1、专题专题 9 圆圆 一选择题（共一选择题（共 20 小题）小题） 1（2021越秀区校级三模） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 如果BOD130， 则BCD 的度数是 （ ） A115 B130 C65 D50 2（2021花都区二模） 如图， O 的半径为 5， 弦 AB8， 点 C 是 AB 的中点， 连接 OC， 则 OC 的长为 （ ） A1 B2 C3 D4 3 （2021花都区三模）如图，AB 为O 的切线，点 A 为切点，OB 交O 于点 C，点 D 在O 上，连接AD，CD，OA，若ADC25，则ABO 的度数为（ ） A35 B40 C50 D55 4 （2021南沙区
2、一模）如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 DC 延长线上一点若BCE105，则BOD 的度数是（ ） A150 B105 C75 D165 5 （2021越秀区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，C，D 分别为O 上一点，DOB64，DB，则B 等于（ ） A13 B14 C15 D16 6 （2021海珠区一模）P 与 x 轴相交于 A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相切于点 C（0，2） ，则P 的半径是（ ） A2.5 B3 C3.5 D5 7 （2021海珠区一模）正 n 边形的边长为 a，那么它的半径为（ ） A360 B180 C2180 D2360 8 （2021增
3、城区一模）如图，AB 是半圆 O 的直径，AC、BC 是弦，ODAC 于点 D，若 OD1.5，则 BC（ ） A4.5 B3 C2 D1.5 9 （2021广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为 250m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面 AB 长度为 150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ） A50m B40m C30m D25m 10 （2021天河区一模）已知O 与点 P 在同一平面内，如果O 的直径为 6，线段 OP 的长为 4，则下列说法正确的是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法判断点 P 与O 的位置关系
4、11 （2021广州模拟）如图，O 的半径为 4，直径 AB 与直径 CD 垂直，P 是上一点，连接 PC，PB 分别交 AB，CD 于 E，F，若 CE25，则 BF 的长为（ ） A4103 B17 C25 D732 12 （2021越秀区校级二模）如图，已知O 的弦 CD4，A 为O 上一动点（点 A 与点 C、D 不重合） ，连接 AO 并延长交 CD 于点 E，交O 于点 B，P 为 CD 上一点，当APB120时，则 APBP 的最大值为（ ） A4 B6 C8 D12 13 （2021广州模拟）一个正多边形的边长为 2，每个外角为 30，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（ ）
5、 Asin15 Btan15 C115 D115 14 （2021增城区一模）在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，则它的外接圆的面积为（ ） A5 B10 C25 D100 15 （2021广州模拟）如图，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，若C59，则P 的度数为（ ） A59 B62 C118 D124 16 （2021饶平县校级模拟）如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接EC若 AB8，OC3，则 EC 的长为（ ） A215 B8 C210 D213 17（2021从化区一模） 已知圆锥的高为3， 高所在的直线与母线的夹角为 3
6、0， 则圆锥的侧面积为 （ ） A B1.5 C2 D3 18 （2021荔湾区校级一模）如图，O 内切于 RtABC，点 P、点 Q 分别在直角边 BC、斜边 AB 上，PQAB，且 PQ 与O 相切，若 AC2PQ，则 tanB 的值为（ ） A12 B22 C34 D33 19 （2021越秀区模拟）如图，AC 是O 的直径，弦 ABCD，若BAC32，则AOD 等于（ ） A64 B48 C32 D76 20 （2021广州模拟）在平面直角坐标系中，半径为 6 的M 与 x 轴相切，与 y 轴相交于 A、B 两点，OAAB，则圆心 M 的坐标为（ ） A （6，6） B （4，6） C
