作AC 的垂线交 AC的延长线于点 E，延长 ED交 AB的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O位置关系，并证明 （2）若 DF42，求线段 ED值 24. 如图，AB是Oe的直径，弦CDAB于点E，连接,AC BC （1）求证；ABCD ； （2）若4 3,60CDB，求扇形OAC（阴影部分）的面积 2
8、5. 第十四届全运会将于 2021年 9 月 15日至 9月 27日在陕西举行，铁一中分校学生为了迎接这一盛事，亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30枚，每枚盈利 50元为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于 32 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2枚，若每枚商品降价 a（a 为正数）元 （1）用含 a的代数式表示平均每天销售的数量，并写出 a 的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为 2100 元时，求 a的值； 26. 如图，在矩形 ABCD中，AB4，BC3，点 E是边
9、CD 上任意一点（点 E 与点 C、D不重合） ，过点 A作 AFAE，交边 CB 的延长线于点 F，连接 EF，交边 AB于点 G设 DEx，BFy （1）求 y关于 x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （2）如果 ADBF，求证：VAEFVDEA； （3）当点 E在边 CD上移动时，VAEG 能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段 DE 的长；如果不能，请说明理由 27. 问题提出： （1）如图 1，P 是半径为 5 的O 上一点，直线 l与O 交于 A、B两点，AB8，则点 P 到直线 l的距离的最大值为 问题探究： （2）如图 2，在等腰VABC中，BABC，ABC45 ，F
10、 是高 AD 和高 BE的交点，求:ABFBFDSS的值 问题解决： （3）如图 3，四边形 ABCD是某区一处景观示意图，AD/ /BC，ABC60 ，BCD90 ，AB60m，BC80m， M是 AB上一点， 且 AM20m 按设计师要求， 需在四边形区域内确定一个点 N， 修建花坛VAMN和草坪VBCN，且需 DN25m已知花坛的造价是每平米 400元，草坪的造价是每平米 200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？ 2021-2022 学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市梁溪区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 一元二次方程 x
11、2x 的根是（ ） A. x10，x21 B. x10，x21 C. x1x20 D. x1x21 【答案】A 【解析】 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【详解】解：x2x， x2x0， x（x1）0， x0，x10， x10，x21， 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的常见解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键 2. 已知ABC中，ABBC，若以点 B 为圆心，以 AB 为半径作圆，则点 C在（ ） A. 在B 上 B. 在B 外 C. 在B 内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系：d=r，点在圆上，dr，
12、点在圆外，再由 AB=BC得出点 A、C在以点 B 为圆心，以 AB为半径的圆上，即可求解 【详解】AB=BC， 点 A，C均在以点 B为圆心，以 AB 为半径的圆上 故选：A 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系， 熟练掌握： 若 d 是点到圆心的距离， r 是圆的半径，则 d=r 时，点在圆上；dr 时，点在圆外 3. 如果13aba，那么abb的值等于（ ） A. 53 B. 52 C. 43 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依据13aba，即可得到 a=32b， ，进而得出abb的值 【详解】解：13aba， 3a3b= a， 2a=3b，即 a=32b， abb=32bbb
13、=52 故选 B 【点睛】本题考查了比例的性质，解决问题的关键是运用内项之积等于外项之积 4. 用配方法解方程2450 xx时，原方程应变形为（ ） A. 221x B. 2411x C. 229x D. 2421x 【答案】C 【解析】 【分析】常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 4 的一半的平方 【详解】解：由原方程移项，得 x2+4x=5， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+4x+4=5+4， 配方得（x+2）2=9 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）
