1、6.1 平面向量的概念平面向量的概念 一、选择题 1.下列说法中，正确的个数是( ) 时间、摩擦力、重力都是向量； 向量的模是一个正实数； 相等向量一定是平行向量； 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量. A.1 B.2 C.3 D.4 【补偿训练】下列说法正确的是( ) A.向量ABuuu rCDuuu r就是ABuuu r所在的直线平行于CDuuu r所在的直线 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量长度等于 0 D.共线向量是在一条直线上的向量 2.在四边形 ABCD 中，ABuuu rCDuuu r，|ABuuu r|CDuuu r|，则四边形 ABCD 是( )
2、 A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 【补偿训练】若|ABuuu r|=|ADuuu r|且BAuu u r=CDuuu r，则四边形 ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 3.(多选题)设 O 是等边三角形 ABC 的外心，则OAuu u r，OBuuu r，OCuuu r是( ) A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.相等向量 D.模相等的向量 4.在菱形 ABCD 中，DAB=120 ，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( ) A.与ABuuu r相等的向量只有一个(不含ABuuu r) B.与ABuuu r的模相等的向量有
3、9 个(不含ABuuu r) C. BDuuu r的模恰为DAuuu r模的3倍 D. CBuuu r与DAuuu r不共线 【补偿训练】数轴上点 A，B 分别对应-1，2，则向量ABuuu r的长度是( ) A.-1 B.2 C.1 D.3 5.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC=60 ，则|BDuuu r|=( ) A.1 B. 3 C.2 D.23 6.(多选题)有下列说法，其中正确的说法是( ) A.若 ab，则 a 一定不与 b 共线 B.若ABuuu r=，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点 C.在YABCD 中，一定有ADuuu r=BCuuu r D.若
4、 a=b，b=c，则 a=c 二、填空题 7.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，O 为其中心，则|OAuu u r|=_. 【补偿训练】如果在一个边长为 5 的正ABC 中，一个向量所对应的有向线段为ADuuu r (其中D 在边 BC 上运动)，则向量ADuuu r长度的最小值为_. 8.如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. (1)与向量EDuuu r相等的向量有_； (2)若|ABuuu r|=3，则|ECuuu r|=_. 三、解答题 9.某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向沿东北方向走了 102米到达 C点，到达 C 点后又改变方向向西
5、走了 10 米到达 D 点. (1)作出向量ABuuu r，BCuuu r，CDuuu r； (2)求向量ADuuu r的模. 【补偿训练】如图是 4 3 的矩形(每个小方格的边长都是 1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量ABuuu r平行且模为2的向量共有几个?与向量ABuuu r方向相同且模为 32的向量共有几个? 10.如图所示，在四边形 ABCD 中，ABuuu r=DCuuu r，N，M 分别是 AD，BC 上的点，且CNuuu r=MAuuu r. 求证：DNuuur=MBuuu r. 参考答案 一、选择题 1.【答案】B 【解析】对于，时间没有方向，不是向量，摩擦
6、力、重力都是向量，故错误；对于，零向量的模为 0，故错误；正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；显然正确. 【补偿训练】 【答案】C 【解析】向量ABuuu rCDuuu r包含ABuuu r所在的直线与CDuuu r所在的直线平行和重合两种情况，故 A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故 B 错；按定义，零向量长度等于 0，故 C 正确；共线向量可以是在一条直线上的向量， 也可以是所在直线互相平行的向量，故 D错. 2.【答案】A 【解析】因为ABuuu rCDuuu r，所以 ABCD. 又因为|ABuuu r|CDuuu r|，所以 ABCD. 所以四边形 ABCD
7、是梯形. 【补偿训练】 【答案】C 【解析】由BAuu u r=CDuuu r，可知四边形 ABCD 为平行四边形，又因为|ABuuu r|=|ADuuu r|， 所以四边形 ABCD 为菱形. 3.【答案】AD 【解析】因为 O 是等边三角形 ABC 的外心，起点都是 O，外心为各边垂直平分线的交点， 所以|OAuu u r|=|OBuuu r|=|OCuuu r|. 4. 【答案】D 【解析】两向量相等要求长度(模)相等，方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.D 中CBuuu r，DAuuu r所在直线平行，向量方向相同，故共线. 【补偿训练】 【答案】D 【解析】|ABuuu r|=
8、2-(-1)=3. 5.【答案】D 【解析】易知 ACBD，且ABD=30 ，设 AC 与 BD 交于点 O，则 AO= AB=1.在 RtABO中，易得BOuuu r|=3，则|BDuuu r|=2|BOuuu r|=23. 6.【答案】CD 【解析】选对于 A，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以 a 与 b有共线的可能，故 A 不正确；对于 B，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故 B 不正确；对于 C，在YABCD 中，|ADuuu r|=|BCuuu r|，ADuuu r与BCuuu r平行且方向相同，所以ADuuu r=BCuuu r，故 C 正确； 对于
9、D，a=b，则|a|=|b|，且 a 与 b 方向相同；b=c，则|b|=|c|，且 b 与 c 方向相同，所以 a 与c 方向相同且模相等，故 a=c，故 D 正确. 二、填空题 7.【答案】2 【解析】因为正方形的对角线长为 22，所以|OAuu u r|=2. 【补偿训练】 【答案】 【解析】结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正ABC 中，有向线段 AD 长度最小时，AD 应与边 BC 垂直，有向线段 AD 长度的最小值为正ABC 的高，为. 8.【答案】(1) ABuuu r，DCuuu r (2)6 【解析】(1)根据向量相等的定义以及四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行
10、四边形，可知与向量EDuuu r相等的向量有ABuuu r，DCuuu r. (2)因为|ABuuu r|=3，|ECuuu r|=2|ABuuu r|，所以|ECuuu r|=6. 三、解答题 9.解：(1)作出向量ABuuu r，BCuuu r，CDuuu r，如图所示： (2)由题意得， BCD 是直角三角形，其中BDC=90 ， BC=102米，CD=10 米，所以 BD=10 米. ABD 是直角三角形，其中ABD=90 ，AB=5 米，BD=10 米， 所以 AD=22510=55(米). 所以|ADuuu r|=55米. 【补偿训练】解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有
11、一条对角线对应的向量及其相反向量都和ABuuu r平行且模为2. 因为共有 12 个小方格，所以满足条件的向量共有 24 个. (2)易知与向量ABuuu r方向相同且模为 32的向量共有 2 个. 10.证明：因为ABuuu r=DCuuu r，所以|ABuuu r|=|DCuuu r|且 ABCD， 所以四边形 ABCD 是平行四边形， 所以|DAuuu r|=|CBuuu r|且 DACB. 同理可得，四边形 CNAM 是平行四边形， 所以CMuuuu r=NAuuu r， 所以|CMuuuu r|=|NAuuu r|， 所以|MBuuu r|=|DNuuur|， 又DNuuur与MBuuu r的方向相同，所以DNuuur=MBuuu r.
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