1、6.16.1 平面向量的概念平面向量的概念 6 6. .1.11.1 向量的实际背景与概念向量的实际背景与概念 6 6. .1.21.2 向量的几何表示向量的几何表示 6 6. .1.31.3 相等向量与共线向量相等向量与共线向量 基础达标 一、选择题 1.下列说法错误的是( ) A.若 a0，则|a|0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 解析 零向量的长度为 0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的. 答案 B 2.下列结论中，正确的是( ) A.2 020 cm 长的有向线段不可能表示单位向量 B.若 O 是直线 l 上的一点，单位
2、长度已选定，则 l 上有且仅有两个点 A，B，使得OA，OB是单位向量 C.方向为北偏西 50 的向量与南偏东 50 的向量不可能是平行向量 D.一人从 A 点向东走 500 米到达 B 点，则向量AB不能表示这个人从 A 点到 B 点的位移 解析 一个单位长度取作 2 020 cm 时， 2 020 cm 长的有向线段就表示单位向量，故 A 错误，B 正确；C 中两向量为平行向量，故 C 错误；D 中AB表示从点 A 到点 B 的位移，故 D 错误. 答案 B 3.在ABC 中，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则( ) A.AB与AC共线 B.DE与CB共线 C.AD与AE相等
3、 D.AD与BD相等 解析 如图所示，因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，由三角形的中位线定理可得 DEBC.所以DE与CB共线. 答案 B 4.如图，在四边形 ABCD 中，若ABDC，则图中相等的向量是( ) A.AD与CB B.OB与OD C.AC与BD D.AO与OC 解析 ABDC，四边形 ABCD 是平行四边形，则 AOOC，即AOOC. 答案 D 5.如图，在菱形 ABCD 中，BAD120 ，则以下说法错误的是( ) A.与AB相等的向量只有 1 个(不含AB) B.与AB的模相等的向量有 9 个(不含AB) C.BD的模恰为DA的模的 3倍 D.CB与DA不共线 解析
4、由于ABDC，因此与AB相等的向量只有DC，而与AB的模相等的向量有DA，DC，AC，CB，AD，CD，CA，BC，BA，因此选项 A，B 正确.而 RtAOD中， ADO30 ， |DO|32|DA|， 故|DB| 3|DA|， 因此选项 C 正确.由于CBDA，因此CB与DA是共线的，故选 D. 答案 D 二、填空题 6.已知四边形 ABCD 是矩形， 设点集 MA， B， C， D， 集合 TPQ|P， QM，且 P，Q 不重合，用列举法表示集合 T_. 解析 从A， B， C， D四个点中任选两点为起点和终点组成的向量中， ABDC，BACD，ADBC，DACB，故 TAC，CA，BD
5、，DB，AB，BA，DA，AD. 答案 AC，CA，BD，DB，AB，BA，DA，AD 7.给出以下 5 个条件： ab；|a|b|；a 与 b 的方向相反；|a|0 或|b|0；a 与 b 都是单位向量.其中能使 ab 成立的是_(填序号). 解析 相等向量一定是共线向量，能使 ab；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使 ab；零向量与任一向量平行，成立. 答案 8.在四边形 ABCD 中，若ABDC且|AB|AD|，则四边形的形状为_. 解析 ABDC，ABDC，ABDC， 四边形 ABCD 是平行四边形， |AB|AD|，四边形 ABCD 是菱形. 答案 菱形 三、解答题 9.如图所
6、示，ABC 的三边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点. (1)写出与EF共线的向量； (2)写出与EF的模大小相等的向量； (3)写出与EF相等的向量. 解 (1)因为 E，F 分别是 AC，AB 的中点， 所以 EF 綉12BC.所以与EF共线的向量有： FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB. (2)由(1)知 EF 綉12BC，又 D 是 BC 的中点， 故与EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD. (3)与EF相等的向量有：DB与CD. 10.中国象棋中规定： 马走“日”字， 如图是中国象棋的半个棋盘， 若马在 A 处，可跳到 A1处，也可跳到 A2处，
7、用向量AA1与AA2表示马走了“一步”，试在图中画出马在 B，C 处走了“一步”的所有情况. 解 根据规则，画出符合要求的所有向量，马在 B 处走了“一步”的情况如图所示， 马在 C 处走了“一步”的情况如图所示. 能力提升 11.已知在四边形 ABCD 中，BCAD且|AB|BD|BC|2，则该四边形内切圆的面积是_. 解析 由BCAD知四边形 ABCD 为平行四边形.由|AB|BD|BC|知四边形ABCD 为菱形，ABD 为等边三角形，故ABC120 ，菱形的内切圆圆心 O 在对角线 BD 的中点处，令其半径为 r，则 r12|BD|sin 60 32，所以 S圆r232234. 答案 3
8、4 12.如图所示的方格纸是由若干个边长为 1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点 A，B，点 C 为小正方形的顶点，且|AC| 5. (1)画出所有满足条件的向量AC； (2)求|BC|的最大值与最小值. 解 (1)画出所有满足条件的向量AC，即ACi(i1，2，8)，如图所示. (2)由(1)所画的图知， 当点 C 位于点 C1或 C2的位置时，|BC|取得最小值 1222 5；当点 C 位于点C5或 C6的位置时，|BC|取得最大值 4252 41， 故|BC|的最大值为 41，最小值为 5. 创新猜想 13.(多选题)如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱
9、形，则下列结论中一定成立的是( ) A.|AB|EF| B.AB与FH共线 C.BD与EH共线 D.CDFG 解析 由向量相等及共线的概念，结合图形可知 C 不一定正确. 答案 ABD 14.(多选题)给出下列说法正确的是( ) A.若ABDC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点 B.在平行四边形 ABCD 中，一定有ABDC C.若 ab，bc，则 ac D.ab 的充要条件是|a|b|且 ab 解析 ABDC，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故 A 不正确.在平行四边形 ABCD 中，|AB|DC|，AB与DC平行且方向相同，所以ABDC，故 B 正确.若 ab， 则|a|b|， 且 a 与 b 方向相同； 若 bc， 则|b|c|， 且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，所以 ac，故 C 正确.对于 D，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故 D 不正确. 答案 BC
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