1、专题专题 7 二次函数二次函数 一选择题（共一选择题（共 18 小题）小题） 1 （2021开福区校级二模）已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 1x3 时，其对应的函数值 y 的最小值为 1，则 h 的值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 3 D0 或 3 2 （2021雨花区校级模拟）二次函数 yax2+bx+c 的自变量 x 与函数值 y 之间有下列关系： x 3 2 0 y 3 1.68 1.68 那么（a+b+c）的值为（ ） A6 B6 C32 D32 3 （2021长沙模拟） 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象全部在 x 轴的上方，
2、 那下列判断中正确的是 （ ） Aa0，b0，b24ac0 Ba0，b0，b24ac0 Ca0，c0，b24ac0 Da0，c0，b24ac0 4 （2021开福区模拟）如图，是抛物线 y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个交点 B（4，0） ，直线 y2mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：2a+b0；抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0） ；方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根；当 1x4 时，有 y2y1；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2；则 x1+x21则命题正确的个数为（ ） A5 个
3、 B4 个 C3 个 D2 个 5 （2021长沙模拟）如图，抛物线 G：y1a（x+1）2+2 与抛物线 H：y2（x2）21 交于点 B（1，2） ，且它们分别与 y 轴交于点 D、E过点 B 作 x 轴的平行线，分别与两抛物线交于点 A、C，则以下结论： 无论 x 取何值，y2总是负数； 抛物线 H 可由抛物线 G 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到； 当3x1 时，随着 x 的增大，y1y2的值先增大后减小； 四边形 AECD 为正方形 其中正确的是（ ） A B C D 6 （2021天心区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单
4、位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球抛出 3 秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是 80m； 小球的高度 h20 时， t1s 或 5s 小球抛出 2 秒后的高度是 35m 其中正确的有 （ ） A B C D 7 （2021岳麓区模拟） 若点 M （m， n） 是抛物线 y2x2+2x+m 上的点， 且抛物线与 x 轴至多有一个交点，则 mn 的最小值（ ） A12 B32 C12 D32 8 （2021长沙模拟）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标（1，n） ，抛物线与 y轴的交点在（0，2） ， （0，3）之间（包含端点） ，则下列
5、结论：a+b+c0；对于任意实数 m，a+bam2+bm 总成立； 关于 x 的方程 ax2+bx+cn 有两个相等的实数根；1a 23，其中结论正确个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （2021岳麓区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 y（x5） （x+3）经平移变换后得到抛物线 y（x3） （x+5） ，则这个变换可以是（ ） A向左平移 2 个单位长度 B向右平移 2 个单位长度 C向左平移 8 个单位长度 D向右平移 8 个单位长度 10 （2021岳麓区校级二模）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x= 12，
6、结合图象分析下列结论：abc0；3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1= 13，x2=12；若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2，其中正确的结论有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 11 （2021望城区模拟）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在点（0，2）与点（0，3）之间（包含端点） ，顶点 D 的坐标为（1，n） 则下列结论：其中结论正确的个数为（ ） 3a+c0； 23a1； 对于任意实数 m，a+b
