1、专题专题 9 四边形四边形 一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题） 1 （2021新都区模拟）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（ ） A对角线相等 B对角线互相垂直 C对角线互相平分 D对角线平分内角 2 （2021成都模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，过点 D 作 DFDE 交 BC 的延长线于点 F，连接 EF，若 AE1，则 EF 的值为（ ） A3 B10 C23 D4 3 （2021温江区模拟）如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A（1，2） ，B（3，3） 作菱形 OABC关于 x 轴的对称图形 OABC，则点 A 的对
2、应点 A的坐标是（ ） A （2，1） B （1，2） C （3，3） D （2，1） 4 （2021双流区模拟）如图，在ABCD 中，AB4，BAD 的平分线交 DC 于点 E，且点 E 恰好是 DC 的中点，过点 D 作 DFAE，垂足为 F若 AE23，则 DF 的长为（ ） A3 B2 C1 D32 5 （2021都江堰市模拟） 如图， 在正方形点阵中， 相邻的四个点构成正方形 图中线段的端点都在点阵上，则图中与 相等的角有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （2020简阳市 一模）下列说法错误的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B平行四边形的对边相等 C对角线互相
3、垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 7 （2020都江堰市模拟）菱形不具备的性质是（ ） A对角线一定相等 B对角线互相垂直 C是轴对称图形 D是中心对称图形 8 （2020锦江区模拟）如图，在正方形 ABCD 中，AB1，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 60，得正方形 ABCD，则线段 AC 扫过的面积为（ ） A26 B23 C13 D23 9 （2020锦江区校级模拟）如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CECA，连接 AE，如果ACB38，则E 的值是（ ） A18 B19 C20 D40 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小
4、题） 10 （2021金牛区模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB12，BC16，AC 与 BD 相交于 O，E 为 DC 上的一点，过点 O 作 OFOE 交 BC 于 F，记 d= 2+ 2，则 d 的最小值为 11 （2021锦江区校级模拟）正方形 ABCD 的边长为 4，F 是 AD 上的动点，将FCD 沿着 CF 折叠，当AEF 是等腰三角形，DF 12 （2021成都模拟）如图，面积为 4 的平行四边形 ABCD 中，AB4，过点 B 作 CD 边的垂线，垂足为点E，点 E 正好是 CD 的中点，点 M、点 N 分别是 AB、AC上的动点，MN 的延长线交线段 DE 于点 P，若点
5、 P 是唯一使得线段MPB45的点，则线段 BM 长 x 的取值范围是 13 （2021温江区模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB6，AD3，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为DF 中点，连接 PB，则 PB 的最大值是 14 （2021金堂县模拟）边长为 4 的正方形 ABCD 中，E、F、G 分别为 AB、CD、AD 上的中点，连接 EF、CG 交于点 N，以点 C 为圆心，CB 为半径的弧交 EF 于点 M，则 MN 15 （2021都江堰市模拟）如图，在正五边形 ABCDE 中，DF 是边 CD 的延长线，连接 BD，则BDF 的度数是 度 16 （2021金牛区模拟
