1、专题专题 8 三角形三角形 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1 （2021雨花区二模）如图，在 RtABC 中，ABC90，ABBC2，AE 是 BC 边上的中线，过点 B作 AE 的垂线 BD，垂足为 H，交 AC 于点 D，则 AD 的长为（ ） A22 B2 C433 D432 2 （2021长沙模拟）我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处折断处离地面的高度是（ ） （注：其中的丈、尺是长度单位，1 丈10 尺） A3 尺 B4 尺 C4.55 尺 D5
2、 尺 3 （2021长沙模拟） 算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题： “平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？”译文： “有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（ ） A10 尺 B14.5 尺 C13 尺 D17 尺 4 （2021雨花区模拟）如图所示，琪琪用 6 个含 30角的直角三角板拼成内外都是正六边形
3、的图形，则大小两个正六边形的边长比 AB：GH 的值为（ ） A2 B3 C2 D5 5 （2021长沙模拟）如图，一块等腰直角三角形板如图摆放，点 E，G 分别在 AB，CD 上，且 ABCD，如果AEF25，那么CGF 的大小为（ ） A25 B65 C30 D45 6 （2021望城区模拟）如图，B、E、C、F 在同一直线上，BECF，ABDE，请你添加一个合适的条件，使ABCDEF，其中不符合三角形全等的条件是（ ） AACDF BABDE CAD DACBF 7 （2021岳麓区校级模拟）如图，BD，CE 分别是ABC 的高线和角平分线，且相交于点 O，若BCA70，则BOE 的度数
4、是（ ） A60 B55 C50 D40 8 （2020岳麓区校级模拟）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A1，1，2 B5，12，13 C8，15，16 D7，24，25 9 （2020雨花区校级一模）在ABC 中，已知 ABAC，且A80，则B（ ） A30 B50 C60 D80 10（2020开福区模拟） 如图， 点 O 在ABC 内， 且到三边的距离相等 若A40， 则BOC 等于 （ ） A110 B115 C125 D130 11 （2020望城区模拟）如图，在ABC 中，ABAC，A30，直线 ab，顶点 C 在直线 b 上，直线a 交 AB 于点 D，交 AC 于点
5、 E，若1145，则2 的度数是（ ） A40 B45 C50 D35 12 （2020岳麓区校级二模）RtABC 中，ABAC，D 点为 RtABC 外一点，且 BDCD，DF 为BDA的平分线， 当ACD15， 下列结论： ADC45； ADAF； AD+AFBD； BCCE2DE 其中正确的是（ ） A B C D 13 （2020雨花区校级模拟）如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 中点，若 EF6，BC13，CD5，则 SDBC（ ） A60 B30 C48 D65 14 （2020长沙模拟）如图，在 RtABC 中C90，ABBC，分别以顶点 A、B 为圆心，大
6、于12AB 长为半径作圆弧， 两条圆弧交于点 M、 N， 作直线 MN 交边 CB 于点 D 若 AD5， CD3， 则 BC 长是 （ ） A7 B8 C12 D13 15 （2020雨花区校级二模）ABC 在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） Ab2a2c2 BA：B：C3：4：5 CCAB Da：b：c1：3：2 16 （2020雨花区校级三模）如图，ABED，CDBF，若ABCEDF，则还需要补充的条件可以是（ ） AACEF BBCDF CABDE DBE 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 17 （2021天心区二模）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，过点
