1、专题专题 10 圆圆 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2021开福区校级二模）如图，ABC 中，ACB90，AC3，BC4，以 AB 上的一点 O 为圆心的圆与 AC 相切于点 G， 与 BC 交于 D， E 两点， 连接 DF， EF 若DFEB， 则弦 DE 的长是 （ ） A52 B94 C125 D7231 2 （2021天心区模拟）很多生产生活用品中都需要制作弯道，在制作弯道时，需要先按照其中心线计算出“展直长度” 再备料 工人师傅准备制作如图所示弯道， 半径 OA900mm， 弯道圆心角AOB100，中心线的“展直长度”是（ ）mm A50 B500 C250
2、D2250 3 （2021长沙模拟）如图，边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 B 在O 上，顶点 A、C 在O 内，OA 的延长线交O 于点 D，则图中阴影部分的面积为（ ） A2 2 B21 C2 D22 2 4 （2021长沙模拟）如图，圆锥底面半径为 r，母线长为 20cm，其侧面展开图是圆心角为 216的扇形，则 r 的值为（ ） A12cm B15cm C4cm D5cm 5 （2021长沙模拟）如图，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若弦 AB23，则O 的半径为（ ） A2 B22 C3 D2 6 （2021长沙模拟）如图，O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，A40，AP
3、D76，则B 的大小是（ ） A38 B40 C36 D42 7 （2021望城区模拟） 九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺如图，已知弦 AB1 尺，弓形高 CD1 寸， （注：1 尺10 寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ） A13 寸 B6.5 寸 C26 寸 D20 寸 8 （2021长沙模拟）如图，直角梯形 ABCD 中，BADCDA90，AB= 6，CD26，过 A、
4、B、D 三点的O 分别交 BC，CD 于点 E、M，且 CE2，下列结论：DMCM；弧 AB弧 EM；O的直径为 210；AE= 30其中正确的结论是（ ） A B C D 9 （2020开福区校级模拟）如果圆锥的母线长为 5cm，高为 3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ） A10cm2 B10cm2 C20cm2 D20cm2 10 （2020开福区校级三模）有一圆锥，它的高为 8cm，底面半径为 6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A30 B48 C60 D80 11 （2020岳麓区校级模拟）如图，ABC 是等腰直角三角形，ACBC2，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC、B
5、C 相切于点 E、F，与 AB 分别相交于点 G、H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点D，则 CD 的长为（ ） A22 1 B22 C2 +1 D22 12 12 （2020岳麓区校级模拟）如图，A、B、C 三点在O 上，D 是 CB 延长线上的一点，ABD40，那么AOC 的度数为（ ） A80 B70 C50 D40 13 （2020长沙模拟） 九章算术是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为 30 米，径长（两段半径的和）为16 米，则该扇形田地的面积为 （ ） A120 平方米 B240 平
6、方米 C360 平方米 D480 平方米 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 14 （2021雨花区校级模拟）如图，PA，PB 是O 的切线，切点分别为 A，B，若 PA3，P60，则劣弧的长为 15（2021雨花区二模） 如图， 四边形 ABCD 内接于圆 O， BOD108， 则BCD 的度数是 度 16 （2021长沙模拟）如图，O 为ABC 的外接圆，A69，则BCO 的度数为 17 （2021雨花区一模）如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角 AOB120，半径为 6m，则扇形的弧长是 m （结果保留 ） 18 （2021天心区一模）如图，一