6、）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，AC 为其对角线，ABC60，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的动点，且 MBNC连接 AM、AN、MN，MN 交 AC 于点 P则点 P 到直线 CD 的距离的最大值为 17 （2021青羊区校级模拟）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作 BD 的垂线分别交AD，BC 于 E，F 两点若 AC43，AEO120，则 FC 的长度为 18 （2021郫都区模拟）如图，已知正方形 ABCD 中，两动点 M 和 N 分别从顶点 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 向终点 C、D 运动，连接 AM、BN，交
7、于点 P，再连接 PC，若 AB4，则 PC 长的最小值为 19 （2021成都模拟）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，AB8，AD4，点 E 在 AB 边上，若 EOBD 于点 O，则 DE 的长是 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 20 （2021成都模拟）正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且 BECF，AE 与 BF 交于点 G （1）如图 1，若 AB3，BECF1，求 EG； （2） 如图 2， 在 GF 上截取 GMGB， MAD 的平分线交 BF 于点 N， 连接 CN， 求证： AN+CN= 2BN （3）如图 3，若 AB22，在
8、 AG 上截取 GPGB，点 Q、R 分别是 AD、BD 上的动点，直接写出PQR的周长的最小值 21 （2021龙泉驿区模拟）已知矩形 ABCD，点 E 为 AB 边上的动点（点 E 不与点 AB 重合） ，连接 DE，作 EFDE 交射线 DC 于 F，交 BC 于 G，连接 CE，BF （1）如图 1，若点 F 与点 C 重合，求证：AD2AEBE； （2）如图 2，当 AB16，AD8，且 BFCE 时，求 AE 的长； （3）如图 3当 BE3AE，且CBFDCE 时，求的值 22 （2021温江区模拟）如图 1，已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且 OAOBOCOD3
9、，OC 平分BOD，与 BD 交于点 G，AC 分别与 BD、OD 交于点 E、F （1）求证：OCAD； （2）如图 2，若 DEDF，求的值； （3）当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求的值 23 （2021金堂县模拟）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，BD 为对角线，将ABD 沿过点 D 的某条直线折叠得到FED，直线 EF 分别与线段 AB、BD 交于点 G、H （1）求证：BGEG； （2）如图 2，当点 E、H、C 三点共线时，请求 SDFH的值 （3）若DEH 是等腰三角形，求 tanDEB 的值 24 （2021锦江区模拟）如图，AC 是正方形 ABCD 的对
10、角线，E 为边 BC 上一点，过点 E 作 EGAC 交 AC于 P，交 CD 于 G，连接 DP 并延长交 BC 于点 F （1）求证：PEPG； （2）若 BEFC，求EPF 的大小； （3）若 BC6，EF1，求PEF 的面积 25 （2021都江堰市模拟）如图，已知菱形 ABCD，B90，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE，过点 E作 EFAE，EF 与边 CD 交于点 F，且 EC3CF （1）如图，当B90时，SABE：SECF等于 ； （2）如图，当点 E 是边 BC 的中点时，求 cosB 的值； （3）如图，连接 AF，当AFEB 且 CF2 时，求菱形的边长 （直接写出
11、结果） 26 （2021青羊区校级模拟） （1）证明推断：如图（1） ，在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB上，DQAE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GFAE求证：AEFG； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形 ABCD 中，=k（k 为常数） 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当时 k=34，若 tanCGP=43，GF25，求 CP 的长