7、 （210，6） D （42，6） 二填空题（共二填空题（共 9 小题）小题） 21 （2021花都区二模）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，将 RtABC 绕点 A 顺时针旋转 90后得到 RtAED，则边 AC 在旋转过程中所扫过的图形的面积为 22 （2021越秀区校级二模）如图，在 RtABC 中，B90，BC4，AB3以 BC 上的一点 O 为圆心，OB 为半径作O 与 AC 相切于点 E，则O 的半径为 23 （2021南沙区一模）如图，在直角坐标系中，点 A（0，6） 、B（0，2） 、C（4，6） ，则ABC 外接圆的圆心坐标为 24 （2021天河区二模）已知点 A（
8、0，3） 、B（4，0） ，原点 O 关于一次函数 ykx+b 的对称点 O恰好与AOB 的外心重合，则点 O的坐标为 ，b 的值为 25 （2021从化区一模）如图，PA、PB 分别是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径，若BAC36，则P 的度数为 26 （2021海珠区一模） 将长为 20cm 的铁丝首尾相连围成扇形， 扇形面积为 y （cm2） ， 扇形半径为 x （cm） ，且 0 x10，则 y 与 x 的函数关系式为 27（2021广州模拟） 如图， 在半径为 6 的O 中， 点 A 是劣弧的中点， 点 D 是优弧上一点， tanD=33， 下列结论： BC63； si
9、nAOB=32； 四边形 ABOC 是菱形； 劣弧的长度为 4正确的是 28 （2021饶平县校级模拟）如图，点 A，B，C 在O 上，AOB72，则ACB 等于 29 （2021广州模拟）已知直线 l：yaxa+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，O 点为坐标原点，ABO外接圆的圆心为点 C设经过 C 点的反比例函数解析式为 y=，当点 O 到直线 l 距离最大时，k 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 30 （2021越秀区校级三模）如图，O 为正ABC 的外接圆 （1）尺规作图：作ABC 的角平分线O 于点 D （2）过点 D 作O 的切线 DE，交 AB 的延长线于
10、点 M 求证：ACDE 连接 OM，若 AM2，求O 的半径 31 （2021花都区三模）如图，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径 （1）尺规作图：在优弧 ACB 上作点 D，使得 ADAB；作射线 BD，与线段 AC 的延长线交于点 E （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下： 求证：ABCAEB； 若 AC1，CE3，求O 的半径 32 （2021花都区二模）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形” ，例如：凸四边形ABCD 中，若AC，BD，则称四边形 ABCD 为准平行四边形 （1）如图（1） ，A、P、B、C 是O 上的四个点，APCCPB60
11、，延长 BP 到 Q，使 AQAP已知QACQBC，求证：四边形 AQBC 是准平行四边形； （2）如图（2） ，准平行四边形 ABCD 内接于O，ABAD，BCDC，若O 的半径为 5，AB6，求四边形 ABCD 的面积； （3）如图（3） ，在 RtABC 中，C90，A30，BC2，若四边形 ABCD 是准平行四边形，且BCDBAD，求 BD 长的最大值 33 （2021越秀区校级四模）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC2，使用作图工具作BAC30，尝试操作后思考： （）这样的点 A 唯一吗？ （）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过
12、操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦的圆弧上（点 B、C 除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为 ； ABC 面积的最大值为 ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们记为 A，请你利用图 1 证明BAC30 （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD 的边长 AB2，BC3，点 P 在直线 CD 的左侧，且 tanDPC=43 求线段 PB 长的最小值； 若 SPCD=23SPAD，求线