7、am2+bm 总成立； 关于 x 的方程 ax2+bx+cn+1 没有实数根 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 （2021雨花区校级模拟）能使分式方程1;+2=31有非负实数解且使二次函数 yx2+2xk1 的图象与 x 轴无交点的所有整数 k 的积为（ ） A20 B20 C60 D60 13 （2020雨花区校级三模）已知抛物线 L：yax22ax+5（a0）的顶点为 A，抛物线 M 与抛物线 L 关于 B（2，0）成中心对称，若抛物线 M 经过点 A，则 a 的值为（ ） A2 B52 C5 D53 14 （2020天心区模拟）已知抛物线 yax2+2axb（a0） ，它关于
8、点（0，12）对称的抛物线为 y1，其顶点为 A1；关于点（0，22）对称的抛物线为 y2，其顶点为 A2；关于点（0，n2）对称的抛物线为 yn，其顶点为 An（n 为正整数） 则 A2020A2021的长为（ ） A2020 B2021 C8080 D8082 15 （2020雨花区校级二模）二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a） ，下列结论：abc0；4a+2b+c0；9ab+c0；若方程 a（x+5） （x1）1 有两个根x1和 x2，且 x1x2，则5x1x21；若方程|ax2+bx+c|1 有四个根，则这四个根的和为8其中正确的结论有（ ）个
9、 A2 B3 C4 D5 16 （2020雨花区校级一模）对于函数 yx22|x|3，下列说法正确的有（ ）个 图象关于 y 轴对称；有最小值4；当方程 x22|x|3m 有两个不相等的实数根时，m3；直线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点时，134b3 A1 B2 C3 D4 17 （2020宁乡市一模）定义a，b，c为函数 yax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为m1，m+1，2m的函数的一些结论，其中不正确的是（ ） A当 m2 时，函数图象的顶点坐标为（32，254） B当 m1 时，函数图象截 x 轴所得的线段长大于 3 C当 m0 时，函数在 x12时，y 随
10、 x 的增大而增大 D不论 m 取何值，函数图象经过两个定点 18 （2020雨花区模拟）已知二次函数 yax2+bx+c 自变量 x 与函数值 y 之间满足下列数量关系： x 2 4 5 y 0.38 0.38 6 则（a+b+c） （;:2;42+;2;42）值为（ ） A24 B36 C6 D4 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 19 （2021雨花区校级二模）已知二次函数 ymx2+2mx+1（m0）在2x2 时有最小值2，则 m 20 （2021开福区校级二模）已知抛物线 yx22bx+2b24c（其中 b，c 为常数）经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ，
11、且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为 21 （2021岳麓区校级二模）二次函数 y2（x1）2+3 的图象的顶点坐标是 三解答题（共三解答题（共 17 小题）小题） 22 （2021岳麓区校级模拟）定义：对于抛物线 G1：yax2+bx+c（a0） ，以 y 轴上的点 M（0，m）为中心，作该抛物线关于点 M 中心对称的抛物线 G2，则我们称抛物线 G2为抛物线 G1的“衍生抛物线” ，点M 为“衍生中心” （1）抛物线 y（x+2）2+1 关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是 ； （2）已知抛物线 yx22x+5 关于点（0，m）的“衍生抛物线”为 G3，若这两条
12、抛物线有交点，求m 的取值范围； （3）已知抛物线 G4：yax2+2axb（a0） 若抛物线 G4的“衍生抛物线”为 ybx22bx+a2（b0） ，两条抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 a，b 的值及“衍生中心”的坐标； 若抛物线 G4关于点（0，k+12）的“衍生抛物线”为 y1，其顶点为 A1；关于点（0，k+22）的“衍生抛物线”为 y2，其顶点为 A2；关于点（0，k+n2）的“衍生抛物线”为 yn，其顶点为 An（n 为正整数） 请问是否存在某一个 n 的值使得 AnAn+1的长为 26，若存在，求出相应的 n 的值；若不存在，请说明理由 23 （2021雨花区校级一模）
