1、6 6. .4 4 平面向量的应用平面向量的应用 6 6. .4.14.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 6 6. .4.24.2 向量在物理中向量在物理中的应用举例的应用举例 基础达标 一、选择题 1.在ABC 中， 设AC2AB22AM BC， 那么动点 M 的轨迹必通过ABC 的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析 设 BC 的中点是 O，则AC2AB2(ACAB) (ACAB)2AO BC2AM BC，即(AOAM) BCMO BC0，所以MOBC，所以动点 M 在线段 BC的中垂线上，所以动点 M 的轨迹必通过ABC 的外心，选 C. 答案 C 2.在边长
2、为 1 的菱形 ABCD 中， BAD60 ， E 是 BC 的中点， 则AC AE( ) A.3 33 B.92 C. 3 D.94 解析 建立如图平面直角坐标系，则 A32，0 ，C32，0 ，B0，12. E 点坐标为34，14， AC( 3，0)，AE3 34，14， AC AE 33 3494. 答案 D 3.质点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 (4，3)(即点 P 的运动方向与 相同，且每秒移动的距离为|个单位).设开始时点 P 的坐标为(10，10)，则 5秒后点 P 的坐标为( ) A.(2，4) B.(30，25) C.(10，5) D.(5，10) 解析 设(10，
3、10)为 A，5 秒后 P 点的坐标为 A1(x，y)， 则AA1(x10，y10)， 由题意有AA15. 即(x10，y10)(20，15) 所以x1020，y1015，解得x10，y5. 答案 C 4.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，点 E 为 AB 的中点，且DEAC，则|DE|等于( ) A.52 B.2 3 C.3 D.2 2 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系. 设|AD|a(a0)，则 A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)， 所以DE(2，a)，AC(4，a). 因为DEAC，所以DE
4、AC0， 所以 24(a) a0，即 a28. 所以 a2 2，所以DE(2，2 2)， 所以|DE|22（2 2）22 3. 答案 B 5.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OBOB OCOC OA，则点O 是ABC 的( ) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高线的交点 解析 OA OBOB OC， (OAOC) OB0.OB CA0. OBAC.同理 OABC，OCAB， O 为三条高线的交点. 答案 D 二、填空题 6.飞机以大小为 300 km/h 的速度 v 斜向上飞行，方向与水平面成 30 角，若将速度沿水
5、平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度 v1的大小是_ km/h. 解析 如图所示， |v1|v|cos 30 30032150 3(km/h). 答案 150 3 7.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)和点 B(3，4)，若点 C 在AOB 的平分线上且|OC|2，则OC_. 解析 因为|OB|5，点 A(0，1)在 y 轴上， 所以可取点 D(0，5)，则点 C 在BOD 的平分线上， 且|OB|OD|，所以OC与向量OBOD同向， OBOD(3，4)(0，5)(3，9)， 设OC(OBOD)(3，9)(0). 又|OC|2，所以 1015， 所以OC105，3 105.
6、答案 105，3 105 8.已知在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(AEAF) BD_. 解析 如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y轴建立平面直角坐标系， 则 A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1). E，F 分别为 BC，CD 的中点，E2，12，F(1，1)， AEAF3，32，BD(2，1)， (AEAF) BD3(2)32192. 答案 92 三、解答题 9.已知 A(1，2)，B(0，2)，且 2|AD|3|BD|，若点 D 在线段 AB 上，求点 D的坐标. 解 设 D(x，
7、y)，由题意知，2|AD|3|BD|， 且点 D 在线段 AB 上，所以 2AD3DB， 即 2(x1，y2)3(x，2y). 所以2x23x，2y463y，解得x25，y25. 故 D 点坐标为25，25. 10.已知两恒力 F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点 A(20，15)移动到点 B(7，0). (1)求 F1，F2分别对质点所做的功； (2)求 F1，F2的合力 F 对质点所做的功. 解 (1)AB(7，0)(20，15)(13，15)， W1F1 AB(3，4) (13，15)3(13)4(15)99， W2F2 AB(6，5) (13，15)6(13)(5)(
8、15)3. 力 F1，F2对质点所做的功分别为99 和3. (2)WF AB(F1F2) AB(3，4)(6，5) (13，15) (9，1) (13，15)9(13)(1)(15) 11715102. 合力 F 对质点所做的功为102. 能力提升 11.河水的流速大小为 2 m/s， 一艘小船以大小为 10 m/s 的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为_ m/s. 解析 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v， 则 vv1v2，|v1|2 m/s，|v|10 m/s. 所以|v2|vv1|v22v v1v21 10004 1042 26(m/
9、s). 答案 2 26 12.已知正方形 ABCD 中， E， F 分别是 CD， AD 的中点， BE， CF 交于点 P.求证：APAB. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2， 则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1).设点 P 坐标为(x，y)， 则FP(x，y1)，FC(2，1)， FPFC，x2(y1)，即 x2y2， 同理，由BPBE，得 y2x4， 由x2y2，y2x4，得x65，y85，点 P 的坐标为65，85. |AP|6528522|AB|，即 APAB. 创新猜想 13.(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船
10、在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( ) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 解析 设水的阻力为 f，绳的拉力为 F，F 与水平方向夹角为 (02). 则|F|cos |f|，|F|f|cos . 增大，cos 减小，|F|增大. |F|sin 增大，船的浮力减小. 答案 AC 14.(多空题)在四边形 ABCD 中，若AC(1，2)，BD(4，2)，则向量AC与BD的夹角为_，四边形 ABCD 的面积为_. 解析 由AC BD1(4)220 知ACBD，故向量AC与BD的夹角为2. 又|AC| 5，|BD|（4）2222 5， S12|AC|BD|12 52 55. 答案 2 5
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