7、E 作 EFBE 交 CD 于 F，且 BCBE10， FCFE5， 点 M 是线段 CF 上的动点， 连接 BM， 过点 E 作 BM 的垂线交 BC 于点 N， 垂足为 H 以下结论：FEDEBA；AE6；AEEDCDDF；连接 CH，则 CH 的最小值为65 5；其中正确的结论是 （所有正确结论的序号都填上） 18 （2021长沙模拟）如图，等腰 RtOA1A2，OA1A1A21，以 OA2为直角边作 RtOA2A3，再以 OA3为直角边作 RtOA3A4，以此规律作等腰 RtOA8A9，则OA8A9的面积是 19 （2021天心区一模）如图，点 O 是三角形 ABC 内的一点，OAOB
8、OC4，BAC45，已知 SAOCSAOB2，则BOC ，SABC 20 （2021长沙模拟）如图，ABC 中，AD 平分BAC，ACB3B，CEAD，AC8，BC=74BD，则 CE 21 （2020长沙模拟）如图，点 E 在BOA 的平分线上，ECOB，垂足为 C，点 F 在 OA 上，若AFE30，EC3，则 EF 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 22 （2021长沙模拟）如图为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成下面的问题 （1）在 RtABC 中， = 90， = 22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表： （单位：厘米） A
9、C 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （2）根据学习函数的经验，选取上表中 BC 和 AC+BC 的数据进行分析； 设 BCx，AC+BCy，以（x，y）为坐标，在图 1 所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考： （3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想当 x 时，y 最大； （4）进一步 C 猜想：若 RtMBC 中，C90，斜边 AB2a（a 为常数，a0） ，则 BC 时，AC+BC 最大 推理证明： （5）对（4）中的猜想进行证明 问题 1
10、在图 1 中完善（2）的描点过程，并依次连线； 问题 2补全观察思考中的两个猜想： （3） ， （4） ； 问题 3证明上述（5）中的猜想； 问题 4 图 2 中折线 BEFGA 是一个感光元件的截面设计草图， 其中点 A， B 间的距离是 4 厘米，AGBE1 厘米，EFG90，平行光线从 AB 区域射入，BNE60，线段 FM、FN 为感光区域，当 EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值 23（2021长沙模拟） 人教版初中数学教科书八年级上册第 84页探究了 “三角形中边与角之间的不等关系” ，部分原文如图 （1）请证明文中的ADEB （2）如图 2，在ABC 中，如果
11、ACBB，能否证明 ABAC？ 小敏同学提供了一种方法：将ABC 折叠，使点 B 落在点 C 上，折痕交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明 24 （2021长沙模拟）定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段 （1）如图，ABC 中，ACAB，DE 是ABC 在 BC 边上的中分线段，F 为 AC 中点，过点 B 作 DE 的垂线交 AC 于点 G，垂足为 H，设 ACb，ABc 求证：DFEF； 若 b6c4，试说明 ABAG，并求出 CG 的长度； （2）若
12、题（1）中，SBDHSEGH，求的值 25 （2021雨花区模拟）如图，在ABC 中，ABAC，D 是边 BC 延长线上一点，连接 ADAEBD，BACDAE，连接 CE 交 AD 于点 F （1）若D36，求B 的度数； （2）若 CA 平分BCE，求证：ABDACE 26 （2020岳麓区校级模拟）如图 1，若ABC 的三条边 a、b、c 满足 a：bb：c，则称ABC 为等比三角形 （1）若等比ABC 三边满足条件：b2，且 a、c 都为整数，通过计算判断ABC 的形状； （2）若 RtABC 是等比三角形，且ACB90，BCAC，求 sinBAC 的值； （3）如图 2，在等比ABC
13、中，BCACAB，AC2，作BADBCA，且 ADAC，延长 DA、BC交于点 E，求线段 AE 的取值范围 27 （2020岳麓区模拟）如图，E 是ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F （1）求证：ADEFCE （2）若BAF90，BC5，EF3，求 ABCD 的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1 【解答】解：过点 C 作 FCBC 于 C，延长 BD 交 CF 于 F， ABCBCF90， ABC+BCF180， ABCF， AEBD， AHB90， BAH+ABH90， ABC90， ABH+CBF