13、段的 PD 长 34 （2021天河区一模）如图，直线 MN 与O 相切于点 M，MEEF 且 EFMN （1）求 cosE 的值； （2）若O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 20 小题）小题） 1 【解答】解：BOD130， BCD=12BOD65， 故选：C 2 【解答】解：O 的半径为 5，弦 AB8，点 C 是 AB 的中点， OCAB，ACBC4，OA5， OC= 2 2= 52 42=3， 故选：C 3 【解答】解：ADC25， AOC50， AB 为O 的切线，点 A 为切点， OAB90， ABOOABAOC
14、905040， 故选：B 4 【解答】解：BCE105， BCD180BCE18010575， BOD2BCD150， 故选：A 5 【解答】解：连接 OC，如图所示： DOB64， DCB32， 而 OCOD，OCOB， DOCD，BOCB， 又DB， OCDOCB=12DCB=12 32 = 16， B16， 故 A、B、C 错误， 故选：D 6 【解答】解：过点 P 作 PDAB 于 D，连接 PA、PC， P 与 y 轴相切于点 C， PCy 轴， 四边形 CODP 为矩形， PDOC2， A（1，0） 、B（4，0） ， AB3， PDAB， AD=12AB=32， P 的半径= 2
15、+ 2=2.5， 故选：A 7 【解答】解：设 AB 是正多边形的一条边，过点 O 作 OCAB 于点 C 则AOC=180， 在直角AOC 中，sinAOC=， ACOAsinAOCRsin180， R=2180， 故选：C 8 【解答】解：ODAC， ADCD， OAOB， OD 为ABC 的中位线， BC2OD21.53 故选：B 9 【解答】解：设圆弧的圆心为 O，过 O 作 OCAB 于 C，交于 D，连接 OA，如图所示： 则 OAOD=12250125（m） ，ACBC=12AB=1215075（m） ， OC= 2 2= 1252 752=100（m） ， CDODOC1251
16、0025（m） ， 即这些钢索中最长的一根为 25m， 故选：D 10 【解答】解：O 的半径是 3，线段 OP 的长为 4， 即点 P 到圆心的距离大于圆的半径， 点 P 在O 外 故选：C 11 【解答】解：连接 BD，过点 F 作 FHBD 于 H ABCD， EOC90， EC25，OC4， OE= 2 2=(25)2 42=2， tanECO=12， PCDFBD， tanPBDtanPCD=12=， 设 FHm，则 BH2m， ODOB，DOB90， FDH45， FHD90， HFDHDF45， HFHDm， m+2m= 2OB42， m=423， BF= 2+ 2= 2+ (2
17、)2= 5m=4103 故选：A 12 【解答】解：延长 AP 交O 于 T，连接 BT设 PCx AB 是直径， ATB90， APB120， BPT60， PTPBcos60=12PB， PAPB2PAPT2PCPD2x （4x）2（x2）2+8， 20， x2 时，PAPB 的最大值为 8， 故选：C 13 【解答】解：如图所示： ， 一个正多边形的边长为 2，每个外角为 30， 此正多边形的边数为36030=12， 即多边形为 12 边形， 连接 OA、OB，过 O 作 ONAB， 边 AB 对的圆心角 AOB 的度数为36012=30， OAOB，ONAB， NOB=12AOB15，
18、ANBN=12AB1， OB=115， 即这个正多边形的半径是115， 故选：C 14 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC8，BC6， AB10， RtABC 的外接圆的面积（102）225， 故选：C 15 【解答】解：连接 OA、OB，如图所示： PA、PB 是O 切线， PAOA，PBOB， PAOPBO90， P+PAO+AOB+PBO360， P180AOB， ACB59， AOB2ACB118， P18011862， 故选：B 16 【解答】解：连接 BE， AE 为O 直径， ABE90， ODAB，OD 过 O， ACBC=12AB=12 8 =4， AOOE， BE
19、2OC， OC3， BE6， 在 RtCBE 中，EC= 2+ 2= 42+ 62=213， 故选：D 17 【解答】解：高所在的直线与母线的夹角为 30， 圆锥的底面圆的半径为 1，母线长为 2， 所以圆锥的侧面积=122122 故选：C 18 【解答】解： 设O 的半径是 R，PEPFx，BQy， 连接 OD，OG，OF，OE， O 内切于 RtABC， ODCOEC90C，ADAG， ODOE， 四边形 CDOE 是正方形， ODCDCEOER， 同理 OGGQFQOFR， 则 PQCP，ACAQ， PQAB，C90， CPQB90， BB， BQPBCA， =12， BC2BQ2y，