14、等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1. 5. 若关于 x 的一元二次方程2x2xm0有一个解为1x，则 m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】把 x=-1代入方程 x2-2x+m=0 得 1+2+m=0，然后解关于 m的方程即可 【详解】解：根据题意，将 x=-1 代入 x2-2x+m=0，得：1+2+m=0， 解得 m=-3， 故选 C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 6. 下列四组图形中，一定相似的图形是( )
15、 A. 各有一个角是 30的两个等腰三角形 B. 有两边之比都等于 23 的两个三角形 C. 各有一个角是 120的两个等腰三角形 D. 各有一个角是直角的两个三角形 【答案】C 【解析】 【详解】 根据相似图形概念进行判定,因为有一个角是 30 的等腰三角形可能是钝角等腰三角形也可能是锐角等腰三角形,因此 A 选项不一定是相似图形,根据三角的判定条件可知,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,因此 B 选项不一定是相似图形,一个角是 120 的等腰三角形只能是钝角等腰,因此 C 选项各有一个角是 120 的两个等腰三角形一定是相似图形,因为有一个角是直角的三角形形状可能有很多种,因此 D
16、 选项不一定是相似图形,故正确选项是 C. 7. 下列关于圆的说法，正确的是（ ） A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D. 过三点可以作一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆的轴对称性以及确定圆的条件，逐一判断各个选项，即可 【详解】解：A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故该选项错误； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项错误； C. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故该选项正确； D. 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故该选项错
17、误 故选 C 【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆周角定理，垂径定理的推论，圆的轴对称性以及确定圆的条件，是解题的关键 8. 如图，在VABC 中，DE/ /BC，若 AD：DB3：2，DE6cm，则 BC的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 18cm 【答案】B 【解析】 【分析】利用 DE/ /BC得到ADEABC，因为 AD：DB3：2，所以 AD：AB=DE：BC，带入数值，即可求出 BC 的长度 【详解】解：在VABC中，DE/ /BC ADEABC AD：AB=DE：BC 又AD：DB3：2 AD：AB=3：5=DE：BC DE6cm 3：5=6：BC
18、BC=10 cm 故选：B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与相似三角形的性质，利用平行线，找到相似三角形，并能正确找到相似比，是解决本题的关键 9. 如图，在 RtVABC 中，ACB90 ，A54 ，以 BC 为直径的O交 AB于点 DE 是O 上一点，且CECD，连接 OE过点 E作 EFOE，交 AC的延长线于点 F，则F 的度数为（ ） A. 92 B. 108 C. 112 D. 124 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案 【详解】解：ACB90，A54， ABC36， CECD， 2ABCCOE72，
19、 又OCFOEF90， F360909072108 故选 B 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出COE 的度数是解题关键 10. 如图，菱形 ABCD菱形 AEFG，菱形 AEFG 的顶点 G 在菱形 ABCD的 BC边上运动，GF 与 AB 相交于点 H，E60 ，若 CG3，AH7，则菱形 ABCD的边长为（ ） A. 9 B. 10 C. 93 D. 103 【答案】A 【解析】 【分析】连接 AC，首先证明ABC 是等边三角形，再证明BGHCAG，推出BGBHACCG，由此构建方程即可解决问题 【详解】解：连接 AC 菱形 ABCD菱形 AEFG， BEAG
20、F60，ABBC， ABC是等边三角形，设 ABBCACa，则 BHa7，BGa3， ACB60， AGBAGHBGHACGCAG， AGHACG60， BGHCAG， BACG， BGHCAG， BGBHACCG， 373aaa a210a90， a9或 1（舍弃） ， AB9， 故选：A 【点睛】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 二、填空题二、填空题 11. 电影长津湖首映当日票房已经达到 2 亿元，2天后当日票房达到 4 亿元，设平均每天票房的增长率为 x，则可列方程为_ 【答案】2（1+x）2=4 【