7、扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为25cm，则纸扇外边缘弧 BC 长为 cm 19 （2021望城区模拟）如图，在ABC 中，A50，BC6，以 BC 为直径的半圆 O 与 AB、AC 分别交于点 D、E，则图中由 O、D、E 三点所围成的扇形面积（阴影部分）等于 （结果保留 ） 20（2021开福区模拟） 如图， ABC 内接于O， AD 是O 的直径， ABC25， 则CAD 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 21 （2021岳麓区校级一模）如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作O，分
8、别与 BC、AB 相交于点 D、E，连接 AD，已知CADB （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若B30，CD3，求ABD 的面积； （3）若 AC4，BD6，求 AE 的长 22 （2021开福区校级二模）如图，已知 AB 是O 的直径，直线 AC 与O 相切于点 A，过点 B 作 BDOC 交O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 E （1）求证：CD 是O 的切线 （2）求证：DE2EBEA； （3）若 BE1， =12，求线段 AD 的长度 23 （2021岳麓区校级一模） 已知矩形 ABCD 中， AB4， AD10， 点 E 是 AD 边上一动点， 连接 BE
9、、 CE，以 BE 为直径作O，交 BC 于点 F，过点 F 作 FHCE 于 H （1）当 F 为 BC 中点时，求证 EBEC； （2）当 FHBE 时，求 AE 的长； （3）若线段 FH 交O 于点 G，在点 E 运动过程中，如果FOG90，请求出此时 AE 的长 24 （2021雨花区校级二模）如图 1，AB 为O 的直径，P 为 AB 延长线上的点，PD 为O 的切线，切点为 D，CDAB，垂足为 E，C 在O 上，连接 CO，PC （1）求证：PC 为O 的切线； （2）如图 2，M 是线段 PC 上一点，若 OM 平分COP，OM 与线段 CE 交于点 N 求证：OMPONC；
10、 若 CM10，tanCMO2，求 ON 的长 25 （2021开福区校级一模）如图，在ABC 中，BC，点 D 是边 BC 的中点，点 O 是边 AB 上的点，以 O 为圆心，OA 为半径的O 交 AB，BC，AD 于点 F，E，G，且点 E 是弧 GF 的中点，连接 OE （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BE4，BF2，求O 的半径 26 （2021雨花区二模）如图 1，在圆 O 中，ABAC，ACB75，点 E 在劣弧 AC 上运动，连接 EC、BE，交 AC 于点 F （1）求E 的度数； （2）当点 E 运动到使 BEAC 时，如图 2，连接 AO 并延长，交 BE 于点
11、 G，交 BC 于点 D，交圆 O 于点 M，求证：D 为 GM 中点 27 （2021长沙模拟）如图，ABCD 的边 AB 与经过 A、C、D 三点的O 相切 （1）求证：ACAD； （2）如图 2，延长 BC 交O 于点 E，连接 DE若 sinADE=2425，求 tanDCE 的值 28 （2021长沙模拟）如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，点 D 是劣弧 BC 上一个动点，且不与点 C，B 重合 （1）如图 1，若 BCBO，求B 的度数； （2）如图 2，若点 D 是劣弧 BC 的中点，DEAB 于点 E，DE4，求 BC 的长度； （3）如图 3，若 CEAB 交
12、O 于点 E，连接 AD、DE，分别交 OC，BC 于点 F，G，求证：= 29 （2021雨花区校级一模）已知：如图，ABC 中，ABAC5，BC6，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径画O，分别与边 AB、BC 相交于点 D、E，EFAC，AHBC，垂足分别为 F、H （1）求证：EF 是O 的切线； （2）设 OB2，求 EC 的长； 设 OBt，求 FC 的长（用含 t 的代数式表示） 30 （2021望城区模拟）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，过点 E 作 EFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 P （1）