13、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H 点” ，如（2，3）与（3，2）是一对“H 点” （1）点（m，n）和它的“H 点“均在直线 ykx+a 上，求 k 的值； （2） 直线 ykx+3 与抛物线 yx2+bx+c 的两个交点 A， B 恰好是一对 “H 点” ， 其中点 A 在反比例函数 =2的图象上，求此抛物线的解析式； （3）已知 A（m，n） （mn） ，B 为抛物线 yax2+bx+c 上的一对“H 点” ，且满足：m+n2，mn3，点 P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在 3 个点 P 满足PAB 的面积为 16，求
14、 a+b+c 的值 24 （2021雨花区校级一模）如图 1，若关于 x 的二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a0）与 x 轴交于两个不同的点 A（x1，0） ，B（x2，0） （x10 x2） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 M，O 是坐标原点 （1）若 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，3） ，求此二次函数的解析式及顶点 M 的坐标； （2）当 x11，c4a 时，以 AB 为直径的圆恰好经过点 C，求经过点 C 且恰好与抛物线只有一个交点的直线函数解析式； （3）如图 2，连接 MC，直线 MC 与 x 轴交于点 P，满足PCAPBC，且 tanPBC=1
15、2，PBC 的面积为13，求 a，b，c 的值 25 （2021雨花区校级二模）如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 M，直线 ym 与 x 轴平行，且与抛物线交于点 A，B，若AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的 “准蝶形” ， 线段 AB 称为碟宽， 顶点 M 称为碟顶 已知 y1ax24ax53（a0）与直线 y2=23x+m （1）抛物线 y=122对应的碟宽为 ； （2）抛物线 y1ax24ax53（a0）对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，试求 a 的值； （3）在（2）的条件下，当2x1 时，函数
16、yy1+y2x+23的图象与 x 轴有两个不同公共点，求 m 的取值范围 26 （2021雨花区校级二模） 如图， 抛物线 yax2+bx+c 关于直线 x1 对称， 与坐标轴交于 A， B， C 三点，且 AB4，点 D（2，32）在抛物线上，直线 l 是一次函数 ykx2（k0）的图象，点 O 是坐标原点 （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 l 分四边形 OBDC 所成的面积比为 1：2，求 k 的值； （3）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线 l 交于 M，N 两点，问在 y轴正半轴上是否存在一定点 P，使得不论 k 取何值，直线 PM 与 PN
17、总是关于 y 轴对称？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由 27 （2021岳麓区校级一模） 定义：若一次函数 yax+b （a0）与反比例函数 =（c0） 满足 a+c2b，则我们把函数 yax2+bx+c 称为一次函数与反比例函数的“附中函数” （1）一次函数 y3x+6 与反比例函数 =9是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数” ，如果不存在，请说明理由 （2）若一次函数 yx+b 与反比例函数 =（c0）存在“附中函数” ，且该“附中函数”的图象与直线 y2x+7 有唯一交点，求 b，c 的值 （3）若一次函数 yax+b（a0）与反比例函数 = （c0）的“附中函数
18、”的图象与 x 轴有两个交点分别是 A（x1，0） ，B（x2，0） ，其中 ac3a，点 C（3，4） ，求ABC 的面积的变化范围 28 （2021开福区校级一模）定义：当 x 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数” ，这个常数称为“恒心值” （1）判断：函数 yx2+2x+2 是否为“恒心函数” ，如果是，求出此时的“恒心值” ，如果不是，请说明理由； （2）已知“恒心函数”y3|ax2+bx+c|+2 当 a0，c0 时，此时的恒心值为 ； 若三个整数 a、b、c 的和为 12，且=，求 a 的最大值与最小值，并求出此时相应的 b、c 的值； （3）恒心函数
