1、专题专题 4 方程和不等式方程和不等式 一选择题（共一选择题（共 17 小题）小题） 1若解关于 x 的方程2;5;2+2;=1 时产生增根，那么常数 m 的值为（ ） A4 B3 C4 D1 2 （2021岳麓区校级一模）不等式组 5 0 + 10的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 3 （2021长沙模拟）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周 3600 件提高到 4500 件，平均每人每周比原来多投递 50 件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 x 件， 根据题意可列方程为 （ ）
2、 A3600=4500;50 B3600+ 50 =4500 C4500=3600 50 D3600=4500:50 4 （2021长沙模拟）为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长 4000 米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了 30%，结果提前 7 天完成，设施工队原计划每天铺 x 米，则下列方程正确的是（ ） A40004000(1;30%)= 7 B4000(1;30%)4000= 7 C4000(1:30%)4000= 7 D40004000(1:30%)= 7 5 （2021长沙模拟）不等式组2 + 5 3123的解集在数轴上表示正确的是
3、（ ） A B C D 6 （2021长沙模拟） 九章算术中有一问题， “今有善行者一百步，不善行者六十步今不善行者先行一百步，善行者追之问：几何步及之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人善于走路的人走 100 的同时，不善于走路的人只能走 60 步现在不善于走路的人先走 100 步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？根据题意，可以求得答案为（ ） A250 步 B200 步 C160 步 D320 步 7 （2021雨花区一模）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm14 Cm14 Dm14 8 （20
4、21雨花区一模）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题，原题如下： “九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为：用 999 文钱，可以买甜果和苦果共 1000 个，买 9 个甜果需要 11 文钱，买 7 个苦果需要 4 文钱， 问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果、 苦果的数量分别为 x 个、 y 个， 则可列方程组为 （ ） A + = 999119 +47 = 1000 B + = 999911 +74 = 1000 C + = 1000119 +47 = 999 D + = 1000911 +74 = 999
5、9 （2021开福区模拟）在九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出 8 元，还盈余 3 元；每人出 7 元，则还差 4 元问人数是多少？若设人数为 x，则下列关于 x 的方程符合题意的是（ ） A8x37x+4 B8（x3）7（x+4） C8x+47x3 D17 3 =18x+4 10 （2021开福区校级二模）为执行“两免一补”政策，某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元，预计 2008年投入 3600 万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，则下列方程正确的是（ ） A25
6、00（1+x）+2500（1+x）23600 B2500（1+x%）23600 C2500 x23600 D2500（1+x）23600 11 （2020长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak5 Bk5 Ck5 且 k1 Dk5 12 （2020岳麓区模拟） 算法统宗中有如下的类似问题： “哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉” ，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16 两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为（ ） A10
7、 两 B11 两 C12 两 D13 两 13 （2020岳麓区模拟）某车间有 28 名工人生产螺钉和螺母，每人每小时平均能生产螺钉 12 个或螺母 18个，1 个螺钉需要配 2 个螺母，若安排 m 名工人生产螺钉时每小时生产的螺栓和螺母刚好配套，那么可列方程为（ ） A12m18（28m）2 B12（28m）18m2 C12m218（28m） D12（28m）218m 14 （2020雨花区校级模拟）已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2（5m6）x+m20 的两个不相等的实根，且满足 x1+x2m2，则 m 的值是（ ） A2 B3 C2 或 3 D2 或3 15 （2020雨花
8、区校级模拟）在古代生活中，有很多时候也要用到不少的数学知识，比如有这样一道题：隔墙听得客分银，不知人数不知银七两分之多四两，九两分之少半斤 （注：古秤十六两为一斤）请同学们想想有几人，几两银？（ ） A六人，四十四两银 B五人，三十九两银 C六人，四十六两银 D五人，三十七两银 16 （2020雨花区校级模拟）若关于 x 的一元二次方程 m2x2（2m1）x+10 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am14 Bm14 Cm14 Dm14且 m0 17 （2020开福区校级二模）方程 x（x2）3x 的解为（ ） Ax5 Bx10，x25 Cx12，x20 Dx10，x25 二填空题（共