12、 27 （2021新都区模拟）将矩形 ABCD 折叠，使得点 C 落在边 AB 上，折痕为 EF， （1）如图 1，当点 C 与点 A 重合时，若 AB4，BF3，求 AE 的长； （2）如图 2，点 C 落在 AB 边的点 M 处（不与 A，B 重合） ，若 AB4，AD8， 取 EF 的中点 O，连接并延长 MO 与 DE 的延长线交于点 P，连接 PF，ME求证：四边形 MFPE 是平行四边形； 设 BMt， 用含有 t 的式子表示四边形 ABFE 的面积， 并求四边形 ABFE 的面积的最大值及此时 t 的值 28 （2021锦江区校级模拟）如图，正方形 ABCD 边长为 a，正方形
13、CEFG 边长为 b， （1）如图 1，若点 F 在线段 BC 上移动，且不与 B、C 两点重合，连接 AF、AE、DE，点 M、K、L 分别为 AF、AE、DE 中点 求证：ML12（a+b） ； 求线段 ML 与线段 ED 的关系； （2）若点 F 从点 C 出发，沿边 CBBA 向终点 A 运动，整个运动过程中，求点 E 所经过的路径长（用含 a 的代数式表示） 29 （2021温江区校级模拟）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别是边 BC、AB 上一点，且四边形 BEGF 为边长为 2 的正方形，连接 DG （1）在图 1 中，求的值； （2） 将图 1 中的正方
14、形 BEGF 绕点 B 旋转一周， 探究的值是否变化？若不变， 请利用图 2 求出该值；若变化请说明理由； （3）当正方形 BEGF 旋转至 D，G，E 三点共线时，求 CE 的长 30（2021成华区模拟） 将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转 （090） 至 AB， 连接 BB，过点 D 作直线 BB的垂线，垂足为点 E，连接 DB，CE （1）求证：DEB是等腰直角三角形； （2）求的值； （3）连接 CB，当四边形 CEDB是平行四边形时，请直接写出的值及 sin 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题） 1 【解答】解：平
15、行四边形的对角线互相平分， 矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分 故选：C 2 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABCDADC90，ADCDABBC， DCFDCBA90， DFDE， EDF90， CDF+EDC90， ADE+EDC90， CDFADE， 在ADE 与CDF 中， = = = ， ADECDF（ASA） ， CFAE1， E 为 AB 的中点，AE1， BEAE1，BCAB2AE2， BFBC+CF2+13， 在 RtBEF 中，根据勾股定理得： EF= 2+ 2= 12+ 32= 10， 故选：B 3 【解答】解：由题可得，点 A 的坐标为（1，2） ， 点
16、 A 关于 x 轴的对称点 A的坐标是（1，2） ， 故选：B 4 【解答】解：AB4，点 E 是 DC 的中点， DEEC2， AE 为DAB 的平分线， DAEBAE， DCAB， BAEDEA， DAEDEA， ADED2， DFAE， AFEF=12AE= 3， DF= 2 2= 4 3 =1， 故选：C 5 【解答】解：如图，由题意得，ABDE， AOD，BOC， 图中与 相等的角有 2 个， 故选：B 6 【解答】解：A对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误； B平行四边形的对边相等，故本选项正确； C对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确； D正方形既是轴对称图形、又
17、是中心对称图形，故本选项正确； 故选：A 7 【解答】解：根据菱形的性质可知： 菱形的对角线互相垂直平分； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 矩形的对角线相等，而菱形不具备对角线一定相等 故选：A 8 【解答】解：正方形 ABCD 中，ABBC1，B90， AC= 2+ 2= 2， 正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 60，得正方形 ABCD， CAC60， 线段 AC 扫过的面积为扇形 CAC的面积： 60(2)2360=13 故选：C 9 【解答】解：CECA， ECAE， ACBE+CAE2E， E19 故选：B 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 10 【解答】解：延
