1、坪山区坪山区 2021-2022 学年第一学期八年级期中考试数学试卷学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 计算（4）2的结果是（ ） A 16 B. 16 C. 4 D. 4 2. 下列计算正确的是（ ） A. 1233 B. 235 C. 3553 D. 32252 3. 如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（-1，-1） ，“马”位于点（2，-1） ，则“兵”位于点（ ） A. 1,2 B. 3,2 C. 3,1 D. 2,3 4. 下列各组数中，是勾股数是（ ） A. 9，16，25 B. 1，1，2
2、 C. 1，3，2 D. 8，15，17 5. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度则点P的坐标是（ ） A. 4, 3 B. 4,3 C. 3, 4 D. 3,4 6. 若点( 2, )Aa，(3, )Bb都在直线52yx上，则a与b的大小关系是( ) A. ab B. ab C. ab D. 无法确定 7. 小刚徒步到同学家取自行车， 在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回， 他骑车速度是徒步速度的 3倍 设他从家出发后所用的时间为 t(分钟)，所走的路程为 s(米)，则 s 与 t的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 8. 正比例函数ykx
3、的图象经过点2,1，则它一定经过（ ） A. 1,2 B. 1, 2 C. 2, 1 D. 2, 1 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 10s甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如图所示下列说法正确的是（ ） A. 5s 时，两架无人机都上升了 40m B. 10s 时，两架无人机的高度差为 20m C. 乙无人机上升的速度为 8m/s D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是 60m 10. 在平面直角坐标系中， 函数ykx(k0)的图象经过第二、 四象限， 则函数y2k
4、x2k的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 计算：82_ 12. 己知(82 ,1)Pm m点在x轴上，则点P的坐标为_ 13. 某校在研学旅行活动中，一名老师带领 x 名学生到北京中国科学技术馆参观已知成人票每张 30元，团体学生票每张 15 元设门票的总费用为 y元，则 y 与 x 的关系式为_ 14. 如图，在三角形 ABC中，ACB=90，AC=15，BC=20，AB=25，点 P 为直线 AB 上的一动点，连接PC，则线段 PC 的最小值是_ 15. 如图，已知点 E 是长方形 ABCD中 AD边上一点，
5、将四边形 BCDE 沿直线 BE折叠，折叠后点 C的对应点为C，点 D的对应点为D，若点 A在C D 上，且 AB10，BC8，则 AE_ 三解答题（共三解答题（共 55 分）分） 16. 计算： （1）1327； （2）(246)312； （3）(12313)6； （4）(12)2162 17. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（4，0） ，B（3，4） ，C（0，2） （1）求 S四边形ABCO； （2）连接 AC，求 SABC； （3）在 x轴上是否存在一点 P，使 SPAB=8？若存在，请求点 P坐标 18. 一个零件的形状如图所示，按规定BAC 应为直角，工人师傅测得ADC90 ，A
6、D3，CD4，AB12，BC13，请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么 19 如图，求： （1）画出ABC关于 y轴对称图形A1B1C1，并写出A1B1C1顶点的 A1坐标_，线段 CC1的长度为_； （2）在 y轴上存在一点 P，使得 APBP 的值最小，则 APBP的最小值为_； （3）在 x轴正半轴上存在一点 M，使得 SABMSABC，则点 M的坐标为_ 20. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费月用电量 x（度）与相应电费 y（元）之间的函数图象如图所示 （1）月用电量为 50 度时，应交电费_元； （2）
7、当 x100 时，每度电的费用是_元；月用电量为 150度时，应交电费_元； （3）当 x100 时，求 y与 x之间的函数关系式 21. 平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积具体如下： 设一个三角形的三边长分别为 a、b、c，P12(abc)，则有下列面积公式： S()()()P Pa Pb Pc（海伦公式） ； S2222221() 42abca b （秦九韶公式） （1）一个三角形边长依次是 5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形面积为_； （2） 学完勾股定理以后， 已知任意形
