1、7.17.1 复数的概念复数的概念 7 7. .1.11.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 1设 a,bR,则“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 解析 因为 a,bR,当“a0”时,“复数 abi 是纯虚数”不一定成立,也可能 b0,即 abi0R. 而当“复数 abi 是纯虚数”时,“a0”一定成立 所以 a,bR,“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要不充分条件 2以3i 的虚部为实部,以 3ii2的实部为虚部的复数是( ) A1i B1i C33i D33i 答案 A 解析 3
2、i 的虚部为 1,3ii213i 的实部为1,故所求复数为 1i. 3在复平面内,复数 z(a22a)(a2a2)i(aR)是纯虚数,则( ) Aa0 或 a2 Ba0 Ca1 且 a2 Da1 或 a2 答案 B 解析 因为复数 z(a22a)(a2a2)i 是纯虚数, 所以 a22a0 且 a2a20,所以 a0. 4若 a,bR,i 是虚数单位,a2 020i2bi,则 a2bi 等于( ) A2 0202i B2 0204i C22 020i D42 020i 答案 D 解析 因为 a2 020i2bi, 所以 a2,b2 020,即 a2,b2 020, 所以 a2bi42 020i
3、. 5(多选)下列命题中错误的有( ) A若 x,yR,则 xyi1i 的充要条件是 xy1 B若复数 zR,则其虚部不存在 C若(z1z2)2(z2z3)20,则 z1z2z3 D若实数 a 与 ai 对应,则实数集与复数集一一对应 答案 BCD 解析 由复数相等的定义知 A 正确;实数的虚部为 0,故 B 错误;对于 C,只有当 z1,z2,z3R 时,才有 z1z2z3,否则不成立,故 C 错误;对于 D,a0 时,ai0,故 D 错误 6若实数 x,y 满足 xy(xy)i2,则 xy 的值是_ 答案 1 解析 由题意得 xy2,xy0, 所以 xy1,所以 xy1. 7若复数 zsi
4、n 2(1cos 2)i 是纯虚数,则 _. 答案 k2(kZ) 解析 由题意知 sin 20,1cos 20, 22k(kZ),k2(kZ) 8如果(m21)(m22m)i1,则实数 m 的值为_ 答案 2 解析 由题意得 m22m0,m211,解得 m2. 9当实数 m 取什么值时,复数 z(m25m6)(m22m15)i 是下列数? (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0. 解 由 m25m60,得 m2 或 m3, 由 m22m150,得 m5 或 m3. (1)当 m22m150 时,复数 z 为实数, m5 或 m3. (2)当 m22m150 时,复数 z 为虚数, m5
5、 且 m3. (3)当 m22m150,m25m60时,复数 z 是纯虚数, m2. (4)当 m22m150,m25m60时,复数 z 是 0, m3. 10分别求满足下列条件的实数 x,y 的值 (1)2x1(y1)ixy(xy)i; (2)x2x6x1(x22x3)i0. 解 (1)x,yR, 由复数相等的定义,得 2x1xy,y1xy, 解得 x3,y2. (2)xR, 由复数相等的定义,得 x2x6x10,x22x30, 即 x3或x2,且x1,x3或x1, x3. 11已知复数 za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部,则实数 a 的取值范围是( ) A(1,3) B(,1)(3,
6、) C(3,1) D(,3)(1,) 答案 B 解析 由已知可得 a22a3,即 a22a30, 解得 a3 或 a1, 因此,实数 a 的取值范围是(,1)(3,) 12若复数 a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数,则( ) Aa1 Ba1 且 a2 Ca1 Da2 答案 C 解析 复数 a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数,则有 a2a20 或|a1|10,解得 a1. 13已知关于 x 的方程(x2mx)2xi22i(mR)有实数根 n,且 zmni,则复数 z 等于( ) A3i B3i C3i D3i 答案 B 解析 由题意知(n2mn)2ni22i, 即 n2mn2,2
7、n2,解得 m3,n1.z3i. 14使不等式 m2(m23m)i(m24m3)i10 成立的实数 m 的取值集合是_ 答案 3 解析 由已知,得 m23m0,m24m30,m210,解得 m3, 所以所求的实数 m 的取值集合是3 15若复数 zcos 45sin 35i 是纯虚数(i 为虚数单位),则 tan4的值为( ) A7 B17 C7 D7 或17 答案 C 解析 复数 zcos 45sin 35i 是纯虚数, cos 450,sin 350, sin 35,tan 34, tan4tan 11tan 3411347. 16 已知复数 z14m2(m2)i, z22sin (cos 2)i(其中 i 是虚数单位, m, , R) (1)若 z1为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若 z1z2,求实数 的取值范围 解 (1)z1为纯虚数, 4m20,m20,解得 m2. (2)由 z1z2,得 4m22sin ,m2cos 2, 4cos22sin sin22sin 3 (sin 1)22. 1sin 1, 当 sin 1 时,min2, 当 sin 1 时,max6, 实数 的取值范围是2,6