1、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 A 组 基础巩固练 一、选择题 1已知平面向量 a(1，m)，b(2,5)，c(m,0)，且(ac)(ab)，则 m( ) A3 10 B3 10 C3 10 D3 10 2a(4,3)，b(5,6)，则 3|a|24a b 等于( ) A23 B57 C63 D83 3设向量 a 与 b 的夹角为 ，a(2,1)，a3b(5,4)，则 sin 等于( ) A1010 B13 C3 1010 D45 4已知向量 a(1，1)，b(1,2)，向量 c 满足(cb)a，(ca)b，则 c 等于( ) A(2,1) B(1,0) C32，
2、12 D(0，1) 5 已知 O 为坐标原点， 向量OA(2,2)， OB(4,1)， 在 x 轴上有一点 P 使得AP BP有最小值，则点 P 的坐标是( ) A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0) 二、填空题 6已知向量 a(1，x)，b(x2，x)，若|ab|ab|，则 x_. 7已知 a(1,2)，b(3,2)，若 kab 与 a3b 垂直，则 k 的值为_ 8如图，在 2 4 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 a，b，则向量 ab，ab 的夹角余弦值是_ 三、解答题 9已知向量 a，b 满足|a| 5，b(1，3)，且(2ab)b. (1)求向量 a 的坐标；
3、(2)求向量 a 与 b 的夹角 10在ABC 中，AB(2,3)，AC(1，k)，若ABC 是直角三角形，求 k 的值 B 组 素养提升练 11(多选题)已知 a(1,0)，|b|1，c(0，1)，满足 3akb7c0，则实数 k 的值可能为( ) A 58 B 58 C58 D58 12(多选题)已知ABC 是边长为 2a(a0)的等边三角形，P 为ABC 所在平面内一点，则PA (PBPC)的值可能是( ) A2a2 B32a2 C43a2 Da2 13(一题两空)已知平面向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，a b6，则向量a 与 b 的夹角为_，x1y1x2
4、y2的值为_ 14已知在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90 ，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_ C 组 思维提升练 15已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4) (1)求证：ABAD； (2)要使四边形ABCD为矩形， 求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值 参考答案 A 组 基础巩固练 一、选择题 1 【答案】C 【解析】a(1，m)，b(2,5)，c(m,0)，ac(1m，m)，ab(1，m5)， (ac)(ab)，1mm(m5)m26m10，解得：m3 10. 2 【答案】D 【解析】因为|a|2(4)23225
5、， a b(4) 53 62， 所以 3|a|24a b3 254 (2)83. 3 【答案】A 【解析】设 b(x，y)，则 a3b(23x,13y)(5,4)， 所以 23x5，13y4，解得 x1，y1， 即 b(1,1)， 所以 cos a b|a|b|310， 所以 sin 1cos21010. 4 【答案】A 【解析】设向量 c(x，y)，则 cb(x1，y2)，ca(x1，y1)， 因为(cb)a，所以(cb) ax1(y2)xy10， 因为(ca)b，所以x11y12，即 2xy30. 由 xy10，2xy30，解得 x2，y1，所以 c(2,1) 5 【答案】C 【解析】设点
6、 P 的坐标为(x,0)，则AP(x2，2)，BP(x4，1) AP BP(x2)(x4)(2) (1) x26x10(x3)21， 所以当 x3 时，AP BP有最小值 1. 此时点 P 的坐标为(3,0) 二、填空题 6 【答案】1 或 2 【解析】已知向量 a(1，x)，b(x2，x)，因为|ab|ab|，两边平方得到 a b0，根据向量的坐标运算公式得 x2x20，解得 x1 或 2. 7 【答案】19 【解析】kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4) 又 kab 与 a3b 垂直，故(kab) (a3b)0， 即(k3) 10(2k2)
7、 (4)0，得 k19. 8 【答案】4 6565 【解析】不妨设每个小正方形的边长为 1，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 a(2，1)，b(3,2)， 所以 ab(5,1)，ab(1，3)， 所以(ab) (ab)538， |ab| 26，|ab| 10， 所以向量 ab，ab 的夹角余弦值为826 104 6565. 三、解答题 9解：(1)设 a(x，y)， 因为|a| 5，则 x2y2 5， 又因为 b(1，3)，且(2ab)b， 2ab2(x，y)(1，3)(2x1,2y3)， 所以(2x1,2y3) (1，3)2x1(2y3) (3)0，即 x3y50， 由解得 x1，y2或
8、x2，y1， 所以 a(1,2)或 a(2,1) (2)设向量 a 与 b 的夹角为 ， 所以 cos a b|a|b|(1，2) (1，3)122 1(3)222， 或 cos a b|a|b|(2，1) (1，3)122 1(3)222， 因为 0，所以向量 a 与 b 的夹角 34. 10解：AB(2,3)，AC(1，k)， BCACAB(1，k3) 若A90 ， 则AB AC2 13 k0， k23； 若B90 ，则AB BC2 (1)3(k3)0， k113； 若C90 ，则AC BC1 (1)k(k3)0， k3 132. 综上，k 的值为23或113或3 132. B 组 素养提
9、升练 11 【答案】AB 【解析】由题可得，kb3a7c3 (1,0)7 (0，1)(3,7)， |kb|k| |b| (3)249 58. |b|1，k 58. 12 【答案】BCD 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系 设 P(x，y)，又 A(0， 3a)，B(a,0)，C(a,0)， 则PA(x， 3ay)，PB(ax，y)，PC(ax，y) 所以PA (PBPC) (x， 3ay) (ax，y)(ax，y) (x， 3ay) (2x，2y) 2x22y22 3ay 2x22y32a232a232a2. 故选 BCD 13 【答案】180 23 【解析】设 a，b 的夹角为 ，则 a
10、b|a|b| cos 6，cos 1，180 . 即 a，b 共线且反向，a23b， x123x2，y123y2，x1y1x2y223. 14 【答案】5 【解析】如图，以 D 为原点，DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系， 设 DCa，DPx，则 A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0 xa)， 则PA3PB(2，x)3(1，ax)(5,3a4x)， 所以|PA3PB|25(3a4x)25. C 组 思维提升练 15(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)， AB(1,1)，AD(3,3)， 又AB AD1 (3)1 30， ABAD，即 ABAD (2)解：ABAD，四边形 ABCD 为矩形， ABDC. 设 C 点坐标为(x，y)，则AB(1,1)，DC(x1，y4)， x11，y41，得 x0，y5. C 点坐标为(0,5) 由于AC(2,4)，BD(4,2)， 所以AC BD88160， |AC|2 5，|BD|2 5. 设AC与BD夹角为 ，则 cos AC BD|AC| |BD|1620450， 矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.
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