21、解析】 【分析】设平均每天票房的增长率为 x，根据当日票房已经达到 2 亿元，2天后当日票房达到 4亿元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：由题意得：2（1+x）2=4， 故答案是：2（1+x）2=4 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 12. 无锡地铁 4 号线一期工程（刘潭站至博览中心）将于 2021年下半年开通，在一幅比例尺为 1：200000的设计图纸上，测得地铁线路全长约 12.3cm，则地铁线路的实际长度约为_km 【答案】24.6 【解析】 【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建
22、立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离 【详解】解：设地铁线路的实际长度约为是 x 厘米，由题意，得 1：20000012.3：x， 解得：x2460000， 2460000厘米24.6km 故答案是：24.6 【点睛】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算 13. 若方（m4）x|m2|+3x+50是一元二次方程，则 m 的值等于_ 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于 m 的方程和不等式，即可求解 【详解】解：方程（m4）x|m2|+3x+50是一元二次方程， |m2|=2 且 m-40， m=0， 故答案是：0
23、【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不等于 0，是解题的关键 14. 已知圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 10cm，则这个圆锥的侧面积是_ 【答案】20cm2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积底面半径母线长，即可求解 【详解】解：圆锥侧面积21020cm2； 故答案是 20cm2 【点睛】考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的侧面积底面半径母线长 15. 如图，已知 PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点，线段 OP交O于点 M若 PA3cm，则线段PB_，当APO_时，OMMP 【答案】 . 3cm . 30#30 度 【解析】 【分析】
24、根据切线长定理可得 PB= PA3cm，再根据锐角三角函数定义，即可求解 【详解】解：PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点， PB= PA3cm， 当 OMMP时，则 OP=2OM=2OA， PA是O的两条切线， OAP=90， sinAPO12OAOP， APO30， 故答案是：3cm，30 【点睛】本题主要考查切线长定理以及锐角三角函数，熟练掌握切线长定理是解题的关键 16. 如图，ABCD中，C110 ，AB3，以 AB为直径O的交 BC 于点 E，则AE的长为_ 【答案】76 【解析】 【分析】连接 OE，可得AOE=140，再利用弧长公式即可求解 【详解】解：连接 OE， A
25、BCD中，C110 ， B=180-110=70， OE=OB， B=OEB=70， AOE=140， AE的长=31402180=76， 故答案是：76 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键 17. 如图， AB 为O 的直径， 弦 CDAB于点 F， OEAC 于点 E， 若 OE3， OB5， ， 则 AE的长度是_，CD 的长度是_ 【答案】 . 4 . 9.6#485 【解析】 【分析】根据垂径定理求出 AE可得 AC 的长度，利用AEOAFC，求出 CF，即可求解 【详解】解：OEAC于点 E， AEEC， OE3，OB5 AE22AOOE4 A
26、C8 AA，AEOAFC AEOAFC AOEOACFC，即：538FC， FC245 CDAB CD2CF9.6 故答案：4，9.6 【点睛】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度 18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB8，AD6，以 AB为边向右作等边VABE，F 为边 CD 上一点，DF2，连接 EF，则 EF的最小值为_ 【答案】2 13-6 【解析】 【分析】在 AB 上取点 O，使得 AO=2，可得四边形 AOFD 是平行四边形，点 F在以 O为圆心，6为半径的圆上，连接 OE，当点 F 恰好在 OE 上时，E
27、F 最小，利用勾股定理即可求解 【详解】解：如图，在 AB上取点 O，使得 AO=2，则 AO=DF， AODF， 四边形 AOFD是平行四边形， OF=AD=6，即：点 F 在以 O 为圆心，6 为半径的圆上， 连接 OE，当点 F恰好在 OE 上时，EF 最小， 过点 E作 EHAB， 在等边VABE 中，AB=AE=8，AH=4， HE=22844 3， 在 RtVOHE 中，OH=4-2=2， OE=2224 32 13， EF=2 13-6，即 EF最小值为2 13-6 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和勾股定理，圆的性质和等边三角形的性质，推出点 F在以 O为圆心，6为半径的圆