19、yax2+bx+c（ba）的恒心值为 0，且:恒成立，求 m 的取值范围 29 （2021雨花区二模）在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，我们把|x1x2|称为 A、B 两点的“云距离” ，记作 =|x1x2|例如：A（3，4） ，B（0，1） ，则 =|30|3 （1）若 A（1，2） ，B（3，4） ，则 = 若点 A（x1，2） ，B（x2，6） ，当 A、B 都在函数 y2x 的函数图象上时， = 若点 A（x1，2） ，B（x2，4） ，当 A、B 都在函数 y= 8的函数图象上时， = （2）已知直线 yx+b（b0）交 x 轴于 B 点
20、，交 y 轴于 A 点，在第一象限内交双曲线 y=（k0）于 C，D 两点，且满足 = = 若 kb+18m 恒成立，求 m 的最大值 （3）若抛物线 yax2+bx+c（a0）与直线 y2bx3c（b0）在同一坐标平面内交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且满足下列两个条件：a2b3c，抛物线过（1，0） ，试求的取值范围 30 （2021雨花区二模）如图 1，已知圆 O 的圆心为原点，半径为 2，与坐标轴交于 A，C，D，E 四点，B为 OD 中点 （1）求过 A，B，C 三点的抛物线解析式； （2）如图 2，连接 BC，AC点 P 在第一象限且为圆 O 上一动点，连接 BP，交
21、 AC 于点 M，交 OC 于点 N，当 MC2MNMB 时，求 M 点的坐标； （3） 如图 3， 若抛物线与圆 O 的另外两个交点分别为 H， F， 请判断四边形 CFEH 的形状， 并说明理由 31 （2021长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形” （1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为 4，6，m1，求 m 的值 （2）已知 RtABC 是“调和三角形” ，它的三边长分别为 a，b，c，且 abc 求 a：b：c 的值； 若ABC 周长的数值与面积的数值相等，求 a，b，c
22、的值 （3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位 c 长度的速度沿路线 ABC 运动，动点 Q从点 C 出发以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，设 yPQ2 求 y 关于 t 的函数关系式； 求 y 的最小值 32 （2021长沙模拟）如图，RtABC 的三个顶点均落在直角坐标系的坐标轴上，OA9，OB16，ACB90，抛物线 yax2+bx+c（a0）过 A，B，C 三点 （1）求抛物线的函数关系式； （2）点 D 是线段 BC 上一动点（不与 B、C 两点重合） ，过点 D 作 DEx 轴，交
23、抛物线于点 E，当 AD平分CAB 时，求 DE 的长； （3）在第（2）问的条件下，延长 AD 交抛物线于点 M，点 N（9，m）在抛物线上，在直线 x=172上是否存在点 Q，使MQN45？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 33 （2021天心区模拟）定义：与坐标轴不重合的直线 l 交 x，y 轴于 A、B 两点（A、B 不重合） ，若抛物线L 过点 A 和点 B，则称此抛物线 L 为直线 l 的“和谐线” ，如图 L1，L2均为直线 l 的“和谐线” （1）已知直线的解析式为 yx+4，则下列抛物线是直线 l 的“和谐线”的有 yx25x+4 y2x27x4 = 122+
24、+ 4 （2）已知直线 ykx+b 的“和谐线”为 = 142+ 1，且直线与双曲线 =4交于点 M，N，求线段MN 的长 （3）已知直线 ycx+c（c0）的“和谐线”为 yax2+bx+c（a0，且 abc） ，求该“和谐线”在 x 轴上所截线段长 d 的取值范围 34 （2021长沙模拟）如图，抛物线 yax2+bx 过 A（4，0） ，B（1，3）两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BHx 轴，交 x 轴于点 H （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点 C 的坐标，并求出ABC 的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为 6
25、 时，求出点 P 的坐标； （4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，是否存在以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点 M 的坐标，若不存在，请说明理由 35 （2021长沙模拟）已知抛物线 yax22ax（a0）与 x 轴交于点 A （1）求点 A 的坐标； （2）设抛物线的顶点为 P，点 B 是第一象限抛物线上的一动点，若 SOBP2SOAP，求证：点 B 总在一条直线上运动； （3）若 a1，直线 yx+4 与抛物线交于点 M，N，点 C 是 x 轴下方抛物线上的一点，连接 CM 交 y 轴于点 E， 直线 DM 交 y 轴于点 F
