1、6.2.1 向量的加法运算向量的加法运算 一、选择题 1.已知 a，b，c 是非零向量，则(a+c)+b，b+(a+c)，b+(c+a)，c+(a+b)，c+(b+a)中，与向量a+b+c 相等的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2.若向量 a 表示“向东航行 1 km”，向量 b 表示“向北航行3km”，则向量 a+b 表示( ) A.向东北方向航行 2 km B.向北偏东 30 方向航行 2 km C.向北偏东 60 方向航行 2 km D.向东北方向航行(1+3)km 【补偿训练】 在矩形 ABCD 中，|ABuuu r|=4，|BCuuu r|=2，则向量ABuuu r+A
2、Duuu r+ACuuu r的长度等于( ) A.25 B.45 C.12 D.6 3.已知 P 为ABC 所在平面内一点，当PAuu u r+PBuuu r=PCuuu r成立时，点 P 位于( ) A.ABC 的 AB 边上 B.ABC 的 BC 边上 C.ABC 的内部 D.ABC 的外部 4.在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点.下列结论正确的是( ) A.ABuuu r= CDuuu r，BCuuu r=ADuuu r B. ADuuu r+ODuuu r=CDuuu r C. AOuuu r+ODuuu r=ACuuu r+CDuuu r D.ABuuu r+ BCuuu
3、 r+CDuuu r=CDuuu r 【补偿训练】 如图，D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等式正确的 是( ) A.FDuuu r+DAuuu r= FAuu u r B.FDuuu r+ DEuuu r+FEuuu r=0 C.DEuuu r+DAuuu r=EBuuu r D.DAuuu r+DEuuu r=FDuuu r 5.下列结论中，正确结论的个数为( ) 如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a+b 的方向必与 a，b 之一的方向相同；在ABC 中，必有ABuuu r+BCuuu r+CAuur=0；若ABuuu r+BCuuu r+CA
4、uur=0，则 A，B，C 为一个三角形的三个顶点；若 a，b 均为非零向量，则 a+b 的长度与 a 的长度加 b 的长度的和一定相等. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.(多选题)向量 a、b 均为非零向量，下列说法中正确的是( ) A.向量 a 与 b 反向，且|a|b|，则向量 a+b 与 a 的方向相同 B.向量 a 与 b 反向，且|a|b|，则向量 a+b 与 a 的方向相同 C.向量 a 与 b 同向，则向量 a+b 与 a 的方向相同 D.向量 a 与 b 同向，则向量 a+b 与 b 的方向相同 二、填空题 7.化简(ABuuu r+MBuuu r)+(B
5、Ouuu r+BCuuu r)+OMuuuu r=_. 【补偿训练】 若 M 为ABC 的重心，则下列各向量中与ABuuu r共线的是( ) A.ABuuu r+BCuuu r+ACuuu r B.AMuuuu r+MBuuu r+BCuuu r C.AMuuuu r+BMuuuu r+CMuuuu r D.3AMuuuu r+ACuuu r 8.若 a 表示“向东走 8 km”， b 表示“向北走 8 km”， 则|a+b|=_， a+b 的方向是_. 【补偿训练】 当非零向量 a，b 满足_时，a+b 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内角. 三、解答题 9.如图所示，已知矩形 AB
6、CD 中，|ADuuu r|=43，设ABuuu r=a，BCuuu r=b，BDuuu r=c，试求|a+b+c|的大小. 【补偿训练】 如图，已知 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，AC，AB 的中点. 求证：ADuuu r+BEuuu r+CFuuu r=0. 10.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向. 参考答案 一、选择题 1.【答案】A 【解析】依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与 a+b+c 相等. 2. 【答案】B 【解析】如图，易知 tan =，所以