28、上，是解题的关键 三、解答题三、解答题 19. 解下列方程： （1）2x25x10； （2） （x2） （x+5）18； （3） （x1）24； （4）x（x+2）2（x+2）2 【答案】 （1）x1=5334，x2=5334； （2）x1=-7，x2=4； （3）x1=3，x2=-1； （4）x1=-2，x2=-4 【解析】 【分析】 （1）根据公式法，即可求解； （2）先化简一元二次方程，再利用因式分解法求解即可； （3）利用直接开平方法即可求解； （4）利用因式分解法即可求解 【详解】 （1）2x25x10， a=2，b=-5，c=-1， x= 22554214222bbaca=5334
29、， x1=5334，x2=5334； （2） （x2） （x+5）18， 整理得：x2+3x-28=0， （x+7） （x-4）=0， x1=-7，x2=4； （3） （x1）24， 开平方得：x-1= 2， x1=3，x2=-1； （4）x（x+2）2（x+2）2， 因式分解得： （x+2）x-2(x+2)=0，即： （x+2） （-x-4）=0， x1=-2，x2=-4 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，直接开平方法和公式法解方程，是解题的关键 20. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0 （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为
30、何整数时，方程有两个不相等的正整数根 【答案】 （1）证明见解析； （2）m=1 【解析】 【分析】 【详解】试题分析： （1）求出方程根判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出 m的值 方法 1 （1）利用判别式 （1）证明：22228442mmmmm 不论 m为何值，220m，即0 不论 m何值，方程总有实数根 （2）解关于 x 的一元二次方程2220mxmx，得 22222mmmxmm，12xm，21x 方程的两个根都是正整数，2m是正整数，1m或2m 又方程的两个根不相等，2m，1m 方法 2（1）直接解一元二
31、次方程求出根 （1）证明：解关于 x的一元二次方程22200mxmxm， 得11x ，22xm， 不论 m为何值，方程总有实数根 （2）解关于 x 的一元二次方程2220mxmx，得 22222mmmxmm，12xm，21x 方程的两个根都是正整数，2m是正整数，1m或2m 又方程的两个根不相等，2m，1m 21. 如图，E是矩形 ABCD的边 CB 上的一点，AFDE 于点 F （1）求证：VEDCVDAF； （2）若 AB3，AD2，CE1，求线段 DF 的长度 【答案】 （1）见详解； （2）105 【解析】 【分析】 （1）由矩形的性质可得出 DC 的长及ADCC90，利用勾股定理可求
32、出 DE的长，由垂直的定义可得出AFDC，利用同角的余角相等可得出EDCDAF，进而可得出EDCDAF； （2）利用相似三角形的性质，列出比利时，进而可求出 DF 的长度 【详解】 （1）证明：AFDE，四边形 ABCD 是矩形， AFD90C，ADFDAF90 又ADFEDC90， EDCDAF， EDCDAF； （2）解：四边形 ABCD是矩形， DCAB3，ADCC90 CE1， DE22DCCE 10 EDCDAF， DECEADFD，即1012FD， FD105 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出EDCDAF 是
33、解题的关键 22. 如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，VABC 的顶点 A、B、C均落在格点上 （1）VABC的面积为 ； （2）请在如图 1所示的网格中，用无刻度的直尺在 AC 上找出一点 M，使以 M 为圆心，MC 为半径的M与 AB相切，并求出M的半径 r （3）已知在四边形 ABCD中，DC45 ，P是 CD 边上一点，且VADPVPCB在图 2 中用直尺和圆规作出所有满足条件的点 P （保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）6； （2）作图见详解，M 的半径为 1.5； （3）见详解 【解析】 【分析】 （1）利用三角形的面积公式即可求解； （2）作ABC 的平分线交 A
34、C于点 M，即可作M，设M与 AB相切于点 D，连接 MD，则 MDAB，利用面积法，即可求解； （3）作 AB的垂直平分线与以 AB 为直径的圆交于点 O，以 O 为圆心，OA为半径作圆，交 CD 于点 P，即可 【详解】解： （1）VABC的面积=13 462 ， 故答案是：6； （2）作图如下，设M与 AB相切于点 D，连接 MD，则 MDAB， VABC 是直角三角形，C=90， AB=22345， 111222ABDMBCCMBCAC，DM=CM， 1115334222DMCM， DM=CM=1.5，即M的半径为 1.5； （3）如图所示：作 AB 的垂直平分线与以 AB为直径的圆交
35、于点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，交 CD于点 P，此时，APB=45，即：APB=D=C=45， D+DAP=APB+BPC， DAP=BPC， 又D=C， VADPVPCB 【点睛】本题主要考查基本尺规作图角平分线和垂直平分线，相似三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定定理，是解题的关键 23. 如图，点 A，B，C是半径为 2的O上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线交圆于点 D，过点 D作AC 的垂线交 AC的延长线于点 E，延长 ED交 AB的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O的位置关系，并证明 （2）若 DF42，求线段 ED 的值 【答