20、根据 BGBE 得：y+R2yR， 解得：y2R， 在 RtPQB 中，由勾股定理得：PQ2+BQ2BP2， 即（2R）2+（R+x）2（4RRx）2， 解得：x=12R， 即 PQ=12R+R=32R，BQ2R， tanB=322=34 故选：C 19 【解答】解：ABCD，BAC32， ACDBAC32， AOD2ACD23264 故选：A 20 【解答】解：过 M 点作 MCAB 于 C，连接 MA 由 OAAB，则 OA+AC=32ABOC6，AB4，AC2， MC= 2 2=42 则点 M 的坐标为（42，6） 故选：D 二填空题（共二填空题（共 9 小题）小题） 21 【解答】解：
21、如图，根据题意得， 边 AC 在旋转过程中所扫过的图形是以点 A 为圆心，以 AC 为半径，圆心角为 90的扇形， 在 RtABC 中，AB3，BC4， AC2AB2+BC232+4225， 边 AC 在旋转过程中所扫过的图形的面积为 S扇形ACD=9025360=254， 故答案为：254 22 【解答】解：连接 OE， 在 RtABC 中，B90，BC4，AB3 AC= 2+ 2=5， AC 是O 的切线， CEO90， BCEO， CC， COECAB， =， 3=4;5， OB=32， O 的半径为32， 故答案为：32 23 【解答】解：根据垂径定理的推论，则 作弦 AB、AC 的垂
22、直平分线，交点 O即为圆心， 点 A、B、C 的坐标分别为（0，6） 、B（0，2） ， ACy 轴， ABC 是直角三角形， B（0，2） ， ABC 外接圆的圆心 O坐标为（;4:02，;2:62） ， 即ABC 外接圆的圆心坐标为（2，2） ， 故答案为： （2，2） 24 【解答】解：A（0，3） ，B（4，0） ，O（0，0） ，ABC 为直角三角形， AOB 的外心在斜边 AB 的中点 O上（直角三角形的外心在斜边中点处） ， xO=+2=0+42=2， yO=+2=3+02=32， O（2，32） ， 连接 OO，如图， 设 OO交 ykx+b 于点 P， 点 O是由 O 关于
23、ykx+b 对称而来， 直线 ykx+b 垂直平分 OO（对称的性质） ， P 为 OO中点， P（1，34） ， kOO=32020=34， 直线 ykx+b 与 OO垂直， kkOO1， k= 43， 直线 ykx+b 过 P（1，34） ， 34= 43+b， b=34+43=2512， 故答案为（2，32） ；2512 25 【解答】解：PA、PB 分别是O 的切线，A、B 为切点，AC 是O 的直径， CAP90，PAPB， 又BAC36， PAB54， PBAPAB54， P180545472 故答案是：72 26 【解答】解：由题意扇形的面积 y=12x （202x）x2+10
24、x 故答案为：yx2+10 x 27 【解答】解：点 A 是劣弧的中点， = ， ACAB，AOCAOB， tanD=33， D30， AOC2D60（圆周角定理） ， AOB60， OAOCOB， AOC 和AOB 是等边三角形， ACOCABOAOB， 四边形 ACOB 是菱形，故正确； AOBC，CEBE， 在 RtCEO 中，CEOCsinCOE6sin6033 =BE， BCCE+BE63，故正确 sinAOBsin60=32，故正确； 劣弧的长是1206180=4，故正确； 故答案为： 28 【解答】解：AOB 与ACB 都对，AOB72， ACB=12AOB36， 故答案为：36
25、 29 【解答】解：直线 l：yaxa+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 令 x0，则 y2a，令 y0 则 x=2， A（;2，0） ，B（0，2a） ， O 点为坐标原点， AOB90， ABO 外接圆的圆心为点 C， 点 C 是 AB 的中点， C（;22，2;2） ， 直线 yaxa+2 过定点 D（1，2） ， 当点 O 到直线 l 距离最大时，ABOD， 直线 OD 的解析式为 y2x， a= 12， C（52，54） k=258 故答案为：258 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 30 【解答】解： （1）如图 1， 连接 BO 并延长交O 于 D， （
26、2）如图 2， 证明：ABC 是正三角形， BD 平分ABC， BDAC， DM 是O 的切线， BDDM， ACDM； ABC 是正三角形， ABC60， BD 平分ABC， ABD30， 设O 的半径是 r， 在 RtBDM 中， BD2r，DBM30， DMBDtanDBM 2r33=233， 在 RtDOM 中，由勾股定理得， OD2+DM2OM2， r2+（233）24， r=2217， O 的半径是 2217 31 【解答】解： （1）如图，以点 A 为圆心，AB 为半径作弧，交在优弧 ACB 于点 D，连接 BD 并延长 BD，交 AC 的延长线于点 E，则此图为所求图形； （2