8、状的三角形的三边长也可以求出其面积 如图， 在ABC中， AB15，BC14，AC13，求ABC 的面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程 作 ADBC 于点 D，设 BDx，用含 x的代数式表示 CD，则 CD_； 请根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”建立方程，并求出 x 的值； 利用勾股定理求出 AD的长，再计算三角形的面积 22. 直线 AB：yxb 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为(3，0)，过点 B 的直线交 x 轴正半轴于点 C，且 OBOC31 （1）求点 B的坐标及直线 BC的函数表达式； （2）在 y
9、轴上存在点 P，使得以点 B、C、P三点构成的三角形为等腰三角形，请直接写出点 P 的坐标：_； （3）在坐标系平面内，存在点 D，使以点 A，B，D为顶点的三角形与ABC全等，画出ABD，并求出点D 的坐标 坪山区坪山区 2021-2022 学年第一学期八年级期中考试数学试卷学年第一学期八年级期中考试数学试卷 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 计算（4）2的结果是（ ） A. 16 B. 16 C. 4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行计算 【详解】解：(4)24， 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解
10、答本题的关键二次根式的性质有：2(0)(0)a aaaa a，20aa a，0,0abab ab，aabb （a0，b0） 2. 下列计算正确的是（ ） A. 1233 B. 235 C. 3553 D. 32252 【答案】A 【解析】 【分析】结合选项根据二次根式的加减法的运算法则求解即可 【详解】解：A、1232 333，故本选项符合题意； B、235，故本选项不符合题意； C、35-5=253，故本选项不符合题意； D、3+2252，故本选项不符合题意 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握其运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式， 再把
11、被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变 3. 如图， 若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系， 使“帅” 位于点（-1，-1） ， “马” 位于点（2，-1） ，则 “兵”位于点（ ） A. 1,2 B. 3,2 C. 3,1 D. 2,3 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系来确定位置即可得出答案 【详解】解：如图所示：则“兵”位于（-3，2）. 故选：B 【点睛】本题考查了坐标位置的确定，解题的关键在于建立平面直角坐标系 4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. 1，1，2 C. 1，3，2 D. 8，15，17
12、【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股数定义进行分析即可 【详解】解：A、92+162252，不是勾股数，故此选项不合题意； B、2不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、3不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； D、82+152=172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数 5. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度则点P的坐标是（ ） A. 4, 3 B. 4,3 C. 3, 4 D. 3,4 【答案】C 【解析】 【分析】根据到x轴的
13、距离即为纵坐标的绝对值，到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案 【详解】解：点P在第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度， 点 P的横坐标是 3，纵坐标是4，即点 P 的坐标为3, 4 故选：C 【点睛】本题考查了点的坐标，属于基础题型，熟练掌握坐标系中点的坐标符号特点是解题的关键 6. 若点( 2, )Aa，(3, )Bb都在直线52yx上，则a与b的大小关系是( ) A. ab B. ab C. ab D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据-23即可得出结论 【详解】解：50k Q， y
