1、6.2.4 向量的数量积向量的数量积 第一课时第一课时 向量的数量积向量的数量积(一一) 基础达标 一、选择题 1.已知ABCD 中,DAB60 ,则AD与CD的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解析 如图,AD与CD的夹角为ABC120 . 答案 C 2.若|m|4,|n|6,m 与 n 的夹角 为 45 ,则 m n( ) A.12 B.12 2 C.12 2 D.12 解析 m n|m|n|cos 462212 2. 答案 B 3.已知|a|6,|b|3,a b12,与 b 同向的单位向量为 e,则向量 a 在向量 b方向上的投影向量是( ) A.4e B.4e
2、C.2e D.2e 解析 根据投影向量的定义,设 a,b 的夹角为 ,可得向量 a 在 b 方向上的投影向量是|a|cos ea b|b|e4e,故选 A. 答案 A 4.已知 a,b 的夹角为锐角,|b|3,a 在 b 方向上的投影向量的模为32,则 a b 的值为( ) A.3 B.92 C.2 D.12 解析 设 a 与 b 的夹角为 ,则|a|cos 32, a b|a|b|cos 33292. 答案 B 5.已知平面上三点 A,B,C,满足|AB|3,|BC|4,|CA|5,则AB BCBC CACA AB的值等于( ) A.7 B.7 C.25 D.25 解析 由条件知ABC90
3、,cos C45,cos A35, 所以原式045cos(180 C)53cos(180 A) 20cos C15cos A2045153516925. 答案 D 二、填空题 6.在等腰 RtABC 中,A90 ,则向量AB与BC的夹角为_. 答案 135 7.若|a|b|ab|r(r0),则 a 与 b 的夹角为_. 解析 作OAa,OBb,则BAab,AOB 为 a 与 b 的夹角,由|a|b|ab|知AOB 为等边三角形,则AOB60 . 答案 60 8.已知非零向量 a, b, c 满足 abc0, 向量 a, b 的夹角为 120 , 且|b|2|a|,则向量 a 与 c 的夹角为
4、_. 解析 由题意可画出图形,在OAB 中, 因为OAB60 ,|b|2|a|, 所以ABO30 ,OAOB, 即向量 a 与 c 的夹角为 90 . 答案 90 三、解答题 9.已知向量 a,b 的夹角为 30 ,且|a| 3,|b|2,求向量 pab 与 qab的夹角 的余弦值. 解 如图, 作OAa, OBb, AOB30 .以OA, OB为邻边作平行四边形OACB,连接 OC,AB 交于点 D,则OCpab,BAqab,ADC.在ABO中,由已知条件可得,AB1,BAO2,则 BD12.在BCD 中,由 BC|a| 3,得 CD132,所以 cos BDC1313,所以 cos cos
5、(180 BDC)1313. 10.如图,在OAB 中,P 为线段 AB 上一点,则OPxOAyOB(x,yR). (1)若APPB,求 x,y 的值; (2)若AP3PB,|OA|4,|OB|2,且OA与OB的夹角为 60 ,求OP AB的值. 解 (1)若APPB,则OP12OA12OB,故 xy12. (2)因为|OA|4,|OB|2,BOA60 , 所以OBA90 ,所以|AB|2 3. 又因为AP3PB,所以|PB|32. 所以|OP|22322192,cos OPB5719. 所以OP与AB的夹角 的余弦值为5719. 所以OP AB|OP|AB|cos 3. 能力提升 11.已知
6、 a b9,e1,e2分别是与 a,b 方向相同的单位向量,a 在 b 上的投影向量为3e2,b 在 a 上的投影向量为32e1,则 a 与 b 的夹角 _. 解析 由题意,得|a|cos 3,|b|cos 32,a b9.解得|a|6,|b|3, cos a b|a|b|96312.0 180 ,120 . 答案 120 12.如图,已知ABC 是等边三角形. (1)求向量AB与向量BC的夹角; (2)若 E 为 BC 的中点,求向量AE与EC的夹角. 解 (1)ABC 为等边三角形, ABC60 . 如图,延长 AB 至点 D,使 BDAB,则ABBD, DBC 为向量AB与BC的夹角.
7、DBC120 , 向量AB与BC的夹角为 120 . (2)E 为 BC 的中点, AEBC,AE与EC的夹角为 90 . 创新猜想 13.(多选题)已知向量 a,b 和实数 ,下列选项中正确的是( ) A.|a|2a2 B.|a b|a|b| C.(ab)ab D.|a b|a|b| 解析 选项 B 中,|a b|a|b|cos |,其中 为 a 与 b 的夹角. 答案 ACD 14.(多空题)已知在ABC 中,ABAC4,AB AC8,则ABC 的形状是_,AB BC_. 解析 AB AC|AB|AC|cos BAC, 即 844cos BAC,于是 cos BAC12, 因为 0 BAC180 , 所以BAC60 . 又 ABAC, 故ABC 是等边三角形. 此时AB BC|AB|BC|cos 120 8. 答案 等边三角形 8