1、5 5. .4 4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5 5. .4.14.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 一、选择题 1.用“五点法”作函数 ycos 2x,xR 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是( ) A.0,2,32,2 B.0,4,2,34, C.0,2,3,4 D.0,6,3,2,23 答案 B 解析 令 2x0,2,32,2,得 x0,4,2,34,. 2.(多选题)若点3,|n| 在余弦曲线 f(x)cos x 上,则 n( ) A.12 B.12 C.32 D.1 答案 AB 解析 由于点3,|n| 在余弦曲线 f(x)cos x 上,所以|
2、n|cos 312,即 n12.故选 AB. 3.对于余弦函数 ycos x 的图象,有以下描述: 向左向右无限延伸; 与 x 轴有无数多个交点; 与 ysin x 的图象形状一样,只是位置不同. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 D 解析 如图所示为 ycos x 的图象,可知描述均正确. 4.函数 y1sin x,x0,2的图象与直线 y2 交点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 由函数 y1sin x,x0,2的图象(如图所示),可知其与直线 y2 只有 1 个交点. 5.方程 sin xx10的根的个数是( ) A.7
3、 B.8 C.9 D.10 答案 A 解析 在同一坐标系内画出 yx10和 ysin x 的图象如图所示: 根据图象可知方程有 7 个根. 二、填空题 6.不等式 sin x12,x0,2的解集为_. 答案 76,116 解析 如图所示,不等式 sin x12的解集为76,116. 7.若方程 sin x4m1 在 x0,2上有解,则实数 m 的取值范围是_. 答案 12,0 解析 由正弦函数的图象,知当 x0,2时,sin x1,1,要使得方程 sin x4m1 在 x0,2上有解,则14m11,故12m0. 8.有下列命题: ysin |x|的图象与 ysin x 的图象关于 y 轴对称;
4、 ycos (x)的图象与 ycos |x|的图象相同; y|sin x|的图象与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称; ycos x 的图象与 ycos (x)的图象关于 y 轴对称. 其中正确命题的序号是_. 答案 解析 对于,ycos (x)cos x.ycos |x|cos x,故其图象相同;对于,ycos (x)cos x,故这两个函数图象关于 y 轴对称,作图(图略)可知均不正确. 三、解答题 9.用“五点法”作出函数 y113cos x 的简图. 解 (1)列表 x 0 2 32 2 cos x 1 0 1 0 1 113cos x 23 1 43 1 23 (2)描点,连线可
5、得函数在0,2上的图象,将函数图象向左,向右平移(每次平移 2 个单位长度),就可以得到函数 y113cos x 的图象,如图所示. 10.若方程 sin x1a2在 x3, 上有两个实数根,求 a 的取值范围. 解 在同一直角坐标系中作出 ysin x,x3, 的图象,y1a2的图象,由图象可知,当321a21,即1sin x 成立的是( ) A.0,4 B.4,54 C.54,2 D.4,2,54 答案 AC 解析 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象,在(0,2)上,当 cos xsin x 时,x4或54.结合图象可知满足 cos xsin x 的是0,4和54,2 ,故选 A
6、C. 13.已知函数 f(x)cos x (x0),sin x (0 x). (1)作出该函数的图象; (2)若 f(x)12,求 x 的值. 解 (1)作出函数 f(x)cos x (x0),sin x (0 x)的图象,如图所示. (2)因为 f(x)12,所以在图基础上再作直线 y12,如图所示.则当x0时,由图象知 x3;当 0 x 时,x6或 x56. 综上,可知 x 的值为3或6或56. 14.已知函数 f(x)cos x, 若存在 x1, x2, , xn满足2x1x2x3xn152,且|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|16,则 n 的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 答案 C 解析 f(x)cos x 对任意 xi,xj(i,j1,2,3,n)都有|f(xi)f(xj)|f(x)maxf(x)min2,要使 n 取得最小值,需尽可能多让 xi(i1,2,3,n)取得最高点,考虑2x1x2x3xn152,|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|16,按下图取值即可满足条件,即有|10|27|01|16.则 n 的最小值为 10.