14、随x的增大而增大 又Q点( 2, )Aa，(3, )Bb都在直线52yx上，23 ， ab 故选 A 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 7. 小刚徒步到同学家取自行车， 在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回， 他骑车速度是徒步速度的 3倍 设他从家出发后所用的时间为 t(分钟)，所走的路程为 s(米)，则 s 与 t的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】小刚取车的整个过程共分三个阶段： 徒步从家到同学家，s 随时间 t 的增大而增大； 在同学家逗留期间，s 不变； 骑车返回途
15、中，速度是徒步速度的 3 倍，s 随 t 的增大而增大，并且比徒步时的直线更陡； 纵观各选项，只有 B 选项符合， 故选 B 8. 正比例函数ykx的图象经过点2,1，则它一定经过（ ） A. 1,2 B. 1, 2 C. 2, 1 D. 2, 1 【答案】D 【解析】 【分析】先将(-2，1)代入正比例函数解析式中，解出 k的值，得到正比例函数的解析式，再进行判断即可； 【详解】ykx 经过(-2，1)， 将(-2，1)代入ykx中， 得：1=2k ， 12k ， 函数解析式为：12yx 点(2，-1)在函数12yx 的图象上， 故选：D 【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式，正确
16、掌握知识点是解题的关键； 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 10s甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如图所示下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了 40m B. 10s 时，两架无人机的高度差为 20m C. 乙无人机上升的速度为 8m/s D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是 60m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度 y（米）和上升的时间 x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断
17、即可 【详解】解：设甲的函数关系式为yax甲，把(5，40)代入得：405a，解得8a ， 8yx甲， 设乙的函数关系式为ykxb乙，把(0，20) ，(5，40)代入得： 20540bkb，解得420kb， 420yx乙， A、5s 时，甲无人机上升了 40m，乙无人机上升了 20m，不符合题意； B、10s 时，甲无人机离地面8 1080m， 乙无人机离地面4 102060m，相差 20m，符合题意； C、乙无人机上升的速度为402045m/s，不符合题意； D、10s时，甲无人机距离地面的高度是 80m 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式
18、，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键 10. 在平面直角坐标系中， 函数ykx(k0)的图象经过第二、 四象限， 则函数y2kx2k的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数 ykx(k0)的图象经过第二、四象限判断出 k 的大小，再根据一次函数的图象性质判断即可； 【详解】函数 ykx(k0)的图象经过第二、四象限， 0k ， 20k ，20k， 一次函数 y2kx2k的图象经过第一、二、四象限； 故选 B 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分）
19、11. 计算：82_ 【答案】2 【解析】 【分析】先把8化简为 22，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】8222-2=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键 12. 己知(82 ,1)Pm m点在x轴上，则点P的坐标为_ 【答案】(10,0) 【解析】 【分析】根据x轴上点的横坐标为 0列方程求出m的值，然后求解即可 【详解】解：Q点(82 ,1)Pm m在x轴上， 10m ， 解得1m ， 828210m ， 点P的坐标为(10,0) 故答案为：(10,0) 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的横坐标为 0 是解题的关键 13. 某校在
20、研学旅行活动中，一名老师带领 x 名学生到北京中国科学技术馆参观已知成人票每张 30元，团体学生票每张 15 元设门票的总费用为 y元，则 y 与 x 的关系式为_ 【答案】y=15x+30 【解析】 【分析】根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价为15x，根据一名老师的票价为 30元，可得函数关系式 【详解】解：由题意，得： y=10 x+30， 故答案为：y=10 x+30 【点睛】本题考查了函数关系式，利用了学生票价加老师的票价等于总票价 14. 如图，在三角形 ABC中，ACB=90，AC=15，BC=20，AB=25，点 P 为直线 AB 上的一动点，连接PC，则线段 PC 的最
