1、第三课时第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例 基础达标 一、选择题 1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10 B.北偏西 10 C.南偏东 80 D.南偏西 80 解析 由条件及题图可知，AB40 ，又BCD60 ，所以CBD30 ，所以DBA10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 答案 D 2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m 高的旗杆，甲观测的仰角为50 ，乙观测的仰角为 40 ，用
2、d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( ) A.d1d2 B.d120 m D.d2tan 40 可知，d1d2. 答案 B 3.一艘船以 4 km/h 的速度，沿与水流方向成 120 的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为( ) A.2 15 km B.6 km C.2 21 km D.8 km 解析 如图所示，在ACD 中，AC2 3，CD4 3，ACD60 ， 由余弦定理，得 AD2AC2CD22AC CDcos ACD124822 34 31236. 解得 AD6，即该船实际航程为 6 km. 答案 B 4.从高出海平面 h 米的小岛看正东
3、方向有一只船俯角为 30 ，看正南方向一只船俯角为 45 ，则此时两船间的距离为( ) A.2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D.2 2h 米 解析 如图所示，BC 3h，ACh， AB 3h2h22h. 答案 A 5.如图所示， 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15 ，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45 ，若 CD50 m，山坡对于地平面的坡度为 ，则 cos 等于( ) A.32 B.22 C. 31 D. 21 解析 在ABC 中，由正弦定理得ABsin 30ACsin 135，AC100 2.
4、 在ADC 中，ACsin（90 ）CDsin 15， cos sin(90 )AC sin 15CD 31. 答案 C 二、填空题 6.一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是 30 和 45 ，则这个海岛的宽度为_ m.(精确到 0.1 m) 解析 宽8 000tan 308 000tan 455 856.4(m). 答案 5 856.4 7.一船以 22 6 km/h 的速度向正北航行，在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45 ，1小时 30 分后航行到 B 处，在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15 ，则灯塔 S 与 B 之间的距离为_ k
5、m. 解析 如图，ASB180 15 45 120 ，AB22 63233 6(km)， 由正弦定理，得33 6sin 120SBsin 45，SB66(km). 答案 66 8.一角槽的横断面如图所示，四边形 ABED 是矩形，已知DAC50 ，CBE70 ，AC90，BC150，则 DE_. 解析 由题意知ACB120 ，在ACB 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22AC BC cos ACB90215022901501244 100. AB210，DE210. 答案 210 三、解答题 9.如图所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角分别为 30 ，45 ，60 ，
6、且 ABBC60 m，求建筑物的高度. 解 设建筑物的高度为 h m，由题图知，PA2h，PB 2h，PC2 33h， 在PBA 和PBC 中，分别由余弦定理，得 cos PBA6022h24h2260 2h， cos PBC6022h243h2260 2h. PBAPBC180 ，cos PBAcos PBC0. 由，解得 h30 6或 h30 6(舍去)， 即建筑物的高度为 30 6 m. 10.某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 的方向，由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40 ， 在 C 处测得公路上 B 处有一人， 距 C 为 31 km， 正沿公路向 A 城走去，走了 20
7、 km 后到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 km，问：这人还要走多少千米才能到达 A 城？ 解 如图，令ACD，CDB， 在CBD 中，由余弦定理得 cos BD2CD2CB22BD CD2022123122202117， sin 4 37. 又 sin sin(60 )sin cos 60 sin 60 cos 4 371232175 314. 在ACD 中，由正弦定理，得21sin 60ADsin ， AD21sin sin 6015(km). 故这个人再走 15 km 才能到达 A 城. 能力提升 11.如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两
8、座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ，30 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ，AC0.1 km.若 ABBD，则 B，D 间距离为_ km. 解析 在ABC 中，BCA60 ，ABC75 60 15 ，AC0.1 km， 在ABC 中，由正弦定理，得ABsin BCAACsin ABC， 所以 AB0.1sin 60sin 153 2 620(km)， 又因为 BDAB，所以 BD3 2 620 km. 答案 3 2 620 12.如图，游客从景点 A 下山至 C 有两种路径：一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 乘缆
9、车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A下山.甲沿AC匀速步行， 速度为50 m/min.在甲出发2 min后， 乙从A乘缆车到B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.已知缆车从 A 到 B 要 8 min，AC 长为 1 260 m，若 cos A1213，sin B6365.为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，求乙步行的速度 v(m/min)的取值范围. 解 在ABC 中，cos A1213，sin B6365， sin A 1cos2A112132513. 由正弦定理，得 BCAC sin Asin B1 26051363
10、65500(m)， 乙从 B 出发时，甲已经走了 50(281)550(m)， 甲还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min， 由题意得500v710503，解得1 25043v62514. 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度 v m/min 的取值范围是1 25043，62514. 创新猜想 13.(多选题)某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150 ， 然后沿新方向走了 3 km，结果离出发点恰好 3 km，则 x 的值为( ) A. 3 B.2 3 C.2 D.3 解析 如图所示，在ABC 中，ABx，BC3，AC 3，ABC30 ， 由余弦定理得，AC2AB2BC22AB BC cos ABC， 即( 3)2x2322x 3 cos 30 . x23 3x60.解得 x2 3或 x 3. 答案 AB 14.(多空题)甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30 ，则甲楼的高是_米，乙楼的高是_米. 解析 甲楼的高为 20tan 60 20 320 3(米)； 乙楼的高为 20 320tan 30 20 320334033(米). 答案 20 3 4033
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