13、求证：PE 是O 的切线； （2）若O 的直径为 5，tanC2，求 BP 的长 31 （2021长沙模拟）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE8，sinB=513，求 AD 的长， 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 【解答】解：连接 OG、OD，作 OHCB 于 H， DOE2DFE，DFEB， DOE2B， ODOE
14、，OHDE， DOHEOH=12DOEB， AC 切圆 O 于 G， OGAC，即OGC90， C90OHC90， 四边形 GCHO 为矩形， OHGC， RtABC 中，AC3，BC4， AB5， sinA=45，tanA=43，sinB=35，cosB=45， 设 OGODOEr，则 AG=34OG， CGOHODcosB=45r， ACAG+GC=34 +45 = 3， r=6031， DHODsinB=603135=3631， OHDE，ODOE， DE2DH=7231 故选：D 2 【解答】解：100900180=500（mm） 故选：B 3 【解答】解：连接 OB， 四边形 ABC
15、O 是正方形， DOB45， OB= 2AB22， 图中阴影部分的面积S扇形OBDSAOB=45(22)236012 2 2 =2， 故选：C 4 【解答】解：圆锥底面半径为 rcm，母线长为 20cm，其侧面展开图是圆心角为 216的扇形， 2r=21618020， 解得 r12 故选：A 5 【解答】解：连接 OA，设 OAOCr 弦 AB 垂直平分半径 OC， OE=12OC=12r，AEBE= 3， 在 RtAOE 中，由勾股定理得：r2（12r）2+（3）2， 解得 r2 或2（舍弃） 故选：D 6 【解答】解：A40， D40， APD76， B764036， 故选：C 7 【解答
16、】解：设O 的半径为 r 寸 在 RtADO 中，AD5，ODr1，OAr， 则有 r252+（r1）2， 解得 r13， O 的直径为 26 寸， 故选：C 8 【解答】解：连接 BD，BM，AM，EM，DE， BAD90， BD 为圆的直径， BMD90， BADCDABMD90， 四边形 ABMD 矩形， ABDM， 又CD2AB， CD2DM，即 DMMC； 故选项正确； ABMC，ABMC， 四边形 ABCM 是平行四边形， AMBC，又 BDAM， BDBC， BD 是直径， BED90，即DEC90， 又 EC2，DC26， 根据勾股定理得：DE= 2 2=25， 设 BEx，B
17、DBCBE+ECx+2， 在 RtBDE 中，根据勾股定理得：BE2+DE2BD2，即 x2+20（x+2）2， 解得：x4， BD6，故选项错误； 在 RtDEC 中，M 是 DC 中点， EMDM=12CD= 6， 弧 EM弧 DM， 又ABDM， 弧 AB弧 DM， 弧 AB弧 EM， 故选项正确； 在 RtAEM 中，AM6，EM= 6， 根据勾股定理得：AE= 2 2= 30； 故选项正确； 则正确的选项为： 故选：B 9 【解答】解：圆锥的母线长为 5cm，高为 3cm， 勾股定理得，底面圆的半径为 4cm， 则底面周长8cm， 侧面面积=128520cm2 故选：D 10 【解答
18、】解：圆锥的母线= 62+ 82=10（cm） ， 圆锥的底面周长 2r12（cm） ， 圆锥的侧面积=12lR=12121060（cm2） 故选：C 11 【解答】解：如右图所示，连接 OE、OF， O 与 AC、BC 切于点 E、F， OECOFC90，OEOF， 又ABC 是等腰直角三角形， C90， 四边形 CEOF 是正方形， OEBC， 又以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，OEOF， O 在ACB 的角平分线上， ACBC， O 是 AB 中点， AECE， 又AC2， AECE1， OEOFCE1， OH1， OECD， OEHBDH， =
19、， 又AB= 2+ 2=22， OB= 2， 11=2;1， BD= 2 1， CD2+BD= 2 +1， 故选：C 12 【解答】解：所对的圆周角AEC，如图， ABD40， ABC18040140， AEC+ABC180， E40， AOC2AEC24080 故选：A 13 【解答】解：下周长（弧长）为 30 米，径长（两段半径的和）为 16 米， S=143016120 平方米， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 14 【解答】解：连接 OP， PA，PB 是O 的切线，APB60， OBPB，OAPA，OPBOPA30， OAPAtanOPA= 3， APB60，