26、， 交抛物线于点 D （D 在 N 左侧） ， NMDNMC， 求;:6的值 36 （2021长沙模拟）我们定义：如果两个多项式 A 与 B 的差为常数，则称 A 与 B 是“纠缠多项式” ，简单的说，A 是 B 的“纠缠式” ，这个常数称为 A 关于 B 的“纠缠值” 例如：多项式 Ax34x2+6，Bx2（x4）3，则 A 是 B 的“纠缠式” ，A 关于 B 的“纠缠值”为 9 （1）已知多项式 C3x2x4，判断下列式子中哪一个为 C 的“纠缠式” ，并请并求出 C 关于这个多项式的“纠缠值” 这个多项式是 （填序号） ，纠缠值等于 2x2x（1x） ； （3x+4） （x1） ； 6
27、x22x+4 （2）已知多项式 M（xa）2，Nx22x+b（a，b 为常数） ，M 是 N 的“纠缠式” ，且当 x 为实数时，N 的最小值为 2，求 M 关于 N 的“纠缠值” ； （3）已知多项式 x2+b1x+c1是 x2+b2x+c2的“纠缠式” （其中 b1、b2、c1、c2为常数，c1c2） 构造函数：yx2+b1x+c1，yx2+b2x+c2若直线 ykx+m 与 yx2+b1x+c1、yx2+b2x+c2的图象相交于 E（x1，y1） 、F（x2，y2） 、G（x3，y3） 、H（x4，y4） ，其中 x1x2x3x4若 yx2+b1x+c1的图象的顶点为 P，记 S1、S2
28、、S3分别为EPF、EPG、EPH 的面积问：1:23的值是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由 37 （2021商河县校级模拟）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴交于 B 点，A（6，0） ，C（1，0） ，B（0，163） （1）求该抛物线的函数关系式与直线 AB 的函数关系式； （2）已知点 M（m，0）是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l，分别与直线 AB 和抛物线交于 D、E 两点，当 m 为何值时，BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下，当BDE 恰好
29、是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位置记为点 M，将 OM绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0到 90之间） ； i：探究：线段 OB 上是否存在定点 P（P 不与 O、B 重合） ，无论 ON 如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出 P 点坐标：若不存在，请说明理由； ii：试求出此旋转过程中， （NA+34NB）的最小值 38 （2021开福区校级三模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=54x+m（m 为常数）的图象与 x轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 C，以直线 x1 为对称轴的抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a0）
30、经过 A、C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B （1）求 m 的值及抛物线的函数表达式； （2）是否存在抛物线上一动点 Q，使得ACQ 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 Q 的横坐标；若存在，请说明理由； （3）若 P 是抛物线对称轴上一动点，且使ACP 周长最小，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 M1（x1，y1） ，M2（x2，y2）两点，试问1212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由 （参考公式：在平面直角坐标系中，若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 A，B 两点间的距离为 AB=(1 2)2+ (1 2)2） 参考答案