21、小值是_ 【答案】12 【解析】 【分析】作 CPAB 于 P，根据垂线段最短可知此线段 PC就是最小值，根据三角形的面积公式求出 PC即可 【详解】解：作 CPAB于 P，如图： 由垂线段最短可知，此时 PC 最小， SABC12ACBC12ABPC，即1215201225PC， 解得，PC12， 故答案为：12 【点睛】本题考查的是三角形的面积公式、垂线段最短解题的关键是熟知垂线段最短的性质 15. 如图，已知点 E 是长方形 ABCD中 AD边上一点，将四边形 BCDE 沿直线 BE折叠，折叠后点 C的对应点为C，点 D的对应点为D，若点 A在C D 上，且 AB10，BC8，则 AE_
22、 【答案】5 【解析】 【分析】 先求出6AC，4AD ， 设E D E Dx， 则8A Ex ， 运用勾股定理列出关于x的方程，求出x即可解决问题 【详解】解：四边形 ABCD 为长方形，AB10，BC8， DCDAB90 ，ABDC10，ADBC8， 折叠， 90DD ，90CC ，8BCBC，10D CDC ； 在RtABC中，222ACABBC ， 22221086ACABBC， 1064ADC DAC ， 设EDEDx，则8AEx ， 在RtAED中，222AEADDE， 222(8)4xx， 解得：3x ， 85AEx， 故答案为：5 【点睛】该题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾
23、股定理的应用等相关知识，熟练掌握矩形的性质、勾股定理是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 55 分）分） 16. 计算： （1）1327； （2）(246)312； （3）(12313)6； （4）(12)2162 【答案】 （1）3； （2）322； （3）32； （4）3 【解析】 【分析】 （1）先算乘法，再化简，即可求解； （2）先算括号内的和化简二次根式，然后再算除法，最后合并，即可求解； （3）先算括号内的，再计算除法，即可求解； （4）先算平方和除法，最后合并，即可求解 【详解】解： （1）原式127933 ； （2）原式22 6632 2632 222 322 ； （3）原式
24、32 3363 32 36 36 3 2 ； （4）原式1 2 222 2 3 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握利用二次根式的性质化简是解题的关键 17. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（4，0） ，B（3，4） ，C（0，2） （1）求 S四边形ABCO； （2）连接 AC，求 SABC； （3）在 x轴上是否存在一点 P，使 SPAB=8？若存在，请求点 P坐标 【答案】 （1）11； （2）7； （3）存在， （0，0）或（8，0） 【解析】 【分析】 （1）如图 1，过点 B 作 BDOA 于点 D，根据 S四边形ABCO=S梯形CODBSABD，利用面积公式求解即
25、可； （2）根据 SABCS四边形ABCO-SAOC，利用面积公式求解即可； （3）设 P（m，0） ，构建方程求出 m即可 【详解】解： （1）如图 1，过点 B 作 BDOA 于点 D， 点 A（4，0） ，B（3，4） ，C（0，2） ， OC=2，OD=3，BD=4，AD=4-3=1， S四边形ABCO=S梯形CODBSABD=1(24) 3211 42 =92=11； （2）如图 2，连接 AC， SABCS四边形ABCO-SAOC=11-14 22 =11-4=7； （3）设 P（m，0） ，则有12 |m-4| 4=8， m=0 或 8， P（0，0）或（8，0） 【点睛】本题考
26、查了三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程解决问题 18. 一个零件的形状如图所示，按规定BAC 应为直角，工人师傅测得ADC90 ，AD3，CD4，AB12，BC13，请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么 【答案】这个零件符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】先根据勾股定理求 AC的长，再利用勾股定理的逆定理，判断出ABC的形状，从而判断这个零件是否符合要求 【详解】解：这个零件符合要求，理由如下： 连接 AC ADC=90 ，AD=3，CD=4， AC=222234ADCD=5， AB=12，BC=13，且22251213