7、=30 .故 a+b 的方向是北偏东 30 .又|a+b|=2 km， 故选 B. 【补偿训练】 【答案】B 【解析】因为ABuuu r+ADuuu r=ACuuu r， 所以ABuuu r+ADuuu r+ACuuu r的长度为ACuuu r的模的 2 倍. 又|ACuuu r|=2242=25， 所以向量ABuuu r+ADuuu r+ACuuu r的长度为 45. 3.【答案】D 【解析】如图PAuu u r+PBuuu r=PCuuu r，则 P 在ABC 的外部. 4.【答案】C 【解析】因为AOuuu r+ODuuu r=ADuuu r，ACuuu r+CDuuu r=ADuuu
8、r， 所以AOuuu r+ODuuu r=ACuuu r+CDuuu r. 【补偿训练】 【答案】A 【解析】FDuuu r+DAuuu r=FAuu u r. FDuuu r+DEuuu r+FEuuu r=FEuuu r+FEuuu r=ABuuu r，故 B 错； DEuuu r+DAuuu r=DFuuu r=BEuuu r，故 C，D 错. 5. 【答案】B 【解析】当 a+b=0 时，知不正确；由向量加法的三角形法则知正确；当 A，B，C 三点共线时知不正确；当向量 a 与向量 b 方向不相同时|a+b|a|+|b|，故不正确. 6.【答案】ACD 【解析】当 a 与 b 反向，且
9、|a|b|时，向量 a+b 与 b 的方向相同，只有 B 错误.ACD 都正确. 二、填空题 7.【答案】ACuuu r 【解析】原式=(ABuuu r+BOuuu r)+(OMuuuu r+MBuuu r)+BCuuu r=AOuuu r+OBuuu r+BCuuu r=ABuuu r+BCuuu r=ACuuu r. 【补偿训练】 【答案】C 【解析】由三角形重心性质得AMuuuu r+BMuuuu r+CMuuuu r=0. 8.【答案】82km 东北方向 【解析】如图所示，作OAuuu r=a，ABuuu r=b， 则 a+b=OAuu u r+ABuuu r=OBuuu r. 所以|
10、a+b|=|OBuuu r| =2288=82(km)， 因为AOB=45 ，所以 a+b 的方向是东北方向. 【补偿训练】 【答案】|a|=|b| 【解析】当|a|=|b|时，以 a 与 b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量 a+b 平分此菱形的内角. 三、解答题 9.解：如图所示，过 D 作 AC 的平行线，交 BC 的延长线于点 E. 因为 DEAC，ADBE， 所以四边形 ADEC 为平行四边形， 所以DEuuu r=ACuuu r，CEuuu r=ADuuu r， 于是 a+b+c=ABuuu r+ BCuuu r+BDuuu r=ACuuu r+BDuuu r= DEuu
11、u r+BDuuu r=BEuuu r=ADuuu r+ADuuu r， 所以|a+b+c|=|ADuuu r+ADuuu r|=83. 【补偿训练】 证明：由题意知：ADuuu r=ACuuu r+CDuuu r，BEuuu r=BCuuu r+CEuuu r，CFuuu r=CBuuu r+BFuuu r. 由平面几何可知，EFuuu r=CDuuu r，BFuuu r=FAuu u r. 所以ADuuu r+BEuuu r+CFuuu r=(ACuuu r+CDuuu r)+(BCuuu r+CEuuu r)+(CBuuu r+BFuuu r) =(ACuuu r+CDuuu r+BFu
12、uu r)+(BCuuu r+CBuuu r) =(AEuuu r+ECuuu r+CDuuu r+CEuuu r+BFuuu r)+0 =AEuuu r+CDuuu r+BFuuu r=AEuuu r+EFuuu r+FAuu u r=0， 所以ADuuu r+BEuuu r+CFuuu r=0. 10.解：如图，用OAuuu r表示雨滴下落的速度，OBuuu r表示风使雨滴水平向东的速度. 以OAuu u r，OBuuu r为邻边作平行四边形 OACB，OCuuu r就是雨滴下落的实际速度. 在 RtOAC 中，|OAuuu r|=4，|ACuuu r|=， 所以22| |OCOAACuuu ruuu ruuu r=， 所以 tanAOC=|ACOAuuu ruuu r=， 所以AOC=30 .故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成 30 角向东.
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