36、案】 （1）见详解； （2）423 【解析】 【分析】（1） 连接 OD， 由 OAOD 知OADODA， 由 AD 平分EAF知DAEDAO， 据此可得DAEADO，继而知 ODAE，根据 AEEF即可得证； （2）根据勾股定理得到 OF22ODDF=6， ，根据平行线分线段成比例定理，即可得到结论 【详解】 （1）证明：连接 OD，如图所示： OAOD， OADODA， AD平分EAF， DAEDAO， DAEADO， ODAE， AEEF， ODEF， EF 是O的切线； （2）解：在 RtODF中，OD2，DF42， OF22ODDF=6， ODAE， OFDFOADE，即：64 22
37、DE DE=423 【点睛】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键 24. 如图，AB是Oe的直径，弦CDAB于点E，连接,AC BC （1）求证；ABCD ； （2）若4 3,60CDB，求扇形OAC（阴影部分）的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）163 【解析】 【分析】 （1）根据垂径定理得到BCBD，根据圆周角定理证明结论； （2）根据等边三角形的判定定理得到BOCV为等边三角形，求出AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可 【详解】 （1）证明；ABQ是Oe的直径，弦CDAB， BCBD， ABCD ； （2）解
38、；,60OCOBBQ， BOCV为等边三角形， 60BOC， 120AOC， ABQ是Oe的直径，弦CDAB，4 3CD ， 12 32CECD， 在RtCOE中，4sinCEOCCOB， 扇形OAC（阴影部分）的面积21204163603 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形，锐角三角函数，扇形面积，掌握垂径定理，圆周角定理，等边三角形，锐角三角函数，扇形面积公式是解题关键 25. 第十四届全运会将于 2021年 9 月 15日至 9月 27日在陕西举行，铁一中分校学生为了迎接这一盛事，亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30
39、枚，每枚盈利 50元为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于 32 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2枚，若每枚商品降价 a（a 为正数）元 （1）用含 a的代数式表示平均每天销售的数量，并写出 a 的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为 2100 元时，求 a的值； 【答案】 （1）平均每天销售数量为（302a） （件） ，0a18； （2）15 【解析】 【分析】 （1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 a 元，则平均每天可多售出2a 件，即平均每天销售数量为（2a30）件，并根据每件盈利不少于
40、32元，求出 a 的取值范围； （2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可 【详解】 （1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件， 可得若降价 a元，则平均每天可多售出 2a 件， 即平均每天销售数量为（302a） （件） ， 50a32， 解得：a18 0a18； （2）由题意得： （50a） （302a）2100， 整理得：a235a3000， （a20） （a15）0 a120，a215 0a18， a20，舍去， a15 【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润
41、是解决本题的关键 26. 如图，在矩形 ABCD中，AB4，BC3，点 E是边 CD 上任意一点（点 E 与点 C、D不重合） ，过点 A作 AFAE，交边 CB 的延长线于点 F，连接 EF，交边 AB于点 G设 DEx，BFy （1）求 y关于 x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （2）如果 ADBF，求证：VAEFVDEA； （3）当点 E在边 CD上移动时，VAEG 能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段 DE 的长；如果不能，请说明理由 【答案】 （1）y43x， （0 x4） ； （2）见详解； （3）94或32或78 【解析】 【分析】 （1）由矩形的性质推出BADDA
42、BC90，即得DABF，再由 AFAE得出EAFBAD90，然后由EAFBAFBAE，BADDAEBAE，得出DAEBAF，由DABF，DAEBAF，得DAEBAF，再由三角形相似的性质得到 y 关于 x 的函数解析式，从而得出 x 的取值范围； （2） 由 ABCD， 得出 1FGFBGEBC 即得 FGEG， 再由EAF90， 得 AGFG， FAGAFG，AFEDAE，再由EAFD，AFEDAE，得AEFDEA； （3）当点 E在边 CD上移动时，AEG能成为等腰三角形，此时可以推断出三种情况，一一推断即可 【详解】解： （1）在矩形 ABCD 中，BADDABC90，ADBC3 DAB
