1、6.4.3 第第 1 课时课时 余弦定理余弦定理 A 组 素养自测 一、选择题 1在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120 ，则 AC( ) A1 B2 C3 D4 2如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A518 B34 C32 D78 3(多选)在ABC 中，已知 A30 ，且 3a 3b12，则 c 的值为( ) A4 B8 C4 或 6 D无解 4在ABC 中，若 abc，且 c2a2b2，则ABC 为( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不存在 5 ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c， 已知 bc， a
2、22b2(1sinA)， 则 A( ) A34 B3 C4 D6 二、填空题 6在ABC 中，若 a 31，b 31，c 10，则ABC 的最大角的度数为_. 7在ABC 中，B45 ，AC 10，AB2，则 BC_. 8在ABC 中，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，b 2，c1 3，且 a2b2c22bcsinA，则边 a_. 三、解答题 9在ABC 中，已知 a2 6，b62 3，c4 3，求角 A、B、C. 10在ABC 中，basin C，cacos B，试判断ABC 的形状. B 组 素养提升 一、选择题 1在ABC 中，已知 AB3，BC 13，AC4，则边 AC 上的高为(
3、 ) A3 22 B3 32 C32 D3 3 2在ABC 中，已知 AB3，AC2，BC 10，则AB AC等于( ) A32 B23 C23 D32 3锐角ABC 中，b1，c2，则 a 的取值范围是( ) A1a3 B1a5 C 3a 5 D不确定 4在ABC 中，cosC255，BC1，AC5，则 AB( ) A4 2 B 30 C 29 D2 5 二、填空题 5ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，设向量 p(ac，b)，q(ba，ca)，若 pq，则 C 的大小为_. 6在ABC 中，若 a2，bc7，cos B14，则 b_. 三、解答题 7在ABC 中，已
4、知 BC7，AC8，AB9，试求 AC 边上的中线长. 8已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(abc)(bca)3bc. (1)求角 A 的大小； (2)若 bc2a2 3，试判断ABC 的形状. 参考答案 A 组 素养自测 一、选择题 1 【答案】A 【解析】设ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则 a3，c 13，C120 ，由余弦定理，得 139b23b，解得 b1，即 AC1 2 【答案】D 【解析】设等腰三角形的底边边长为 x，则两腰长为 2x(如图)， 由余弦定理得 cosA4x24x2x22 2x 2x78，故选 D 3 【答案】A
5、B 【解析】由 3a 3b12，得 a4，b4 3， 利用余弦定理可得 a2b2c22bccos A， 即 1648c212c，解得 c4 或 c8 4 【答案】B 【解析】c2a2b2，C 为锐角. abc，C 为最大角，ABC 为锐角三角形. 5 【答案】C 【解析】 由余弦定理得 a2b2c22bccosA2b22b2cosA，所以 2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以 sinAcosA，即 tanA1，又 0Aab，知角 C 为最大角，则 cosCa2b2c22ab12，C120 ，即此三角形的最大角为 120 . 7 【答案】3 2 【解析】由余弦定理得 AC2BC2AB2
6、2BC ABcosB，又因为 B45 ，AC 10，AB2，所以( 10)2BC2222BC2cos45 ， 整理，得 BC22 2BC60， 所以(BC3 2)(BC 2)0， 解得 BC3 2或 BC 2(舍去)， 所以 BC 边的长为 3 2. 8 【答案】2 【解析】由已知及余弦定理，得 sinAb2c2a22bccosA， A45 ，a2b2c22bccos45 4，a2 三、解答题 9解：在ABC 中，由余弦定理，得 cosCa2b2c22ab2 6262 324 3222 662 3 24 3124 2 3122. C45 ；同理 A30 . B180 (AC)180 (30 4
7、5 )105 . 10解：由余弦定理知 cos Ba2c2b22ac， 代入 cacos B，得 caa2c2b22ac， c2b2a2 ABC 是以 A 为直角的直角三角形. 又basin C，baca.bc. ABC 也是等腰三角形. 综上所述，ABC 是等腰直角三角形. B 组 素养提升 一、选择题 1 【答案】B 【解析】如图，在ABC 中，BD 为 AC 边上的高，且 AB3，BC 13，AC4 cosA3242 13223412， sinA32. 故 BDAB sinA3323 32. 2 【答案】D 【解析】AB AC|AB| |AC| cosAB，AC ， 由向量模的定义和余弦
8、定理可以得出|AB|3，|AC|2， cosAB，ACAB2AC2BC22AB AC14. 故AB AC321432. 3 【答案】C 【解析】若 a 是最大边，则 cos A0， b2c2a22bc0，由 b1，c2，可解得 a0， a2b2c22ab0，解得 a 3. a 的取值范围是 3a 5，故选 C 4 【答案】A 【解析】cosC2cos2C212552135，在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2CA2CB22CA CB cosC， 所以 AB21252153532， 所以 AB4 2. 二、填空题 5 【答案】3 【解析】p(ac，b)，q(ba，ca)，pq， (ac)(ca
9、)b(ba)0， 即 a2b2c2ab. 由余弦定理，得 cosCa2b2c22abab2ab12， 0C，C3. 6 【答案】4 【解析】因为 bc7，所以 c7b. 由余弦定理得： b2a2c22accos B， 即 b24(7b)222(7b)(14)， 解得 b4 三、解答题 7解：由余弦定理的推论，得 cosAAB2AC2BC22ABAC92827229823， 设中线长为 x，由余弦定理知： x2(AC2)2AB22AC2ABcosA42922492349，则 x7 所以，所求中线长为 7 8解：(1)(abc)(bca)3bc， a2b2c2bc， 而 a2b2c22bccos A，2cos A1，cos A12. A(0，)，A3. (2)在ABC 中，a2b2c22bccos A，且 a 3， ( 3)2b2c22bc12b2c2bc. 又bc2 3，与联立，解得 bc3， bc2 3，bc3，bc 3， 于是 abc 3，即ABC 为等边三角形.
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