14、90， CBFBAH， 在ABE 和BCF 中， = = = ， ABEBCF（ASA） ， BECF， AE 是 BC 边上的中线，ABBC2， BE=12BC1， CF1， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= 2+ 2= 22+ 22=22， ABCF， BADDCF，ABDDFC， ABDCFD， =， 即21=22， 解得：AD=432 故选：D 2 【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺， 根据勾股定理得：x2+32（10 x）2 解得：x4.55， 答：折断处离地面的高度为 4.55 尺 故选：C 3 【解答】解：设绳索有 x 尺长， 则 102+（x
15、+15）2x2， 解得：x14.5， 即绳索长 14.5 尺， 故选：B 4 【解答】解：ABGBCH， AGBH， ABG30， BG2AG，AB= 3AG， 即 BH+HG2AG， HGAG， AB= 3HG， 大小两个正六边形的边长比 AB：GH 的值为3 故选：B 5 【解答】解：ABCD， AEG+CGE180， F90， FEG+EGF90， AEF+CGF90， AEF25， CGF902565 故选：B 6 【解答】解：ABDE， BDEF， BECF， BE+ECEC+CF，即 BCEF， 当 ACDF 时，满足 SSA，无法判定ABCDEF，故 A 选项符合题意； 当 AB
16、DE 时，满足 SAS，可以判定ABCDEF，故 B 选项不合题意； 当AD 时，满足 AAS，可以判定ABCDEF，故 C 选项不合题意； 当ACBF 时，满足 ASA，可以判定ABCDEF，故 D 选项不合题意； 故选：A 7 【解答】解：BDAC， BDC90， CE 平分ACB，ACB70， DCO35， BOECOD903555， 故选：B 8 【解答】解：A、12+12（2）2， 以 1、1、2为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、52+122132， 以 5、12、13 为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、82+152162， 以 8、15、
17、16 为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、72+242252， 以 7、24、25 为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 9 【解答】解：ABAC，A80， B=12（180A）=12（18080）50 故选：B 10 【解答】解：O 到三角形三边距离相等， O 是ABC 的内心，即三条角平分线交点， AO，BO，CO 都是角平分线， CBOABO=12ABC，BCOACO=12ACB， ABC+ACB18040140， OBC+OCB70， BOC18070110， 故选：A 11 【解答】解：ABAC，且A30， ACB75， 在ADE 中，1A
18、+AED145， AED14530115， ab， AED2+ACB， 21157540， 故选：A 12 【解答】解：ABAC，BAC90， ABCACB45，且ACD15， BCD30， BACBDC90， 点 A，点 C，点 B，点 D 四点共圆， ADCABC45，故符合题意， ACDABD15，DABDCB30， DF 为BDA 的平分线， ADFBDF， AFDBDF+DBFADF， ADAF，故不合题意， 如图，延长 CD 至 G，使 DEDG，在 BD 上截取 DHAD，连接 HF， DHAD，HDFADF，DFDF， ADFHDF（SAS） DHFDAF30，AFHF， DH
19、FHBF+HFB30， HBFBFH15， BHHF， BHAF， BDBH+DHAF+AD，故符合题意， ADC45，DAB30BCD， BEDADC+DAB75， GDDE，BDGBDE90，BDBD， BDGBDE（SAS） BGDBED75， GBC180BCDBGD75， GBCBGC75， BCBG， BCBG2DE+EC， BCEC2DE，故符合题意， 故选：C 13 【解答】解：连接 BD， E、F 分别是 AB、AD 中点， BD2EF12， CD2+BD225+144169，BC2169， CD2+BD2BC2， BDC90， SDBC=12BDCD=1212530， 故选