9、二填空题（共 6 小题）小题） 18 （2021岳麓区校级二模）已知 x1 是一元二次方程 x2+x+c0 的解，则 c 的值是 19 （2021天心区模拟）习近平总书记提出： “绿水青山就是金山银山 ”为深入践行绿色生态理念， “植树节”这天，九年级 3 班几位同学来到天心向阳坡参与义务植树活动，活动结束后统计，同学们共植树 11棵，其中男生每人植树 3 棵，女生每人植树 2 棵，则参与此次植树活动的同学至少有 人 20 （2021长沙模拟）我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过 400 公里现在一个轨道长为 180cm 的“磁悬
10、浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球 A、B、C、左右各有一个钢制挡板 D 和E，其中 C 到左挡板的距离为 40cm，B 到右挡板的距离为 50cm，A、B 两球相距 30cm碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记） ，钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置， 被撞钢球则以同样的速度向前运动， 钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现 A 球以每秒 10cm 的速度向右匀速运动 （1） 秒后 B 球第二次撞向右挡板 E； （2） 秒后 B 球第 n（n 为正整数）次撞向右挡板 E 21 （2021长沙模拟
11、）某地区中考，将学生的初二的生物中考卷面成绩（满分 100 分）乘 40%，加上初三的物理、化学卷面成绩（满分 200 分）乘 80%作为该生的理科综合最终成绩某学生生物成绩为 90 分，若该生理科综合最终成绩想不低于 160 分，则该生物理、化学卷面成绩至少是 分 22 （2021开福区校级二模）若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8，边 CD 的长是方程 x210 x+240 的一个根，则该菱形 ABCD 的周长为 23 （2021岳麓区校级模拟）若 x2 是关于 x 的方程 3x+7=2a 的解，则 a 的值等于 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 24 （2021岳麓区校级模拟
12、）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用 10000 元采购 A 型丝绸的件数与用 8000 元采购 B 型丝绸的件数相等，且一件 A 型丝绸的进价比一件 B 型丝绸的进价多 100 元 （1）一件 A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进 A 型、B 型丝绸共 50 件，其中 A 型丝绸的件数不多于 B 型丝绸的件数，且不少于 16件，设购进 A 型丝绸 m 件 求 m 的取值范围； 已知 A 型丝绸的售价为 800 元/件，B 型丝绸的售价为 600 元/件，求销售这批丝绸的最大利润 25 （2021长沙模拟）某环卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家
13、 A，B 两种型号的马路清扫车，购买 4 辆 A 型马路清扫车和 5 辆 B 型马路清扫车共需 140 万元；购买 3 辆 A 型马路清扫车和 7 辆 B 型马路清扫车共需 157 万元 （1）求这两种马路清扫车的单价； （2）若该公司承包的道路清扫面积为 118000m2，每辆 A 型马路清扫车每天清扫 5000m2，每辆 B 型马路清扫车每天清扫 6000m2，公司准备购买 20 辆马路清扫车，且 B 型马路清扫车的数量大于 12 辆请你帮该公司设计出最省钱的购买方案请说明理由 26 （2021天心区模拟）今年新型冠状病毒肺炎（COVID19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打
14、赢这场无硝烟的人民战争， 我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措 复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进 2 根跳绳和 3 个毽子共需 55 元；购进 1 根跳绳和 5 个毽子共需 45 元 （1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以九折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的 3 倍，请求出学校花钱最少时需要多少元 27 （2021天心区一模）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（
15、a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 k（k0）倍，则称这样的方程为“k 系方程” 如方程（x1） （x2）0 的两根分别为：x11，x22，x22x1，则方程（x1） （x2）0 为“2 系方程” （1）下列方程是“3 系方程”的是 （填序号即可） ； （3x+1） （x+1）0；x22x30；（x4）24 （2）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）是“2 系方程” 求证：b292ac0； 若 c2，且关于 x 的函数 yax223x+2，当1x2+1时的最大值为 1，求 a 的值 28 （2021长沙模拟） 三湘都市报华声在线 2 月 21 日讯，在长沙市岳麓区麓