31、与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 18 小题）小题） 1 【解答】解：函数的对称轴为：xh， 当 h3 时， x3 时，y 取得最小值，即（3h）21， 解得：h2 或 4（舍去 2） ， 故 h4； 当 h1 时， x1 时，y 取得最小值，即（1h）21， 解得：h0 或 2（舍去 2） ， 故 h0； 当 1h3 时， xh 取得最小值，最小值为 0，不符合题意，舍去，故此结论不成立； 综上，h0 或 4， 故选：B 2 【解答】解：抛物线经过点（2，1.68） ， （0，1.68） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 即2= 1，b2a， x3 和 x1 对应的函数
32、值相等， x1 时，y3，即 a+b+c3， （a+b+c）236 故选：A 3 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象全部在 x 轴的上方， a0，b24ac0， 4acb20， 4acb2， 4ac0 a0，c0，b24ac0 故选：D 4 【解答】解：对称轴为直线 x= 2=1， 则：2a+b0 正确； 对称轴是直线 x1，与 x 轴的一个交点是 B（4，0） ，则与 x 轴的另一个交点是（2，0） ， 故正确； 将抛物线1= 2+ + 向下平移 3 个单位，得到 yax2+bx+c3， 顶点坐标变为（1，0） ， 此时抛物线与 x 轴只有一个交点， 方程 ax2+bx+c3
33、有两个相等的实数根正确； 当 1x4 时，有图象可知 y2y1正确； 若 ax12+bx1ax22+bx2， 则 ax12+bx1+cax22+bx2+c， 即 y1y2， x1、x2关于函数的对称轴对称， 由知函数对称轴为直线 x= 2=1， 故12（x1+x2）1， 不正确， 故选：B 5 【解答】解：（x2）20， （x2）20， y2（x2）2110， 无论 x 取何值，y2总是负数； 故正确； 抛物线 G：y1a（x+1）2+2 与抛物线 H：y2（x2）21 交于点 B（1，2） ， 当 x1 时，y2， 即2a（1+1）2+2， 解得：a1； y1（x+1）2+2， H 可由 G
34、 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到； 故正确； y1y2（x+1）2+2（x2）216x+6， 随着 x 的增大，y1y2的值减小； 故错误； 设 AC 与 DE 交于点 F， 当 y2 时，（x+1）2+22， 解得：x3 或 x1， 点 A（3，2） ， 当 y2 时，（x2）212， 解得：x3 或 x1， 点 C（3，2） ， AFCF3，AC6， 当 x0 时，y11，y25， DE6，DFEF3， 四边形 AECD 为平行四边形， ACDE， 四边形 AECD 为矩形， ACDE， 四边形 AECD 为正方形 故正确 故选：B 6 【解答】解：由图象可知，点（0，0
35、） ， （6，0） ， （3，40）在抛物线上，顶点为（3，40） ， 设函数解析式为 ha（t3）2+40， 将（0，0）代入得：0a（03）2+40， 解得：a= 409， h= 409（t3）2+40 顶点为（3，40） ， 小球抛出 3 秒时达到最高点，故正确； 小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为 40280m，故正确； 令 h20，则 20= 409（t3）2+40， 解得 t3322，故错误； 令 t2，则 h= 409（23）2+40=3209m，故错误 综上，正确的有 故选：A 7 【解答】解：抛物线 y2x2+2x+m 与 x 轴至多有一个交点， 4
36、4（2）m0， 解得 m 12， 点 M（m，n）是抛物线 y2x2+2x+m 上的点， n2m2+2m+m， mn2m22m2（m12）212， m 12， 当 m= 12时，mn 有最小值，最小值为 2（1212）212=32， 故选：B 8 【解答】解：由图象可知，当 x1 时，y0， a+b+c0，所以正确； 抛物线的顶点坐标（1，n） ， x1 时，二次函数值有最大值 n， a+b+cam2+bm+c， 即 a+bam2+bm，所以正确； 抛物线的顶点坐标（1，n） ， 抛物线 yax2+bx+c 与直线 yn 有一个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+cn 有两个相等的实数根，
37、所以正确； 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ， ab+c0， b2a， a+2a+c0， c3a， 2c3， 23a3， 1a 23，所以正确； 故选：D 9 【解答】解：抛物线 y（x5） （x+3） ， 当 y0 时，x5 或3， 此抛物线与坐标轴一定相交于（5，0）和（3，0） ， 其对称轴为：直线 x1， 抛物线 y（x3） （x+5） ， 当 y0 时，x5 或 3， 此抛物线与坐标轴一定相交于（5，0）和（3，0） ， 其对称轴为：直线 x1， 抛物线 y（x5） （x+3）经平移变换后得到抛物线 y（x3） （x+5） ，则这个变换可以是向左平移 2个