20、：B 14 【解答】解：由尺规作图可知，MN 是线段 AB 的垂直平分线， DADB5， 又CD3， BCCD+BD3+58， 故选：B 15 【解答】解：A、b2a2c2，b2+c2a2，故本选项正确； B、A：B：C3：4：5，设A3x，则B4x，C5x， A+B+C180，即 3x+4x+5x180，解得，x15， 5x5157590，故本选项错误 C、ABC，BA+C， A+B+C180，2（A+C）180，即A+C90，故本选项正确； D、a2：b2：c21：3：2，令 a2x，则 b22x，c23x， x+2x3x，a2+c2b2，故本选项正确； 故选：B 16 【解答】解：ABE
21、D， BD， CDBF，CFFC， BCDF 在ABC 和DEF 中 BCDF，BD，ABDE， ABCDEF 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 17 【解答】解：连接 BF，CE 交于点 O，由 BEBC，EFFC 可得 BF 垂直平分 EC， BF 垂直平分 EC， 在 RtBEF 中，BF= 102+ 52= 55，FO=2=2555= 5， BO= 55 5 = 45，EO= = 25，EC2EO45， 设 DF 为 x，DC5+x，DE= 52 2，过 E 作 EGBC， 在 RtEGC 中，EG2+GC2EC2，即（5+x）2+（52x2）2（45）2，解得 x
22、3， DC8，DE4，AE6，正确； =35， ABEDEF， ABCD， =，即 AEEDCDDF，正确； ABEDEF， FEDEBA，正确； ENBM，BE10， 点 H 的运动轨迹为以 BE 中点 I 为圆心，5 为半径的上运动， 过 I 作 ITDC 于 T，CI= 42+ (10 3)2= 65， 在IHC 中，CHCIIH= 65 5，正确 故答案为： 18 【解答】解：等腰 RtOA1A2，OA1A1A21， OA2= 12+ 122= 12+ 12= 2， 即 OA2= 2OA1， 同理，OA3= 2OA2= 2 2 =（2）2， ， 第 4 个等腰直角三角形直角边 OA4（
23、2）322， 所以第 4 个等腰直角三角形的面积=1222 22 =4， 根据规律，第 8 个等腰直角三角形的直角边 OA8（2）8182， 所以第 8 个等腰 RtOA8A9的面积=1282 82 =64 故答案为：64 19 【解答】解：OAOBOC4， ABC 是以 O 为圆心，半径为 4 的内接三角形， 延长 AO 交 BC 于点 E，作 BMAE，CNAE， BAC45， BOC2BAC90， BC= 2OB42， SAOCSAOB2， 12AOCN12AOBM2（CNBM）2， CNBM1 BOM+CON90，BOM+OBM90， CONOBM， 又BMOCNO90，OBOC， 在
24、BOM 和CON 中， = = = BOMCON（AAS） ， OMCN， 在 RtBOM 和 RtCON 中，由勾股定理得： BM2+OM2ON2+CN216， 即 BM2+CN216， 联立方程 = 12+ 2= 16， 解得 BM=1+312或 BM=1312（舍） CNBM+1=1+312 SAOC+SAOB=12AOCN+12AOBM2（CN+BM）231 SBOC=12OBOC8， SABCSAOC+SAOB+SBOC8+231 故答案为：90，8+231 20 【解答】解：延长 CE 交 AB 于 F，过点 D 作 DHAB 于 H，DNAC 于 N，过点 A 作 AMBC 于
25、M，如图所示： CEAD， AEFAEC90， AD 平分BAC， FAECAE，DHDN， 在AEF 与AEC 中， = = = ， AEFAEC（ASA） ， AFAC8，AFEACE，EFCE， AFCB+ECD， ACFB+ECD， ACB2ECD+B， ACB3B， 2ECD+B3B， BECD， CFBF， BC=74BD， =43， SADB=12DHAB=12AMBD，SACD=12DNAC=12AMCD， 1212=1212， 即=43， AB=43AC=323， CFBF=3238=83， CE=12CF=43， 故答案为：43 21 【解答】解：如图，作 EGAO 于点
26、G， 点 E 在BOA 的平分线上，ECOB，EC3， EGEC3， AFE30， EF2EG236， 故答案为：6 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 22 【解答】解：问题 1：函数图象如图所示： 问题 2： （3）观察图象可知，x2 时，y 有最大值 （4）猜想：BC= 2a 故答案为：x2，BC= 2a 问题 3：设 BCx，AC+BCy， 在 RtABC 中，C90 AC= 2 2= 42 2， yx+42 2， yx= 42 2， y22xy+x24a2x2， 2x22xy+y24a20， 关于 x 的一元二次方程有实数根， 4y242（y24a2）0， y28a2， y0