16、景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中从隧道中运输挖出土方， 其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多 8 立方米， 大货车运 120 立方米与小货车运 80 立方米车辆数相同 （1）求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ （2）总共有大小货车共 20 辆，每天需运出 432 立方米泥土，大小货车各需要多少辆？ 29 （2021长沙模拟）口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共 2500 人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为 80 元和 60元 （1） “五一”期间
17、，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的 1.5 倍，求有多少人选择不辣口味虾？ （2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了 a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了 a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了15a%，最终销售总额为 18 万元，求 a 的值 30 （2021长沙模拟）一位淘宝店主准备购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多 50 元，用 4000 元购进甲种服装数是用 1500 元购进乙种服装数的 2 倍 （1）求每件甲种服装和乙种服装的进
18、价分别是多少元？ （2）该淘宝店甲种服装每件售价 260 元，乙种服装每件售价 190 元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数比购进甲种服装的数量的 2 倍还多 4 件，若本次购进的两种服装全部售出后，总利润多于 7160 元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 17 小题）小题） 1 【解答】解：方程两边都乘以 x2，得：2x5mx2， x3+m 方程有增根， 3+m2， m1， 故选：D 2 【解答】解：解不等式 x50，得：x5， 解不等式 x+10，得：x1， 则不等式组的解集为1x5
19、， 故选：A 3【解答】 解： 设原来平均每人每周投递快件 x 件， 则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件 （x+50）件， 依题意得：3600=4500:50 故选：D 4 【解答】解：由题意可得， 40004000(1:30%)=7， 故选：D 5 【解答】解：2 + 5 3123， 由不等式，得 x1， 由不等式，得 x3， 故原不等式组的解集是 x1， 在数轴上表示如下所示， 故选：B 6 【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 t，根据题意得 （10060）t100， 40t100， t2.5， 则 100t1002.5250（步） 答：善于走路的人追他，需要走 2
20、50 步才能追上他 故选：A 7 【解答】解：根据题意得，b24ac（2m1）24m24m+10， 解得：m14， 故选：B 8 【解答】解：依题意，得： + = 1000119 +47 = 999 故选：C 9 【解答】解：设人数为 x， 则可列方程为：8x37x+4 故选：A 10 【解答】解：依题意得 2008 年的投入为 2500（1+x）2， 2500（1+x）23600 故选：D 11 【解答】解：由题意可知：164（k1）0， k5， k10， k1， k5 且 k1 故选：C 12 【解答】解：设肉价为 x 文/两，哑巴所带的钱数为 y 文， 依题意，得：16 = + 258
21、= 15， 解得： = 5 = 55， =555=11 故选：B 13 【解答】解：设安排 m 名工人生产螺钉，则（28m）人生产螺母，由题意得 12m218（28m） ， 故选：C 14 【解答】解：x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2（5m6）x+m20 的两个不相等的实根， x1+x25m6，（5m6）24m20， 解得 m67或 m2， x1+x2m2， 5m6m2， 解得 m2（舍）或 m3， 故选：B 15 【解答】解：设有 x 两银， ;47=:89， 解得，x46， 则人数为：46;47=6， 即有 6 个人，46 两银， 故选：C 16 【解答】解：由已知得：2 0(2
22、 1)2 42 0， 解得：m14且 m0 故选：D 17 【解答】解：x（x2）3x， x（x2）3x0， x（x23）0， x0，x230， x10，x25， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 18 【解答】解：把 x1 代入方程 x2+x+c0，可得 1+1+c0， 解得 c2 故答案是：2 19 【解答】解：设参与此次植树活动的男生有 x 人，女生有 y 人， 依题意得：3x+2y11， y=1132 又x，y 均为正整数， = 1 = 4或 = 3 = 1， x+y5 或 4， 参与此次植树活动的同学至少有 4 人 故答案为：4 20 【解答】解： （1）设 t