38、单位长度 故选：A 10 【解答】解：由函数图象可得， a0，b0，c0， 则 abc0，故正确； 2= 12，得 ab， x3 时，y9a3b+c0， 6a+c0， c6a， 3a+c3a6a3a0，故正确； 由图象可知，当 x12时，y 随 x 的增大而增大，当12x0 时，y 随 x 的增大而减小，故错误； 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 X 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x= 12， 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（2，0） ， ax2+bx+c0 的两个根为 x13，x22， a+b1+c（1）20 的两个根为 x13，x22， 一元二次方程 cx2+bx+a0
39、 的两根分别为 x1= 13，x2=12，故正确； 该函数与 x 轴的两个交点为（3，0） ， （2，0） ， 该函数的解析式可以为 ya（x+3） （x2） ， 当 y3 时，3a（x+3） （x2） 当 y3 对应的 x 的值一个小于3，一个大于 2， 若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2，故错误； 故选：A 11 【解答】解：顶点 D 的坐标为（1，n） 对称轴为 x1，即2=1，也就是 b2a； 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ， ab+c0，将 b2a 代入得；a+2a+c0，即 3a+c0；因此正确；
40、 由 ab+c0 得，cba2aa3a； 抛物线与 y 轴的交点 B 在点（0，2）与点（0，3）之间， 3c2，即：33a2， 23a1，因此不正确； 当 x1 时，ya+b+cn， 当 xm 时，yam2+bm+c， （m 为任意实数） ， （1，n）为顶点坐标， a+b+cam2+bm+c，即：a+bam2+bm，因此正确， a0，顶点为（1，n） ， 当 yn 时，关于 x 的方程 ax2+bx+cn 有两个相等的实数根，即：x1x21， 当 yn+1 时，关于 x 的方程 ax2+bx+cn+1 有两个不相等的实数根， 因此不正确； 综上所述，正确的结论有 2 个， 故选：B 12
41、【解答】解：1;+2=31， 去分母，方程两边同时乘以 x1， k+2（x1）3， x=5+20， k5， x1， k3， 由 yx2+2xk1 的图象与 x 轴无交点，则 44（k1）0， k2， 由得：5k2 且 k3， k 的整数解为：5、4，乘积是 20； 故选：B 13 【解答】解：抛物线 L：yax22ax+5a（x1）2+5a， 顶点 A（1，5a） ， 抛物线 M 与抛物线 L 关于 B（2，0）成中心对称， 抛物线 M 的开口大小相同，方向相反，顶点为（3，a5） M 的解析式是：ya（x3）2+a5， 抛物线 M 经过点 A， 5a4a+a5，解得 a5， 故选：C 14
42、【解答】抛物线 yax2+2axb 的顶点坐标为（1，ab） ， 点（1，ab）关于点（0，n2）的对称点为（1，a+b+2n2） ， 抛物线 yn的顶点坐标 An为（1，a+b+2n2） ， 同理：An+1（1，a+b+2（n+1）2） ， AnAn+1a+b+2（n+1）2（a+b+2n2）4n+2 A2020A2021的长为：42020+28082， 故选：D 15 【解答】解：抛物线的开口向上，则 a0，对称轴在 y 轴的左侧，则 b0，交 y 轴的负半轴，则 c0， abc0，所以结论错误； 抛物线的顶点坐标（2，9a） ， 2= 2，4;24= 9a， b4a，c5a， 抛物线的解
43、析式为 yax2+4ax5a， 4a+2b+c4a+8a5a7a0，所以结论正确， 9ab+c9a4a5a0，故结论正确， 抛物线 yax2+4ax5a 交 x 轴于（5，0） ， （1，0） ， 若方程 a（x+5） （x1）1 有两个根 x1和 x2，且 x1x2，则5x1x21，正确，故结论正确， 若方程|ax2+bx+c|1 有四个根，设方程 ax2+bx+c1 的两根分别为 x1，x2，则1:22= 2，可得 x1+x24， 设方程 ax2+bx+c1 的两根分别为 x3，x4，则3:42= 2，可得 x3+x44， 所以这四个根的和为8，故结论正确， 故选：C 16 【解答】解：a
44、22|a|3（a）22|a|3， yx22|x|3 的图象关于 y 轴对称， 故正确； yx22|x|3（|x|1）24， 当|x|1 即 x1 时，y 有最小值为4， 故正确； 当 m4 时，方程 x22|x|3m 为 x22|x|34，可化为（|x|1）20，解得 x1，有两个不相等的实数根，此时 m43， 故错误； 直线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点， 方程 x22|x|3x+b，即 x22|x|x3b0 有 3 个解， 方程 x23x3b0（x0）与方程 x2+x3b0（x0）一共有 3 个解， 当方程 x23x3b0（x0）有两个不相等的非负数根，则方程 x2+x
