1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.15.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 5 5. . 1.11.1 任意角任意角 一、选择题 1.(多选题)下列说法中，不正确的是( ) A.第二象限角都是钝角 B.第二象限角大于第一象限角 C.若角 与角 不相等，则 与 的终边不可能重合 D.若角 与角 的终边在一条直线上，则 k 180 (kZ) 答案 ABC 解析 A 错，495 135 360 是第二象限角，但不是钝角； B 错，135 是第二象限角，360 45 是第一象限角，但 ； C 错，360 ，720 ，则 ，但二者终边重合； D 正确， 与 的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差 1
2、80 的整数倍，故k 180 (kZ). 2.给出下列命题： 75 是第四象限角；225 是第三象限角；475 是第二象限角；315是第一象限角. 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 D 解析 90 75 0 ，75 是第四象限角，正确；180 225 270 ，225 是第三象限角，正确；360 90 475 360 180 ，475 是第二象限角，正确；360 315 270 ，315 是第一象限角，正确.故这4 个命题都是正确的. 3.与468 角的终边相同的角的集合是( ) A.|k 360 456 ，kZ B.|k 360 252 ，kZ C
3、.|k 360 96 ，kZ D.|k 360 252 ，kZ 答案 B 解析 因为468 2360 252 ，所以 252 角与468 角的终边相同，所以与468 角的终边相同的角为 k 360 252 ，kZ，故选 B. 4.角 与角 的终边关于 y 轴对称，则 与 的关系为( ) A.k 360 ，kZ B.k 360 180 ，kZ C.k 360 180 ，kZ D.k360 ，kZ 答案 B 解析 法一 (特值法)令 30 ，150 ，则 180 . 法二 (直接法)因为角 与角 的终边关于y轴对称， 所以180 k 360 ，kZ，即 k 360 180 ，kZ. 5.已知 为第
4、三象限角，则2所在的象限是( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 答案 D 解析 法一 如图所示，将每个象限二等分，标号所在的区域即为2所在的区域，故选 D. 法二 180 k 360 270 k 360 ，kZ， 90 k 180 2135 k 180 ，kZ， 2为第二或第四象限角，故选 D. 二、填空题 6.1 112 角是第_象限角. 答案 一 解析 1 112 360 332 ，1 112 与 32 的终边相同，均为第一象限角. 7.终边在坐标轴上的角的集合为_. 答案 |k 90 ，kZ 解析 终边在 x 轴上的角的集合为 1k 18
5、0 2k 90 ，终边在 y 轴上的角的集合为 2k 180 90 (2k1) 90 ，所以终边在坐标轴上的角的集合为|k 90 ，kZ. 8.若角 的终边与 60 角的终边相同， 则在 0 360 内终边与3角的终边相同的角为_. 答案 20 ，140 ，260 解析 由题意设 60 k 360 (kZ)， 则320 k 120 (kZ)， 则当 k0，1，2 时，320 ，140 ，260 . 三、解答题 9.已知角 的 7 倍角的终边与角 的终边重合，且 0 360 ，求满足条件的角 的集合. 解 由题意知，7k 360 ，kZ， 即 6k 360 ，kZ，k 60 ，kZ， 由 0 3
6、60 ，得 0 k 60 360 ，kZ， 0k6，kZ，即 k1，2，3，4，5， 的集合为60 ，120 ，180 ，240 ，300 . 10.已知角 2 010 . (1)把 改写成 k 360 (kZ，0 360 )的形式，并指出它是第几象限角； (2)求 ，使 与 终边相同，且360 720 . 解 (1)由 2 010 除以 360 ，得商为 5，余数为 210 . 取 k5，210 ， 5360 210 . 又 210 是第三象限角， 为第三象限角. (2)与 2 010终边相同的角为 k 360 2 010 (kZ). 令360 k 360 2 010 720 (kZ)， 解
7、得6712k3712(kZ). 所以 k6，5，4. 将 k 的值代入 k 360 2 010 中，得角 的值为150 ，210 ，570 . 11.若 是第二象限角，那么2和 90 都不是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案 B 解析 是第二象限角，k 360 90 k 360 180 ，kZ，k 180 45 2k 180 90 ， kZ， 2是第一或第三象限角， 而 是第三象限角， 90 是第四象限角，故选 B. 12.已知角 2 的终边在 x 轴的上方，那么 是第_象限角. 答案 一或三 解析 由题意知 k 360 2180 k 360 (kZ)
8、， 故 k 180 90 k 180 (kZ)，按照 k 的奇偶性进行讨论.当 k2n(nZ)时，n 360 90 n 360 (nZ)，在第一象限；当 k2n1(nZ)时，180 n 360 270 n 360 (nZ)，在第三象限.故 是第一或第三象限角. 13.在集合|k 90 45 ，kZ中 (1)有几种终边不相同的角？ (2)有几个在区间(360 ，360 )内的角？ (3)写出其中的第三象限角. 解 (1)由 k4n，4n1，4n2，4n3(nZ)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种. (2)由360 k 90 45 360 ，得92k72. 又 kZ，故 k4，3，2，1
9、，0，1，2，3. 所以在给定的角的集合中在区间(360 ，360 )内的角共有 8 个. (3)其中的第三象限角为 k 360 225 ，kZ. 14.如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为 1 的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点 A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过 角，黑蚂蚁每秒爬过 角(0 180 )， 如果两只蚂蚁都在第 14 s 回到 A 点， 并且在第 2 s 时均位于第二象限，求 ， 的值. 解 根据题意可知 14，14 均为 360 的整数倍，故可设 14m 360 ，mZ，14n 360 ，nZ. 由于两只蚂蚁在第 2 s 时均位于第二象限. 又由 0 180 ，知 0 22360 ， 进而知 2，2 都是钝角， 即 90 22180 ，即 45 90 ， 45 m7 180 90 ，45 n7 180 90 ， 74m72，74n72. ，mn，又 m，nZ， m2，n3，3607 ，5407 .
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