20、AOB120， 劣弧的长=1203180=233， 故答案为：233 15 【解答】解：BOD108， A=12BOD54， 四边形 ABCD 是圆的内接四边形， BCD180A126 故答案是：126 16 【解答】解：连接 OB，如图，BOC2A269138， OBOC， CBOBCO， BCO=12（180BOC）=12（18038）21 故答案为：21 17 【解答】解：由题意可得， 扇形的弧长为：1206180=4（m） ， 故答案为：4 18 【解答】解：纸扇外边缘弧 BC 的长=12025180=503（cm） ， 故答案为：503 19 【解答】解：A50， B+C130， D
21、OC+BOE2B+2C，DOC+BOEBOC+DOE， DOC+BOE260， DOE260BOC26018080， BC6， OD3， 扇形 DOE 的面积是：8032360=2， 故答案为：2 20 【解答】解：AD 是O 的直径， ACD90， DABC25， CAD90D902565 故答案为：65 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 21 【解答】解： （1）如图 1，连接 OD， ACB90， CAD+ADC90， OBOD， BODB， CADB， CADODB， ODB+ADC90， ADO90， 又OD 是半径， AD 是O 的切线； （2）B30，ACB90， C
22、AD30，CAB60， AD2CD6，DAB30， AD= 3OD，AC= 3CD33， OD= 3， ODOB，B30， BC= 3AC9， BDBCCD6， ABD 的面积=12BDAC=12633 =93； （3）如图 2，连接 DE， BE 是直径， BDE90， ACBEDB90， ACDE， BCAD，ACDEDB， ACDBDE， =46=23， 设 CD2x，DE3x， ACDE， =， 34=66:2， x1， CD2，BCBD+CD8， AB= 2+ 2= 16 + 64 =45， DEAC， =， AE=1445 = 5 22 【解答】解： （1）BDOC， DBOCOA
23、，ODBCOD， OBOD， DBOODB， COACOD， 在COA 和COD 中， = = = ， COACOD（SAS） ， CAOCDO， AC 是O 的切线， CAO90CDO， 即 ODEC， OD 是O 的半径， EC 是O 的切线； （2）EC 是O 的切线， ODE90， 即EDB+ODB90， 又AB 是O 的直径， ADB90， ABD+BAD90， 又ODBOBD， EDBEAD， 又EE， EBDEDA， =， 即 DE2AEBE； （3）ACO+COA90， BAD+OBD90， 而OBDODBCODCOA， ABD+BAD90， BADACO， 由EBDEDA，
24、=tanBAD=12， BE1， DE2， 由 DE2AEBE 得， 221AE， AE4， AB413， 设 BDa，则 AD2a，由勾股定理得， BD2+AD2AB2， 即 a2+（2a）232， 解得 a=355， AD2a=655 23 【解答】 （1）证明：如图，连接 EF， BE 为O 的直径， BFE90EFC， 又F 为 BC 的中点， BFCF， 又EFEF， BEFCEF（SAS） ， EBEC； （2）解：FHBE，FHCE， BECE， AEB+DEC90， ABE+AEB90， ABEDEC， AD90， ABEDEC， =， AB4，AD10， CDAB4， 410
25、;=4， AE2 或 AE8； （3）解：连接 EF、OF、OG，如图所示： 则BFE90， 设 AEx，则 EFAB4，BFAEx，CFDE10 x， FOG90， 连接 BG、EG，设 BG、EF 交于点 K， BFK 和EGK 都是等腰直角三角形， BFKFx，BK= 2x，EK4KF4x， 在等腰直角EGK 中，根据勾股定理得：GKEG=22（4x） ， BGGK+BK=22（4+x） ， 又EBGEFGFCH， BEGCEF， =， 即22(4:)10;=22(4;)4， 解得：x957，或 x9+57（舍去） ， AE 的长度是 957 24 【解答】证明： （1）连接 OD，如图
26、 1， PD 为O 切线， ODP90， ABCD，且 AB 为O 直径， AB 垂直平分 CD， PCPD， PCDPDC， 又OCOD， OCDODC， OCPOCD+PCDODC+PDC90， OCPC， PC 为O 的切线； （2）ABCD， CEP90， ECP+MPO90， 又OCD+ECP90， MPOOCD， 又 OM 平分COP， CONMOP， OMPONC； （2）CNMCON+OCN， CMOCPO+MOP， CNMCMN， CMCN10， 过点 C 作 CGMN 于 G， tanCMO2， NGMG25，CG45， 在 RtOCM 中，由勾股定理得：OM= 2+ 2=