45、3b0（x0）有两个相等的负数根；或当方程 x23x3b0（x0）有两个不相等的非负数根，则方程 x2+x3b0（x0）有一个负数根；或方程 x23x3b0（x0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x3b0（x0）有两个不相等的负数根 即 1= 9 + 12 + 401 2= 3 02= 1 + 12 + 4 = 03 4= 3 0或 1= 9 + 12 + 401 2= 3 02= 1 + 12 + 403 4= 3 0或1= 9 + 12 + 4 01 2= 3 02= 1 + 12 + 4 03 4= 3 0， 解得，b= 134，或 b3， 当 b= 134或 b3 时，
46、直线 yx+b 与 yx22|x|3 的图象有三个交点， 故错误； 故选：B 17 【解答】解：因为函数 yax2+bx+c 的特征数为m1，m+1，2m； A、当 m2 时，yx2+3x4（x+32）2254，顶点坐标是（32，254） ；此结论正确； B、当 m1 时，令 y0，有（m1）x2+（1+m）x2m0， 解得，x11，x2= 21， |x2x1|=3113，所以当 m1 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3，此结论正确； C、 当 m0 时， y （m1） x2+ （1+m） x2m 是一个开口向下的抛物线， 其对称轴是： x= +12(1)， 在对称轴的左边 y 随
47、x 的增大而增大， 因为当 m0 时，+12(1)= 1+22(1)= 121112，即对称轴在 x= 12右边，可能大于12，所以在 x12时，y 随 x 的增大而减小，此结论错误； D、因为 y（m1）x2+（1+m）x2m0 即（x2+x2）mx2+x0， 当 x2+x20 时，x1 或2， 抛物线经过定点（1，0）或（2，6） ，此结论正确， 故选：C 18 【解答】解：由表格数据可知抛物线的对称轴为 x= 2=2+42=3， =6， x1 与 x5 时的函数值相等， x1 时，y6，即 a+b+c6， （a+b+c） （;:2;42+;2;42）6（）6636 故选：B 二填空题（共
48、二填空题（共 3 小题）小题） 19 【解答】解：二次函数 ymx2+2mx+1m（x+1）2m+1， 对称轴为直线 x1， m0，抛物线开口向上， x1 时，有最小值 ym+12， 解得：m3； m0，抛物线开口向下， 对称轴为直线 x1，在2x2 时有最小值2， x2 时，有最小值 y4m+4m+12， 解得：m= 38； 故答案为：3 或38 20 【解答】解：由二次函数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点， （2b）241（2b24c）0，即 b24c0 ， 由抛物线的对称轴 x= 22=b，抛物线经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ， b=1+2+2，
49、即 cb1 ， 代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此 b2， cb1211， b+c2+13， 故答案为：3 21 【解答】解：y2（x1）2+3， 二次函数 y2（x1）2+3 的图象的顶点坐标是（1，3） 故答案为： （1，3） 三解答题（共三解答题（共 17 小题）小题） 22 【解答】解： （1）抛物线 y（x+2）2+1 的顶点坐标为（2，1） ，且（2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1） 抛物线 y（x+2）2+1 关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是 y（x2）2+1，即 yx24x+5（如图 1） ， 故答案为：yx24x+5； （2）yx22x+5（x+
50、1）2+6， 顶点坐标为（1，6） （1，6）关于（0，m）的对称点是（1，2m6） ， 抛物线 G 的解析式为 y（x1）2+2m6 两条抛物线有交点， （x+1）2+6（x1）2+2m6 有解， x25m 有解， 5m0， m5（如图 2） ； （3）yax2+2axba（x+1）2ab， 顶点坐标为（1，ab） 代入 ybx22bx+a2，得 b+2b+a2ab， ybx22bx+a2b（x1）2+a2b， 顶点坐标为（1，a2b） ，代人 yax2+2axb，得 a+2aba2b， 由，得2+ + 4 = 02 3 = 0， a0，b0， = 3 = 3， 两条抛物线的顶点坐标分别为（
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