27、）ADAB， ADBABD， ACBADB， ACBABD， 又BACBAE， ACBABE； ACBABE， =， AB2AEAC（3+1）14， AB2， BC 是直径， BAC90， BC= 2+ 2= 1 + 4 = 5， OBOC=52， O 的半径为52 32 【解答】证明： （1）APCCPB60， APQ60，APB120， 四边形 APBC 是圆的内接四边形， APB+ACB180， ACB60， AQAP，APQ60， APQ 是等边三角形， AQP60ACB， 又QACQBC， 四边形 AQBC 是准平行四边形； （2）如图（2）连接 BD， 四边形 ABCD 是圆内接四
28、边形， BAD+BCD180，ABC+ADC180， AC 不是直径， ABCADC， 四边形 ABCD 是准平行四边形， BADBCD，ABCADC， BADBCD90， BD 是直径， BD10， AB2+AD2BD2， 36+AD2100， AD8， BC2+CD2BD2，BCCD， BC250， 四边形 ABCD 的面积SABD+SBCD， 四边形 ABCD 的面积=12ABAD+12BCCD49； （3）如图，作ACD 的外接圆O，过点 O 作 OEAC 于 E，OFBC 于 F， C90，A30，BC2， ABC60，ABC60，AC= 3BC23， 四边形 ABCD 是准平行四边
29、形，且BCDBAD， ABCADC60， AOC120，且 OEAC，OAOC， ACOCAO30，CEAE= 3， OE1，CO2OE2， OEAC，OFBC，ECF90， 四边形 CFOE 是矩形， CEOF= 3，OECF1， BFBC+CF3， BO= 2+ 2= 9 + 3 =23， 当点 D 在 BO 的延长线时，BD 的长有最大值， BD 长的最大值BO+OD23 +2 33 【解答】 （1）解：设 O 为圆心，连接 BO，CO， BCA30， BOC60，又 OBOC， OBC 是等边三角形， OBOCBC2，即半径为 2， 故答案为：2； ABC 以 BC 为底边，BC2，
30、当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC 的面积最大， 如图，过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D，以 BC 为底，则当 A 与 D 重合时，ABC的面积最大， BECE1，DOBO2， OE= 2 2= 3， DE= 3 +2， ABC 的最大面积为122（3 +2）= 3 +2， 故答案为：3 +2； （2）证明：如图，延长 BA，交圆于点 D，连接 CD， 点 D 在圆上， BDCBAC， BACBDC+ACD， BACBDC， BACBAC，即BAC30； （3）解：如图，当点 P 在 BC 上，且 PC=32时， PCD90，ABCD2，ADBC3， tan
31、DPC=43，为定值， 连接 PD，设点 Q 为 PD 中点，以点 Q 为圆心，12PD 为半径画圆， 当点 P 在优弧 CPD 上时，tanDPC=43，连接 BQ，与圆 Q 交于 P， 此时 BP即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QEBE，垂足为 E， 点 Q 是 PD 中点， 点 E 为 PC 中点，即 QE=12CD1，PECE=12PC=34， BEBCCE334=94， BQ= 2+ 2=974， PD= 2+ 2=52， 圆 Q 的半径为1252=54， BPBQPQ=97454=9754，即 BP 的最小值为97;54； AD3，CD2，SPCD=23SPAD， =23， P
32、AD 中 AD 边上的高PCD 中 CD 边上的高， 即点 P 到 AD 的距离和点 P 到 CD 的距离相等， 点 P 在ADC 的平分线上， 如图，过点 C 作 CFPD，垂足为 F， PD 平分ADC， ADPCDP45， CDF 为等腰直角三角形，又 CD2， CFDF= 2， tanDPC=43， PF=324， PDDF+PF= 2 +324=724 34 【解答】解： （1）连接 MO，延长 MO 交 EF 于 H，如图， 直线 MN 与O 相切于点 M， MHMN， EFMN， MHEF， EHHF，即 MH 垂直平分 EF， MEMF， EMEF， EMEFMF， MEF 为等边三角形， MEF60， cosMEFcos60=12； （2）MEF 为等边三角形， F60， MOE2F120， EOH60， OMOE2， OH1，EH= 3， 图中阴影部分的面积S扇形MOESMOE =12022360122 3 =433
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