27、，a0， y22a， 当 y22a 时，2x242ax+4a20 （2x2a）20， x1x2= 2a， 当 BC= 2a 时，y 有最大值 问题 4：延长 AM 交 EF 的延长线于 C，过点 A 作 AHEF 于 H，过点 B 作 BKGF 于 K 交 AH 于 Q 在 RtBNE 中，E90，BNE60，BE1cm， tanBNE=， NE=33（cm） ， AMBN， C60， GFE90， CMF30， AMG30， G90，AG1cm，AMG30， 在 RtAGM 中，tanAMG=， GM= 3（cm） ， GGFH90，AHF90， 四边形 AGFH 为矩形， AHFG， GF
28、HE90，BKF90 四边形 BKFE 是矩形， BKFE， FN+FMEF+FGENGMBK+AH33 3 =BQ+AQ+KQ+QH433=BQ+AQ+2433， 在 RtABQ 中，AB4cm， 由问题 3 可知，当 BQAQ22cm 时，AQ+BQ 的值最大，此时 EF（1+22）cm， BQAQ22时，FN+FM 的最大值为（42 +2433）cm，此时 EF（1+22）cm 23 【解答】解： （1）ADE 是EBD 的一个外角，B 为与ADE 不相邻的内角 ADEB （2）证明：将ABC 折叠，使点 B 落在点 C 上， BFCF， 在ACF 中，AF+FCAC，即 AF+BFAC
29、， ABAC 24 【解答】 （1）证明：BDDC，AFCF， DF=12AB=12c， DE 是ABC 的中分线段， CD+CF+EF=12BC+12AC+12AB， CD=12BC，CF=12AC， EF=12AB=12c， DFEF 证明：如图设 BG 交 DF 于 O DFEF， FEDFDE， BGDE， EHGDHO90， FED+EGH90，FDE+HOD90， HODFOG， FOGFGO， BDDC，AFCF， DFAB， ABGFOG， ABGAGB， ABAG， ABAG4，AC6， CGACAG642 （2）解：如图 2 中，过点 E 作 ENBC 于 N，过点 G 作
30、 GMBC 于 M SBDHSEGH， SBCGSECD， 12BCGM=12CDEN， BC2CD， EN2GM， ENGM， EGCG，MNCM， EF=12c，CFAF=12b， EC=+2， CG=12EC=+4， ABAGc，AG+GCb， c+4=b， 4c+b+c4b， 5c3b， =53 25 【解答】解： （1）AEBD， DAED， DAEBAC， DBAC36， ABAC， BACB， B=12(180 ) =12 (180 36) =72 （2）证明：CA 平分BCE， BCAACE， BACB， BACE， BACDAE， BADCAE， 在ABD 和ACE 中， =
31、 = = ， ABDACE（ASA） 26 【解答】解： （1）ABC 为等比三角形， a：bb：c， b2， ac4， a、c 都为正整数， a1，c4，或 a2，c2， 1+24， 1，2，4 不能构成三角形，应舍去 a1，c4， a2，c2， abc， ABC 为等边三角形； （2）RtABC 是等比三角形，且ACB90，BCAC， a：bb：c， b2ac， c2a2b2， c2a2ac， = 1， 设= ，则1 = 1， x2+x10， 解得，x=512，或 x=512（x0，舍去） ， sinBAC=512； （3）设 BCa，ABc， BCACAB，即 a2c， ABC 为等比三
32、角形， a：22：c， ac4， c=4， 由三角形三边关系性质知，ac2， a42， 即 a2+2a4， 也即（a+1）25， a0， a5 1， 故5 1a2， BADBCA， ABC+CBACAE+CAB， ABECAE， EE， ACEBAE， =，即=2=+， EC=2， AE2EC2+aEC， 2=422+2， AE=42+2， 解得，AE=224， ac4，c222a2即 c24a2， AE=82， 5 1a2， 625a4， 2a3+5 27 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， DAEF，DECF， E 是ABCD 的边 CD 的中点， DECE， 在ADE 和FCE 中， = = = ， ADEFCE（AAS） ； （2）解：ADEFCE， AEEF3， ABCD， AEDBAF90， 在ABCD 中，ADBC5， DE= 2 2= 52 32=4， ABCD2DE8， S平行四边形ABCDABAE24
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