27、, AC2+AB2=BC2， ABC是直角三角形， BAC=90 ， 故这个零件符合要求 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是先求出 AC的长，结合 BC和 AB的长可判断出ABC 的形状 19. 如图，求： （1）画出ABC关于 y轴的对称图形A1B1C1，并写出A1B1C1顶点的 A1坐标_，线段 CC1的长度为_； （2）在 y轴上存在一点 P，使得 APBP 的值最小，则 APBP的最小值为_； （3）在 x轴正半轴上存在一点 M，使得 SABMSABC，则点 M坐标为_ 【答案】 （1）图见解析，A1（3，4） ，CC110； （2）25； （3）M（4，0） 【解析
28、】 【分析】 （1）根据图形得：3,4 ,1,2 ,5,1ABC ，则点 A、B、C 关于 y 轴的对称点为1113,4 ,1,2 ,5,1ABC，即可画出图形； （2）连接1AB交 y 轴于点 P，连接 BP，此时1PBPB ，则 PA+PB 的值最小，最小值为1AB 的长，即可求解； （3）过点 C作 CMAB，交 x轴于点 M，连接 AM，BM，此时 SABMSABC，即可求解 【详解】解： （1）根据图形得：3,4 ,1,2 ,5,1ABC ， 所以点 A、B、C 关于 y轴的对称点为1113,4 ,1,2 ,5,1ABC， 如图所示，画出如下图形： 由图可知，A1（3，4） ，CC1
29、10； （2）连接1AB交 y轴于点 P，连接 BP，此时1PBPB ，则 PA+PB 的值最小， 最小值为221423 12 5AB ， 即 APBP 的最小值为2 5 ； （3）过点 C作 CMAB，交 x轴于点 M，连接 AM，BM，此时 SABMSABC， 设直线 AB的解析式为0ykxb k ， 将点3,4 ,1,2AB代入，得： 342kbkb ，解得：11kb ， 所以直线 AB 的解析式为1yx ， 因为 CMAB， 所以可设直线 CM的解析式为yxm ， 因为5,1C， 所以51m ，解得：4m ， 所以直线 CM的解析式为4yx ， 当0y 时，40 x ，即4x ， 所以
30、点 M（4，0） 【点睛】本题考查作图一轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型 20. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费月用电量 x（度）与相应电费 y（元）之间的函数图象如图所示 （1）月用电量为 50 度时，应交电费_元； （2）当 x100 时，每度电的费用是_元；月用电量为 150度时，应交电费_元； （3）当 x100 时，求 y与 x之间的函数关系式 【答案】 （1）30； （2）75， 130； （3）y35x 【解析】 【分析】 （1）当 0 x100
31、时，设 ymx（m0） ，将（100，60）代入，可得到 y与 x之间函数关系式，再将 x50 代入解析式，即可求解； （2）当 x100 时，用 200-60除以 200-100，即可得到每度电的费用；然后当 x100 时，设 ykxb（k0） ，将（100，60） ， （200，200）代入，可得到 y与 x之间的函数关系式，即可求解； （3）由（1）即可求解 【详解】解： （1）当 0 x100 时，设 ymx（m0） ， 将（100，60）代入可得：100 x60，解得：x35 ， 当 0 x100 时，y35x， 当 x50时，350305y ， 月用电量为 50度时，应交电费 30
32、 元； （2）当 x100 时，每度电的费用是200607200 1005元， 当 x100时，设 ykxb（k0） ， 将（100，60） ， （200，200）代入可得：10060200200kbkb ，解得：7580kb ， 当 x100 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y75x80； 当 x150时，7150801305y ，即月用电量为 150 度时，应交电费 130 元； （3）由（1）知当 0 x100 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y35x 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，明确题意，准确得到函数解析式是解题的关键 21. 平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、
33、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积具体如下： 设一个三角形的三边长分别为 a、b、c，P12(abc)，则有下列面积公式： S()()()P Pa Pb Pc（海伦公式） ； S2222221() 42abca b （秦九韶公式） （1）一个三角形边长依次是 5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积为_； （2） 学完勾股定理以后， 已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积 如图， 在ABC中， AB15，BC14，AC13，求ABC 的面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完