23、秒后第二次撞向右挡板， 由题意得：10t30+50+1802， 解得 t44， 故答案为：44； （2）由题知每相邻两次撞击间隔时间相等， 为：18021036（秒） ， 由（1）知第二次撞击时间为 44 秒， 第 n 次撞击右挡板的时间为 36（n1）+4436（36n28） ， 故答案为： （36n28） 21 【解答】解：设该生物理、化学卷面成绩为 x 分， 依题意得：9040%+80%x160， 解得：x155 故答案为：155 22 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD， x210 x+240， 因式分解得： （x4） （x6）0， 解得：x4 或 x
24、6， 分两种情况： 当 ABAD4 时，4+48，不能构成三角形； 当 ABAD6 时，6+68， 菱形 ABCD 的周长4AB24 故答案为：24 23 【解答】解：把 x2 代入方程 3x+7=2a 得6+71a， 解得 a2 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 24 【解答】解： （1）设一件 B 型丝绸的进价为 x 元，则一件 A 型丝绸的进价为（x+100）元， 根据题意得：10000:100=8000， 解得：x400， 经检验，x400 为原方程的解， x+100500， 答：一件 A 型丝绸的进价为 500 元，一件 B 型丝绸的进价为 400 元 （2）
25、根据题意得： 50 16， 解得：16m25， m 的取值范围为：16m25 且 m 为整数 设销售这批丝绸的利润为 y 元， 根据题意得：y（800500）m+（600400） （50m）100m+10000， 1000， y 随 m 的增大而增大， 当 m25 时，y最大12500（元） ， 答：销售这批丝绸的最大利润为 12500 元 25 【解答】解： （1）设 A 型马路清扫车的单价为 x 万元，B 型马路清扫车的单价为 y 万元， 依题意得：4 + 5 = 1403 + 7 = 157， 解得： = 15 = 16 答：A 型马路清扫车的单价为 15 万元，B 型马路清扫车的单价为
26、 16 万元 （2）该公司购买 A 型马路清扫车 2 辆，B 型马路清扫车 18 辆时最省钱，理由如下： 设该公司购买 B 型马路清扫车 m 辆，则购买 A 型马路清扫车（20m）辆， 依题意得：125000(20 ) + 6000 11800020 0， 解得：18m20 设该公司购买 20 辆马路清扫车所需费用为 w 万元，则 w15（20m）+16mm+300 10， w 随 m 的增大而增大， 当 m18 时，该公司最省钱，此时 20m2， 即该公司购买 A 型马路清扫车 2 辆，购买 B 型马路清扫车 18 辆时最省钱 26 【解答】解： （1）设跳绳原来的售价为 x 元，毽子原来的
27、售价为 y 元， 根据题意，得 + 5 = 452 + 3 = 55 解之得： = 20 = 5 答：跳绳原来的售价为 20 元一根，毽子原来的售价为 5 元一个； （2）设计划跳绳 m 根，则毽子（400m）个， m3（400m） ， 得：m300 设所花钱为 y 元，则 y200.8m+50.9（400m）11.5m+1800 当 m 取最小为 300 时，y最小值5250 答：最小费用为 5250 元 27 【解答】解： （1（3x+1） （x+1）0， x1= 13，x21， 方程是 k 系方程； x22x30， （x3） （x+1）0， x13，x21， 方程不是 k 系方程； （x
28、4）24， x42， x16，x22， 方程是 k 系方程； 故答案为 （2）设方程 ax2+bx+c0 的两个根为 x1，x2， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）是“2 系方程” x22x1， x1+x23x1，= ，x1x22x12=， 31= 212=，消去 x1得：92=2， b292ac0； 原方程是 2 系方程，由得，b292ac0， 又 c2， b29a， 函数 yax223x+2 即为：yax23ax+2，且 a0， 函数对称轴为直线 x= 32=32， 当321时，y最大值a （2:1）23a2:1+21， 解得1=2，不合题意舍去； 当3212:132，
29、即 a2 时，y最大值a （1）23a1+21， 解得 a=12，又 a2，故此时无解； 当3212:132，即 0a2 时，y最大值a （2:1）23a2:1+21， 解得 a=132，又 0a2，故此时 a=1+32， 当2:132时，y最大值a （1）23a1+21， 解得 a=12，不合题意，舍去； 综上，满足条件的 a 的值为1:32 28 【解答】解： （1）设小货车每辆运 x 方，则大货车每辆运（x+8）方， 依题意得：120:8=80， 解得：x16， 经检验：x16 是方程的解 则大货车为：16+824（方） 答：小货车每辆运输 16 方，大货车每辆运输 24 方； （2）设
30、小货车有 a 辆，则大货车有（20a）辆 依题意得：16a+24（20a）432， 解得：a6， 则大货车为 20614（辆） 答：大货车需要 14 辆，小货车需要 6 辆 29 【解答】解： （1）设有 x 人选择不辣口味虾，则有（2500 x）人选择微辣口味虾， 依题意，得：2500 x1.5x， 解得：x1000 答：1000 人选择不辣口味虾 （2）依题意，得：80（1+a%）（25001000） （1a%）+60（1+15a%）1000180000， 整理，得：12a2120a0， 解得：a110，a20（不合题意，舍去） 答：a 的值为 10 30 【解答】解： （1）设每件甲种服装的进价为 x 元，则每件乙种服装的进价为（x50）元， 依题意得：4000=2150050， 解得：x200， 经检验，x200 是原方程的解，且符合题意， x50150 答：每件甲种服装的进价是 200 元，每件乙种服装的进价是 150 元 （2）设该淘宝店本次购进甲种服装 a 件，则购进乙种服装（2a+4）件， 依题意得： （260200）a+（190150） （2a+4）7160， 解得：a50 a 为正整数， a 的最小整数值为 51 答：该淘宝店本次购进甲种服装至少是 51 件
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