18、长 EO 交 AB 于 G，连接 GF， 四边形 ABCD 是矩形， OBOD，ABCD， OBGODE， 在DOE 与BOG 中， = = = ， DOEBOG（ASA） ， BGDE， d= 2+ 2= 2+ 2=FG， 过 O 点作 OHAB 于 H，OIBC 于 I， 四边形 HBIO 是矩形， OHGOIBHOI90， OIF90OHG， EOF90， GOF1809090， HOGIOF， OHGOIF， =， O 为 AC 的中点，HOBC， HO=12BC， 同理 IO=12AB， AB12，BC16， =34， 设 BGx，则 HG6x， IF=9234x， BF8+9234
19、x=25234x， d=2+ (25234)2=2516( 6)2+ 100， 0 x6， 当 x6 时，d 最小为 10， 故答案为：10 11 【解答】解：当AEF 是等腰三角形时，此题有三种情况： 如图 1，当 AFEF 时， 由折叠得：EFDF， AFDF， 又正方形 ABCD 的边长为 4， DF=12AD2； 如图 2，当 AEEF 时，过点 E 作 MNAD 于 M，交 BC 于点 N， AMFM，AEMFEM 四边形 ABCD 为正方形， DAC45， AME 是等腰直角三角形， AMEM， 设 DFa，则 FMAMEM=12（4a） ， 由折叠得 EFDFa， 在 RtEFM
20、 中，由勾股定理得：EF2EM2+FM2， (42)2+ (42)2=a2， 解得：a142 4（不符题意，舍去） ，a242 4， DF42 4； 当 AFAE 时，作 AKEF 于 K，交 CF 于 G，作 GHAD 于 H，过点 E 作 MNAD 于 M，交 BC 于N， 设 DFEF2a，则 AF42a， AFAE， FKEKa， CEEF，AKEF， KGCE， =12， KG=12CE2，FG=12CF， GHAD， FHG90D， GHCD， =12， GH=12CD2，FHDHa， AH4a， tanFAK=， =24;， AK=(4)2， sinEFM=， 2=(4)24;2
21、， EM=2(4)42， CEN+FEM90EFM+FEM， CENEFM， CEN+ECN90，EFM+FAK90， ECNFAK， sinECNsinFAK， =， 4=4;2， EN=22， EM+EN4， 2(4;)4;2+22;=4， 整理得：a34a212a+160， （a+2） （a24a8）0， a12，a22+23，a3223（均不符合题意，舍去） ， 综上所述，DF2 或 42 4， 故答案为：2 或 42 4 12 【解答】解：平行四边形 ABCD 的面积为 4，AB4，BECD， BE1， 点 P 是唯一使得线段MPB45的点， 则可看成弦 MB 所对的圆周角MPB45
22、， 设MBP 外接圆的圆心为 O， 则MOB90， =22， CD 与 AB 之间的距离为 1， 12 +22 1， x 22 2， 又MB4， 22 2 4 故答案为：22 2x4 13 【解答】解：如图，取 CD 中点 H，连接 AH，BH，设 AH 与 DE 的交点为 O，连接 BO， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD6，ADBC3，CDAB， 点 E 是 AB 中点，点 H 是 CD 中点， CHAEDHBE3， 四边形 AECH 是平行四边形， AHCE， 点 P 是 DF 的中点，点 H 是 CD 的中点， PHEC， 点 P 在 AH 上， ADDHCHBC3， DHADAH
23、CBHCHB45，AHBH32， AHB90， ADAE3， ADE45HDE， AOOH=322， 当点 F 与点 E 重合时，此时点 P 与点 O 重合，BP 有最大值， BP= 2+ 2=18 +184=3102， 故答案为：3102 14 【解答】解：E、F、G 分别为 AB、CD、AD 上的中点， EFAD， FN 是CGD 的中位线， FN=12 =1， 又CM4，FC2， MF= 2 2= 42 22=23， MNMFFN23 1 故答案为：23 1 15 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， C=180(52)5=108，BCDC， BDCDBC=12（180C）=12