34、成解答过程 作 ADBC 于点 D，设 BDx，用含 x的代数式表示 CD，则 CD_； 请根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”建立方程，并求出 x值； 利用勾股定理求出 AD的长，再计算三角形的面积 【答案】 （1）6 6 ； （2）14x；9；84 【解析】 【分析】 （1）先求出156792P ，再由海伦公式，即可求解； （2）设 BDx，根据 CD=BC-BD，即可求解； 根据勾股定理，可得 AD2AC2CD2，AD2AB2BD2，从而得到 AC2CD2AB2BD2，即可得到方程，解出即可； 由以及勾股定理可得 AD=12，再由三角形的面积公式，即可求解 【详解】解： （1）三角形边
35、长依次是 5、6、7， 156792P ， 9 9 5 96976 6S ； （2）BC14，BDx，DC14x； ADBC，AD2AC2CD2，AD2AB2BD2， AC2CD2AB2BD2， 132（14x）2152x2，解得：x9； 由得 ：222215912ADABBD ， 1114 128422ABCSBC ADV 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的化简，根据题意准确得到 AD 的长是解题的关键 22. 直线 AB：yxb 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为(3，0)，过点 B 的直线交 x 轴正半轴于点 C，且 OBOC31 （1）求点 B的坐标及
36、直线 BC的函数表达式； （2）在 y轴上存在点 P，使得以点 B、C、P三点构成的三角形为等腰三角形，请直接写出点 P 的坐标：_； （3）在坐标系平面内，存在点 D，使以点 A，B，D为顶点的三角形与ABC全等，画出ABD，并求出点D 的坐标 【答案】 （1） （0，3） ，y3x3； （2）P（0，310）或（0，310）或（0，3）或（0，43） ；（3）图见解析，点 D的坐标为（4，3）或（3，4）或（0，1） 【解析】 【分析】 （1）由直线 AB过点 A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 b的值，进而可得出点 B 的坐标及 OB 的长度，结合 OB：OC=3：1 可求出点 C
37、的坐标，再由点 B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线 BC的函数表达式； （2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可； （3）分BADABC和ABDABC两种情况考虑：当BADABC时，由 OA=OB可得出BAC=45，由全等三角形的性质可得出ABD=BAC=45、BD=AC=4，利用内错角相等两直线平行可得出BDAC， 结合BD的长度即可得出点D的坐标； 当ABDABC时， 有BAD=BAC=45、 AD=AC=4，由DAC=BAD+BAC可得出DAC=90，结合 BD的长度即可得出点 D的坐标； 【详解】解： （1）直线 AB：y=x+b 过点 A（-
38、3，0） ， 0=-3+b， b=3 当 x=0时，y=x+b=b=3， 点 B的坐标为（0，3） ，即 OB=3 OB：OC=3：1， OC=1 点 C在 x轴正半轴， 点 C坐标为（1，0） 设直线 BC的解析式为 y=kx+c（k0） ， 将 B（0，3） 、C（1，0）代入 y=kx+c，得： 30ckc， 解得：33kc， 直线 BC的函数表达式为 y=-3x+3 （2）B（0，3） 、C（1，0） OB=3，OC=1 22223110BCOBOC 当 BC 为腰时，点 P的位置有三处，(1P，2P和3P)如图， 当1PCBC时，则有13POOB P1（0，3） ， 当210BPBC
39、时，22103OPBPOB P2（0，310） ， 当310PBBC时，33+10+3OPBP OB P3（0，310） ； 当BC为底边时，设 P4（0，m） ，则有 2221(3)mm 解得，43m P4（0，43） ， 点P的坐标为 P（0，310）或（0，310）或（0，3）或（0，43） 故答案为：P（0，310）或（0，310）或（0，3）或（0，43） （3）分在 x轴上方：BADABC和ABDABC（如图 1）和点 D在 y轴上（如图）两种情况考虑： 如图： 当BADABC 时，OA=OB=3， BAC=45 BADABC， ABD=BAC=45 ，BD=AC=4， BDAC， 点 D的坐标为（-4，3） ； 当ABDABC 时，BAD=BAC=45 ，AD=AC=4， DAC=90 ， 点 D的坐标为（-3，4） 如图 当ABDBCA时，BD=AC=4 OD=1 点 D的坐标为（0，-1） 综上所述，点 D的坐标为（-4，3）或（-3，4）或（0，-1） 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的性质，解题的关键是： （1）由点的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的函数表达式； （2）分BADABC和ABDABC两种情况求出点 D的坐标
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