1、8.6.1 直线与直线垂直 知识点 异面直线所成的角 1定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,我们把 a与 b所成的_ (或_)叫作异面直线 a与 b 所成的角(或夹角) 2范围:_. 3当 _时,a 与 b 互相垂直,记作_ 状元随笔 异面直线所成角的范围是 0 90 ,所以垂直有两种情况:异面垂直和相交垂直 锐角 直角 0 90 90 ab. 【新知初探】 教材解难 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相
2、交直线 (2)求转化为一个三角形的内角, 通过解三角形, 求出所找的角 (3)结论设由(2)所求得的角的大小为 .若 0 90 , 则 为所求;若 90 0),则 MP22k,DM52k,DP32k, DM2DP2MP2,DPM90 . 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . 方法四:方法四: 如图, 在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体,连接 B1Q,易得 B1QEF, DB1Q 就是异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) 设 AA1k(k0),则 B1D 3k,DQ 5k,B1Q 2k, B1D2B1Q2DQ2,DB1Q90 . 异面直线 DB1与 EF 所成的角为
3、 90 . 状元随笔 利用中位线作平行线, 找出异面直线 DB1与 EF 所成的角即可求解. 方法归纳 求异面直线所成角的步骤 一作:选择适当的点,用平移法作出异面直线所成的角; 二证:证明作出的角就是要求的角; 三计算:将异面直线所成的角放入某个三角形中,利用特殊三角形求解 跟踪训练 1 (1)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 解析:(1)连接 A1D,DB,A1D,DB 和 BA1分别是正方体三个面上的对角线,A1DDBBA1,BA1D60 . B1CA1D, B1C 与 A1B 所成的角即 A1D
4、与 A1B 所成的角,即BA1D.故异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60 . 答案:(1)C (2)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别是棱 CD,CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是_ 解析: (2)如题图, 过点 M 作 MEDN 交 CC1于点 E, 连接 A1E,则A1ME 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角(或其补角),E 为CN 的中点设正方体的棱长为 a,则 A1M32a,ME54a,A1E414a,所以 A1M2ME2A1E2,所以A1ME90 ,即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90 . 答案: (2)90 题
5、型二 直线与直线垂直 例 2 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心求证 AO1BD. 【证明】 如图,连接 B1D1. ABCDA1B1C1D1是正方体, BB1綉DD1. 四边形 BB1D1D 是平行四边形, B1D1BD. 直线 AO1与 B1D1所成的角即为直线 AO1与 BD 所成的角 连接 AB1,AD1,易证 AB1AD1. 又 O1为底面 A1B1C1D1的中心,O1为 B1D1的中点, AO1B1D1,AO1BD. 方法归纳 证明直线与直线垂直的方法 等腰三角形中线即是高线 勾股定理 异面直线所成的角为直角 跟踪训练 2 如图,P 是平面 ABC 外一点,PA4,BC2 5,D,E 分别为 PC,AB 的中点,且 DE3.求证:PABC. 证明:如图,取 AC 的中点 F,连接 DF,EF, 在PAC 中,D 是 PC 的中点,F 是 AC 的中点, DFPA,同理可得 EFBC, DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角) 在DEF 中,DE3, 又 DF12PA2,EF12BC 5, DE2DF2EF2,DFE90 , 即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90 ,PABC. 状元随笔