24、（180108）36， BDF180BDC18036144， 故答案为：144 16 【解答】解：ABC60，ABBC， ABC 为等边三角形，ACBACD60， 在ABM 和ACN 中， = = = ， ABMACN（SAS） ， AMAN， AMN 为等边三角形， BACBAMP60， BAM+BMABMA+CMP18060120， BAMCMP，BMACPM， BAMCMP， =， 设 BM 长为 x，则 CM6x， 6=6;， 6CPx（6x）（x3）2+9， 当 x3 时 CP 最长， 即当 AM 垂直于 BC 时，等边三角形边长最小，此时 CP 最长，满足条件，作 PECD 于点
25、E ABAC，AMBC， BMMC3，CMP30，CPM90， PC=12MC=32， 在 RtPCE 中， CPE30，PC=32， EC=12PC=34， PE= 2 2=334， 故答案为：334 17 【解答】解：矩形 ABCD，AC43， OAOCOBOD23，ADBC，ADCBCD90，BDAC43， AEO120， DEO180AEO60， BFODEO60， EFBD， DOEBOF90， =sinBFO， BF=2360=4， CBD90BFO30， =cosCBDcos30， BCBDcos3043 32=6， FCBCBF642 故答案为：2 18 【解答】解：由题意得：
26、BMCN， 四边形 ABCD 是正方形， ABMBCN90，ABBC4， 在ABM 和BCN 中， = = = ， ABMBCN（SAS） ， BAMCBN， ABP+CBN90， ABP+BAM90， APB90， 点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，设圆心为 O，运动路径一条弧，是这个圆的14，如图所示： 连接 OC 交圆 O 于 P，此时 PC 最小， AB4， OPOB2， 由勾股定理得：OC= 22+ 42=25， PCOCOP25 2； 故答案为：25 2 19 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ODOB， EOBD， DEBE， 设 DEBEx， AE8x， 在 RtAE
27、D 中，AE2+AD2ED2， 42+（8x）2x2， 解得：x5， 故答案为：5 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 20 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 为正方形， ABCB，ABCBCD90， BECF， CFBBEA（SAS） ， BEABFC， 在 RtABE 中，AE= 2+ 2= 32+ 12= 10， AEBF= 10， FBC+BFC90， FBC+BEGFBC+BFC90， BGE90， AEBF， FBCFBC，BGEBCF90， BGEBCF， =，即1=110， EG=1010； （2）证明：如图 2，过 B 作 BHBN，与 NA 交于点 H， 四边
28、形 ABCD 为正方形， ABBC，ABCHBN90， HBANBC， 由（1）得：AEBF HBAE， HEAN， BGMG，则 AE 是 BM 的垂直平分线， ABAM，则BAGMAG， AN 平分DAM， DANMAN， EAM+MANEAN45H， BNH45H， BHBN，HN= 2BN， ABHCBN（SAS） ， AHCN， AN+CNAH+ANHN= 2BN； （3）解：如图 3，作 P 关于 AD 的对称点 P，作 P 点关于 BD 的对称点 P，连接 PP，DP，DP，DP，PP，BP，CG，PP，QP，RP， 由对称性可得：QPQP，RPRP， PQR 的周长PQ+PR+
29、QRQP+QR+RPPP时PQR 的周长最短， 同理由对称性可得：PDP2（ADP+BDP）2ADB90，DPDPDP， DPP是等腰直角三角形， PP= 2DP， GPGB，AEBF， PBG45，=2， 四边形 ABCD 为正方形， DBC45，=2， PBDGBC，=， BPDBGC， =2， PD= 2CG， PP= 2 2CG2CG， AGB90取 AB 的中点 O，连接 OG， G 在以 AB 为直径的圆上运动， 当 C，G，O 三点共线时，CG 最短， 此时：AOBOOG= 2，BCAB22， CO= 2+ 2= 10， CG= 10 2， PP2CG210 22， PQR 的周
30、长的最小值为210 22 21 【解答】 （1）证明：EFDE， DEF90，AED+BEC90， 四边形 ABCD 是矩形， AB90，AED+ADE90，ADBC， ADEBEC， ADEBEC， =， ADBCAEBE， ADBC， AD2AEBE； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， AABC90，AED+ADE90，ABCD， BFCE， 四边形 EBFC 是平行四边形， GB=12BC4， EFDE， DEF90，AED+BEG90， ADEBEG， ADEBEG， =，即4=816;， 解得：AE842； （3）过点 F 作 FMAB 交 AB 的延长线于点 M， 矩形 ABC