27、 105， ONOMMN105 45 = 65 25 【解答】 （1）证明：连接 GF 交 OE 于点 M， BC， ABAC， 又点 D 是 BC 的中点， ADBC， AF 是O 的直径， AGFDGF90， 点 E 是弧 GF 的中点， GFOE， GME90， 四边形 GMED 是矩形， MED90， OEBC， BC 是O 的切线； （2）解：设 OEOFx，则 OBx+2， OEB90， OE2+BE2OB2， x2+42（x+2）2， 解得 x3， O 的半径为 3 26 【解答】 （1）解：如图 1 中， ABAC， ABCACB75， BAC18027530， BECBAC3
28、0 （2）证明：连接 BM ABAC， = ， AMBC， BAMCAM15， MBCCAM15， BEAC， BDGAFG90， AGFBGD75， MACB75， MBGD75， BGBM， BDGM， DGDM 27 【解答】 （1）证明：连接 AO 并延长交 CD 于 F，如图， AB 为切线， AFAB， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD， AFCD， CFDF，即 AF 垂直平分 CD， ACAD； （2）解：过 A 点作 AHBC，如图， ACB+ACE180，ADE+ACE180， ACBADE， sinACBsinADE=2425， 在 RtACH 中，sinACH
29、=2425， 设 AH24x，AC25x， CH= (25)2 (24)2=7x， 四边形 ABCD 为平行四边形， BCAD，ABCD， 而 ADAC， BCAC25x， BHCBCH25x7x18x， 在 RtABH 中，tanB=2418=43， ABCD， DCEB， tanDCE=43 28 【解答】解： （1）如图 1，如图 1，连接 OC， OCOB，BCBO， OCOBBC， OBC 为等边三角形， B60； （2）如图 2，连接 OD 交 BC 于点 F， 点 D 是劣弧 BC 的中点， ODBC，BFCF， DEAB， OED90， DOEBOF，ODOB， OEDOFB（
30、AAS） ， DEBF4， BC2BF8； （3）证明：如图 3，连接 BE，BD， = ， DABDEB， CEAB， = ，= ， ABCABE，BCBE， OBOC， OBCOCB， 又AOFOCB+OBC， AOFEBCABE+OBC， AOFEBG， =， OAOC， = 29 【解答】证明： （1）如图 1，连接 OE， OEOB， BOEB， ABAC， BC， OEBC， OEAC， OEFEFC， EFAC， EFC90， OEF90， EFOE， 点 E 在O 上， EF 是O 的切线； （2）如图 2，连接 OE， OEAC， BOEBAC ， 6=25， BE=125，
31、 EC6125=185； ABAC， BH=12BC， BC6， BH3， 由知： ，即6=5， BE=65， EC665， AHBC，EFAC， AHBEFC90， OBEC， ABHEFC， ， 56;65 3， FC=1851825 30 【解答】 （1）证明：连接 AE，OE， ABAC， CABC， OEOB， OEBOBE， COEB， OEAC， EFAC， OEPF， PE 是O 的切线； （2）AB 为O 的直径， AEB90， ABCC， tanCtanABC=2， 设 AE2x，BEx， AE2+BE2AB2， 4x2+x225， x= 5（负值舍去） ， AE25，BE
32、= 5， C+CAEC+CEF90， CEFCAE， AECEFC， =， 55=5， CF1， AF4， OEAF， PEOPFA， =， 524=:52:5， PB=53 31 【解答】解： （1）如图 1，连接 OD，则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， BC 是O 的切线； （2）如图 2， 连接 OD，DF，EF， AE 是O 的直径， AFE90C， EFBC， BAEF， AEFADF， BADF， 由（1）知，BADDAF， ABDADF， =， AD2ABAF； （3）如图 3， 连接 OD，由（1）知，ODBC， BDO90， 设O 的半径为 R，则 OAODOER， BE8， OBBE+OE8+R， 在 RtBDO 中，sinB=513， sinB=8+=513， R5， AE2OE10，ABBE+2OE18， 连接 EF，由（2）知，AEFB，AFEC90， sinAEFsinB=513， 在 RtAFE 中，sinAEF=10=513， AF=5013 由（2）知，AD2ABAF185013=90013， AD=90013=301313
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