43、F=90， AFAE， EAFBAD90 又EAFBAFBAE，BADDAEBAE， DAEBAF DAEBAF ADDEABBF， DEx，BFy， 34xy，即：y43x y关于 x 的函数解析式是 y43x， （0 x4） ； （2）ADBF，ADBC， BFBC 在矩形 ABCD中，ABCD， 1FGFBGEBC， FGEG EAF90， AGFG FAGAFG AFEDAE 又EAFD， AEFDEA； （3）当点 E在边 CD上移动时，AEG能成为等腰三角形 当 AGEG 时，则GAE=GEA， EAF=90， GAE+GAF=90，GEA+AFG=90， GAF=AFG， EGF
44、GAG， ABCD， FBBC3 当 y3 代入 y43x，得 x94，即：DE94； 当 AEGE时，过点 G作 GHDC， EAG=EGA，DAG=HGA=90， DAE=HGE， D=GHE=90，AEGE ADEGHE， 即 EHDEx，GBHC42x，GH3 FBGFCE， GBFBECFC，即43342344xxxx， 解得 x32，经检验，x32是方程的解，即 DE32； 当 AGAE时， AE2AD2DE29x2 AG29x， GB429x， FBGFCE， GBFBECFC，即：243394344xxxx 解得：x78，经检验，x78是方程的解，即 DE78 综上所述：DE的
45、值为：94或32或78 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质和一次函数的综合运用掌握相似三角形的判定和性质，和分类讨论思想方法是解题的关键 27. 问题提出： （1）如图 1，P 是半径为 5 的O 上一点，直线 l与O 交于 A、B两点，AB8，则点 P 到直线 l的距离的最大值为 问题探究： （2）如图 2，在等腰VABC中，BABC，ABC45 ，F 是高 AD 和高 BE的交点，求:ABFBFDSS的值 问题解决： （3）如图 3，四边形 ABCD是某区的一处景观示意图，AD/ /BC，ABC60 ，BCD90 ，AB60m，BC80m， M是 AB上一点， 且
46、 AM20m 按设计师要求， 需在四边形区域内确定一个点 N， 修建花坛VAMN和草坪VBCN，且需 DN25m已知花坛的造价是每平米 400元，草坪的造价是每平米 200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？ 【答案】 （1）8； （2）2； （3）2400003 【解析】 【分析】 （1）圆上动点到直线距离的最值问题，直接过圆心向直线作垂线，即可求解； （2）根据角平分线性质，得到 FGFD，则 SABF12ABFG，SBDF12BDFD，因为 FGFD，面积比等于ABBC，又因为三角形 ABD 为等腰直角三角形，所以ABBC2，所以2ABFBDFSABSBDVV； （3）因
47、为12AMBM，所以12AMNBMNSSVV ，总费用为 400SAMN200SBNC，即总费用可转化为 200SBMN200SBNC，所以当 SBMNSBNC最小时，费用最小，又因为 SBMNSBNC，且 SBMC为定值，所以当 SCMN最小时，费用最小，即 MC边上的高最小时，SCMN最小 【详解】解： （1）点 P 到直线 l距离的最大值，即过圆心 O 向直线 l作垂交圆 O 于点 P， 连接 OA， AB8，OCAB， AC4， 由勾股定理得：OC3， PC8， 故答案为：8； （2）过点 F作 FGAB， ABC45，ADBC， ABD为等腰直角三角形， AB2BD， 又ABC 为等
48、腰三角形，且 ABBC，BEAC， BE 平分ABC， 又FDBC，FGAB， FGFD， SABF12ABFG，SBDF12BDFD， 2ABFBDFSABSBDVV； （3）连接 MC，过点 A 作 APBC， ABC60，AB60， BP30，AP303， CD303， 设总费用为 W， W400SAMN200SBNC， W200（2SAMNSBNC） ， 当 2SAMNSBNC最小时，总费用最小， 又AM20米，BM40米， 2SAMNSBMN， 当 2SAMNSBNC最小时，费用最小， 即 S四边形BMNC最小时，费用最小， 又S四边形BMNCSBMCSCMN， 过点 M 作 MHB
49、C，垂足为 H， ABC60，BM40米， BH20米，MH203米，MC403米， BCM30， DCM60， SBMC12BCMH12802038003（平方米） 当 SCMN最小时，费用最小， SCMN12MCNQ12403NQ203NQ， 当 NQ 最小时，费用最小， ND25米， N 点在以 D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心 D 向 MC 作垂线交D于 N 点，交 MC于 Q，即此时NQ 最小， CQ153米，DQ45 米， NQ452520（米） ， SMNC最小值12 403204003（平方米） ， S四边形BMNC最小值12003（平方米） W最小值200120032400003（元） 【点睛】本题主要考查圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，属于压轴题，难度较大，综合性强，借助辅助圆是解决问题的关键
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