31、D 中，ABCD， DCECEB， DCECBF， CEBCBF， 又EBCBCF90， CBEFCB， =， CFBM， BC2BEBM， 由（1）可知ADEMEF， =， BC2AEEMAE （BE+BM） ， BEBMAE （BE+BM） ， 设 AEx，BE3x， 3xBM3x2+xBM， BM=32x， BC23x32x， BC=322x， AB4x， =4322=432 22 【解答】 （1）证明：AOOD， OADADO， OC 平分BOD， DOCCOB， 又DOC+COBOAD+ADO， ADODOC， COAD； （2）解：如图 1， OAOBOD， ADB90， 设DAC
32、，则ACODAC OAOD，DAOC， ODAOAD2， DFE3， DFDE， DEFDFE3， 490， 22.5， DAO45， AOD 和ABD 为等腰直角三角形， AD= 2AO， =2， DEDF， DFEDEF， DFEAFO， AFOAED， 又ADEAOF90， ADEAOF， =2； （3）解：如图 2， ODOB，BOCDOC， BOCDOC（SAS） ， BCCD， 设 BCCDx，CGm，则 OG3m， OB2OG2BC2CG2， 9（3m）2x2m2， 解得：m=16x2， OG316x2， ODOB，DOGBOG， G 为 BD 的中点， 又O 为 AB 的中点，
33、 AD2OG613x2， 四边形 ABCD 的周长为 2BC+AD+AB2x+613x2+6= 13x2+2x+12= 13（x3）2+15， 130， x3 时，四边形 ABCD 的周长有最大值为 15 BC3， BCO 为等边三角形， BOC60， OCAD， DAOCOB60， ADFDOC60，DAE30， AFD90， =33，DF=12DA， =233 23 【解答】解： （1）证明：如图 1，连接 BE. 由折叠，得 BDED，DBADEF， DBEDEB，DBEDBADEBDEF， GBEGEB， BGEG （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，GBC90 由折叠，得EFDA9
34、0，DFDACB3， E、H、C 三点共线， CFD180EFD90GBC， CDAB， FCDBGC， FCDBGC（AAS） ， GCCDAB4， GBCF= 42 32= 7； CDGB， CDHGBH， 4;=47， 解得 CH=641679， FH= 7 641679=257649， SDFH=123=257649=257646 （3）如图 3，EF 的延长线交 BD 于点 H，DEHE 延长 BA 交 DE 于点 M，作 BNDE 于点 N，则BNEBND90 由折叠，得 MBHE，DEBD= 32+ 42=5， MBBD5，AM541， DAN90， DM= 12+ 32= 10
35、，MNDN=12DM=102， EN5102，BN=52 (102)2=3102， tanDEB=31025102=10+13； 如图 4，EF 交 BD 于点 H，DHEH 作 BQDE 于点 Q，则DQBBQE90 由折叠，得FEDABD，DEBD5， FEDQDB， QDBABD， 又DQBA90，BDDB， DQBBAD， QDAB4，QBAD3， QE541， tanDEB=31=3； 如图 5，当点 F 与点 A 重合时，则点 G 也与点 A 重合，点 H 与点 B 重合， 此时点 E、A、B 在同一条直线上， DAE90，AEAB4，AD3， tanDEB=34 综上所述，tan
36、DEB 的值为10:13或 3 或34 24 【解答】解： （1）证明：EGAC 于 P， EPCGPC90， 在正方形 ABCD 中，ACBDCA45， PECPCE45，PGCPCG45， PEPC，PGPC， PEPG （2）过点 P 作 PMPF 交 CD 于点 M， FPMEPC90 EPFCPM， 在EPF 和CPM 中， = = = ， EPFCPM（ASA） ， EFCM， GECEGC45， CECG， BCDC，EFCM， BEDG，FCMG， BECF， DGMG， DPM90， PG=12MDDG， DPGPDG=12PGM22.5， EPF22.5 （3）过点 G 作
37、 GHBC 交 DF 于点 H， HGPFEP，DHGDFC， 在GHP 和EFP 中， = = = ， GHPEFP（ASA） ， HGEF1， HDGFDC，DHGDFC， HDGFDC， =， 设 BEx，则 FC5x，DGBEx， 则15;=6， 解得：x12，x23， 经检验，2 和 3 均是原方程的根 CE4 或 3， 过点 P 作 PNBC 于点 N， EPCP，CPE90， 点 N 为 EC 中点， PN=12EC， PN2 或32， SPEF1 或34 25 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形，B90， 四边形 ABCD 是正方形， BC90， EFAE， AEB+
38、CEFAEB+BAE90， BAECEF， ABECEF， =， EC3CF， 设 CFx，ABa，则 EC3x，BEa3x， ;3=3， 解得，a4.5x， =（）2（4.53）2=94 故答案为：94 （2）过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 F 用 FNBC 于点 H，如图 2， 则AMECNF90， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ABCD， BFCN， 设 CFx，则 CE3x， E 是 BC 的中点， BECE3x，ABBC2CE6x， BMABcosB6xcosB，AMABsinB6xsinB，CNCFcosFCNxcosB，FNCFsinFCNxsinB， MEBEB
39、M3x6xcosB，ENEC+CN3x+xcosB， AEF90， AEM+NEFAEM+MAE90， MAENEF， AMEENF， =， 即63:=3;6，即23:=1;2， 整理得，2sin2B35cosB2cos2B， 235cosB， cosB=15 （3）过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 F 用 FNBC 于点 H，如图 3， 则AMECNF90， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ABCD， BFCN， AEF90， AEM+NEFAEM+MAE90， MAENEF， AMEENF， =， AFEB， tanB=，tanAFE=， =， =， BMEN， 设菱形 ABC
40、D 的边长为 a，则 ABBCa， BMacosB，CNCFcosFCNCFcosB， acosBEC+CFcosB， CF2，EC3CF， EC6， acosB6+2cosB， cosB=62， =， AMABsinBasinB，EN6+2cosB，MEaacosB6，NFCFsinFCN2sinB， 6:2=;62， 化简得，2a（sin2B+cos2B）6a4acosB12cosB36， 2a6a4acosB12cosB36， aacosB3cosB90， cosB=62， a6218290， 解得，a17，或 a0（舍） ， 菱形的边长为 17 26 【解答】解： （1）四边形 ABC
41、D 是正方形， ABDA，ABE90DAQ， QAO+OAD90， AEDQ， ADO+OAD90， QAOADO， ABEDAQ（ASA） ， AEDQ， DQAE，GFAE， DQGF， FQDG， 四边形 DQFG 是平行四边形， GFDQ， AEDQ， AEFG； （2）结论：=k理由如下： 如图 2 中，过 G 作 GMAB 于 M， AEGF， AOFGMFABE90， BAE+AFO90，AFO+FGM90， BAEFGM， ABEGMF， =， AMGDDAM90， 四边形 AMGD 是矩形， GMAD， =k； （3）解：如图 3 中，过点 P 作 PMBC 交 BC 的延长
42、线于 M FBGC，FEGP， CGPBFE， tanCGPtanBFE=43=， 可以假设 BE4k，BF3k，EFAF5k， =34，FG25， AE=853， （4k）2+（8k）2（853）2， k=23或23（舍弃） ， BE=83，AB=163，EFAF=103，BF2， BC：AB3：4， BC4， CEBCBE483=43，ADPEBC4， EBFFEPPME90， FEBEPM， FEBEPM， =， 1034=2=83， EM=125，PM=165， CMEMCE=12543=1615， CP= 2+ 2=(1615)2+ (165)2=161015 27 【解答】解： （
43、1）如图 1，矩形 ABCD 沿 EF 折叠， AFEEFC， ADBC， AEFEFCAFE， AEAF， 在 RtABF 中，AB4，BF3，则 AF5AE， 即 AE5； （2）DEMF，即 DPMF， EPMPMF， MOFPOE，OEOF， EOPFOM（AAS） ， EMOFPO， MFEP， 四边形 MFPE 是平行四边形； ABEF 为梯形，点 C 在 M 处， 则 MFCF， 则 BF2MF2t2（8BF）2t2， 解得 BF4116t2， 则 ME2AE2+（4t）2MD2+DE242+（ADAE）242+（8AE）2， 即 AE2+（4t）242+（8AE）2， 解得 A
44、E= 116t2+12t+4， S梯形ABFE=12（AE+BF）AB=12（4116t2116t2+12t+4）= 14t2+t+16， 140，故四边形 ABFE 的面积存在最大值， 当 t2 时，四边形 ABFE 的面积的最大值为 17 28 【解答】解： （1）如图 1，连接 MK，KL， M、K 分别是 AF，AE 的中点， MK=12EF， K、L 分别是 AE、DE 的中点， KL=12AD， MK+KLML（三角形两边之和大于第三边） ，正方形 ABCD 边长为 a，正方形 CEFG 边长为 b， ML12（a+b） ； （2）作 LQCE 交 CD 于 Q， KL 为ADE
45、的中位线， KL=12AD， LQCE， =1，即 DQ=12， ADCD， KLDQ， MK 是AEF 的中位线，LQ 是DEC 的中位线， MK=12，LQ=12， MKLQ， ECDLQD90+45135，MKAFEA，APCAKC， FPE+FEDMKL18045135ECD， 在MKL 和LQD 中， = = = ， MKLLQD（SAS） ， MLDL=12ED； （2）在 F 运动过程中，点 E 的轨迹是 CPB，CPB 为以 P 为顶点的等腰直角三角形， CP+PB= 2BC= 2a， 当点 F 在 CB 上时，如图中正方形 F1E1CG1， 四边形 F1E1CG1为正方形，C
46、F1为对角线， F1CE145， BPC 为等腰直角三角形， BCP45， E1在 CP 上运动，当点 F1到达点 B 时，E1与点 P 重合； 当点 F 在 BA 上时，如图中正方形 F2E2CG2， 连接 E2P， 由得，F2CE245，BCP45， F2CBE2CP， 2= 22， = 2， CF2BCE2P， CPE2CBF290， E2在 BP 上，当 F2到达 A 时，E2与 B 重合； 综上所述，点 E 的轨迹在 CPB 上，轨迹长度为2a 29 【解答】解： （1）延长 EG 交 AD 于 H， 四边形 ABCD，四边形 BEGF 为正方形， ABBCCDAD5，BEEGGFF
47、B2，ABEG，ADBCFG， AHBE2，DHCEBCBE3，GHAFABBF3，GHAD， 在 RtDGH 中，GD= 2+ 2= 32+ 32= 32， =332=22； （2）连接 BD，BG， 四边形 ABCD，四边形 BEGF 为正方形， DBCDBA45，GBE45，BD52，BG22， DBC+EBDGBE+EBD，即CBEDBG， BC5，BE2， =552=22，=222=22， =， CBEDBG， =22， 即的值不变，=22； （3）分两种情况： 当点 G 落在 DE 的延长线上时，连接 BD， 在 RtBED 中，BE2，BD52， DE= 2 2= 46， DGD
48、E+EG= 46 +2， 由（2）得=22， EC=22DG=22（46 +2）= 23 + 2； 当点 G 落在 DE 上时， 同法可得 DGDEEG= 46 2， 由（2）得=22， EC=22DG=22（46 2）= 23 2 综上，当正方形 BEGF 旋转至 D，G，E 三点共线时，CE 的长为23 + 2或23 2 30 【解答】 （1）证明：如图 1， AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB， ABABAD， ABBABB，ADBABD， 2ABB+BAB180，2DBA+DAB180，BAB+DAB90， ABB+ABD135 DBE18013545， DEBE， BDE904545
49、， DEB是等腰直角三角形 （2）解：四边形 ABCD 是正方形， BDC45， =2， 同理=2， =， BDB+BDC45，EDC+BDC45， BDBEDC， BDBCDE， =2 （3）如图 3，过点 B作 BMAB 于 M，BNBC 于 N 由（1）可知BED 是等腰直角三角形， BD= 2BE， 由BDBCDE，且 BB= 2CE =:=+1=2+1=2+1= 2 2 +13， 设 DECBa，则 BB2a， DECB， DEBEBCBBC90， ABBCAB= 5a， BNBC， BN=255a， BN= 2 2=455a， BMAB， BMBMBNBNB90， 四边形 BMBN 是矩形， MBBN=455a， sin=4555=45
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